Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Bài 3:
Mình hiểu là $x,y,z,t$ đều là số nguyên tố nhé :D
Trước hết ta thầy nếu $a\in N$ thì $a^2$ chia 7 dư $0,1,2,4$
Xét $t>7$ t là số nguyên tố nên t không chia hết cho 7
$t^2$ chia 7 dư 1 thì $z=3t^2+4$ chia hết cho 7, => z không nguyên tố
$t^2$ chia 7 dư 2 thì $x=t^2-2$ chia hết cho 7 => x không nguyên tố
$t^2$ chia 7 dư 3 thì $y=2t^2-1$ chia hết cho 7 => y không nguyên tố 
Vậy xét t là các số nguyên tố bé hơn 7
t=2 không thỏa mãn
t=3, x=7,y=17,z=31 (Thỏa mãn)
t=5, y=49 (không thỏa mãn)
t=7, x=47, y=97,z=151 (Thỏa mãn)
Vậy có 2 bộ số thỏa mãn như trên.

Cho $a=b=c=3$. Khi ấy, $M=\frac{1}{12}$. Ta chỉ ra câu trả lời là $\frac{1}{12}$.
Đặt $a=\frac{3}{x}$, $b=\frac{3}{y}$ và $c=\frac{3}{z}$, với $x$, $y$ , $z$ dương.

Điều kiện đã cho ta có, $2(x^2+y^2+z^2)\leq3+x+y+z$ Và ta cần chứng minh $\sum_{cyc}\frac{xyz}{10xy+xz+yz}\leq\frac{1}{4}$.
Từ $(x+y+z)^2\leq3(x^2+y^2+z^2)$, ta nhận được $2(x+y+z)^2\leq9+3(x+y+z)$,
Ta nhận được $x+y+z\leq3$.
Vậy, cần chứng minh:
$\sum_{cyc}\frac{xyz}{10xy+xz+yz}\leq\frac{x+y+z}{12}$, điều này đúng vì:
$10xy+xz+yz\geq12\sqrt[12]{x^{11}y^{11}z^2}$ đúng theo bất đẳng thức cauchy
$x+y+z\geq\sum_{cyc}x^{\frac{5}{6}}y^{\frac{1}{12}}z^{\frac{1}{12}}$ đúng (Bất đẳng thức Miurhead)

P/s: Mình đoán là bạn học chuyên toán, nếu chưa biết thì tìm hiểu về bất đẳng thức Miurhead nhé

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Đề bài sai rồi em ạ. Cho $a=\frac{3}{2},b=\frac{5}{4},c=\frac{1}{4}$ thì sai

a) Phân tích thành $(x^2-6x+1)(x^2-4x+1)=0$
Từ đó ta tìm đươc các nghiệm là $3-2\sqrt{2},3+2\sqrt{2},2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}$ 

b)  Phân tích thành $(x^2-2x-2)(x^2+5x-2)=0$
Tìm được các nghiệm là $1+\sqrt{3},1-\sqrt{3},\frac{-5+\sqrt{33}}{2},\frac{-5-\sqrt{33}}{2}$

Giả sử hệ có nghiệm nguyên
cộng theo vế 3 phương trình ta được
$(x^2+x+1)(a+b+c)=0 \Rightarrow a+b+c=0$
Xét $a+b+c=0$
Nếu
$a=b=0 \Rightarrow  c=0$ hệ có nghệm nguyên $x\in Z$ bất kỳ
Nếu
$a=0, b\neq 0 \Rightarrow b=-c$ hệ có nghiệm nguyên x=1
Nếu $a\neq 0$ thì hệ cũng có nghiệm nguyên x=1
Vậy $a+b+c=0$ là đk cần và đủ để hệ có nghiệm nguyên

Từ hệ đã cho ta suy ra
$\begin{cases}-y^2=3-x^2 \\ -y^3=7-x^3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-y^6=(3-x^2)^3 \\ y^6=(7-x^3)^2 \end{cases}$
Vậy $(7-x^3)^2+(3- x^2)^3=0 \Leftrightarrow (x-2)(9x^3+4x^2-19x-38)=0$
Vậy $x=2$ ta tìm được $y=1$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết