BDT hay

Question

$a,b,c\geq 0, a+b+c=3$ .

CM:

$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq ab+bc+ac$

WhjteShadow · Answer 1 · 1/1/2015 10:44:12 AM

Bài này không chỉ đúng với điều kiện

$a+b+c=3$ mà mở rộng hơn ta có kết quả sau:

Nếu tồn tại

$a,b,c$ thực dương sao cho

$a+b+c\leq3$ ta sẽ có :

$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq ab+bc+ac$

Ta có thể chứng minh BĐT sau:

$\frac{(\sum a^{\frac{3}{4}})^{\frac{8}{3}}}{3}\geq \frac{ab+bc+ac}{3}$

Kết hợp sử dụng BĐT Holder ta thu được:

$(\frac{\sum a^{\frac{1}{3}}}{3})(\frac{a+b+c}{3})^{\frac{5}{3}}\geq \frac{ab+bc+ac}{3}$

Do

$a+b+c=3$ ta có đpcm.

Trả lời 01-01-15 10:44 AM

WhjteShadow
6K 8 17

134K 97K

6 1

dangvantho12as0 · Answer 2 · 12/29/2014 5:52:43 PM

$a^{2}+a^{2}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}\geqslant 5a$

tương tự

$\Rightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+VT\geqslant 5(a+b+c)\Leftrightarrow 2(a+b+c)^{2}-4VP+3VT\geqslant 5(a+b+c)$

$\Leftrightarrow VT\geqslant4/3 VP-1 mà ab+bc+ca\leqslant 1\Rightarrow VT\geqslant VP\Rightarrow ĐPCM$

Sửa 29-12-14 05:52 PM

dangvantho12as0
174 1 7

42K 17K

Trả lời 29-12-14 05:57 AM

dangvantho12as0
174 1 7

42K 17K

ngu may. AMGM chứ gì nữa? – nambttvqht 29-12-14 08:34 PM

sai ngay ở đầu kìa...BĐT gì kia – longhnnh 29-12-14 04:27 PM

2 Đáp án