Cách khácBĐT $\Leftrightarrow \frac{\tan b}{b}>\frac{\tan a}{a}\Leftrightarrow f(b) >f(a)$, trong đó $f(x)=\frac{\tan x}{x}, \quad x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$.
Ta có : $f'(x) = \frac{\dfrac{x}{\cos^2x}-\tan x}{x^2}=\frac{x-\sin x \cos x}{x^2\cos^2 x}=\frac{2x-\sin 2x}{2x^2\cos^2 x}$.
Mặt khác ta cũng sẽ chứng minh $g(x) =2x-\sin 2x>0, \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$.
Thật vậy, $g'(x)=2-2\cos 2x >0 , \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow g(x)$ là hàm đồng biến
$\Rightarrow g(x)>g(0)=0$.
Suy ra $f'(x)>0, \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow f(x)$ là hàm đồng biến
$\Rightarrow f(b) >f(a)$.