Ta có: $y'=x^2+2(m+3)x+4(m+3)$
Hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ khi và chỉ khi $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta'>0 \Leftrightarrow m^2+2m-3>0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m>1\\m<-3\end{array}\right. (*)$
$x_1, x_2$ thỏa mãn $-1<x_1<x_2$ khi và chỉ khi:
$\left\{\begin{array}{l}-1<\dfrac{x_1+x_2}{2}\\y'(-1)y'(\dfrac{x_1+x_2}{2})<0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-1<-m-3\\y'(-1)y'(-m-3)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m<-2\\(2m+7)(-m^2-2m+3)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow \dfrac{-7}{2}<m<-3$
Kết hợp với (*) ta được: $\dfrac{-7}{2}<m<-3$