Ta có:
$y'=2x^2-2mx-2(3m^2-1)$
Để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thì phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta'>0$
$\Leftrightarrow m^2+4(3m^2-1)>0$
$\Leftrightarrow 13m^2-4>0$
$\Leftrightarrow |m|>\dfrac{2}{\sqrt{13}}$
Theo định lý Viet ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-(3m^2-1)\end{array}\right.$
Ta có: $x_1x_2+2(x_1+x_2)=1$
$\Leftrightarrow -(3m^2-1)+2m=1$
$\Leftrightarrow 3m^2-2m=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m=0\\m=\dfrac{2}{3}\end{array}\right.$
Kết hợp với đk, ta được: $m=\dfrac{2}{3}$