Bất đẳng thức.. pro hãy xem

Question

1) Với A,B,C là 3 góc của tam giác CMR:

$\frac{1}{3}cosA+\frac{1}{4}cosB+\frac{1}{5}cosC\leq \frac{5}{12}$

2)Cho $a,b,c,d>0$

CMr: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+b}+\frac{d}{a+b}\geq 2$

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 1 · 6/24/2013 3:33:36 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Bài 1 có thể tổng quát được , hi vọng bạn thích lời giải này

Với mọi $x,y,z$ là 3 cạnh của một tam giác thì

$P=\frac{1}{x}cosA+\frac{1}{y}cosB+\frac{1}{z}cosC\le \frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz} (1)$

Bài toán ban đầu ứng với $x=3,y=4,z=5$

Chứng minh như sau

$(1)\Leftrightarrow 2yzcosA+2xzcosB+2xycosC\le x^2+y^2+z^2$

$f(x)=x^2-2x(zcosB+ycosC)+y^2+z^2-2yzcosA\ge 0$

$\Delta'=(zcosB+ycosC)^2-(y^2+z^2-2yzcosA)$

$=z^2cos^2B+y^2cos^2C-y^2-z^2+2yzcosBcosC+2yzcosA$

$=-z^2sin^2B-y^2sin^2C+2yz(cosBcosC+cosA)$

$=-z^2sin^2B-y^2sin^2C+2yz(cosBcosC-cos(B+C))$

$=-z^2sin^2B-y^2sin^2C+2yzsinBsinC$

$=-(zsinB-ysinC)^2\le 0$

Vậy $f(x)\ge 0$

Dấu bằng có $\Leftrightarrow \frac{sinA}{x}=\frac{sinB}{y}=\frac{sinC}{z}$

Trả lời 24-06-13 03:33 PM

GreenmjlkTea FeelingTea
13K 1 26 12

277K 282K

1

bạn có giải thích dùm mình sao mà lời giải ở dưới cugnx tương tự nhưng sao tim ra x,y,z xấu quá – ♂Vitamin_Tờ♫ 24-06-13 04:13 PM

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 2 · 6/24/2013 10:39:37 AM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Bài 2.

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}$

$=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{da+db}$

$\ge \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2ca+2bd}\ge 2$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+bc+cd+da+ac+bd)$

$\ge 2(ab+bc+cd+da+2ac+2bd)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge 2ac+2bd$

$\Leftrightarrow (a-c)^2+(b-d)^2\ge0$

BĐT này luôn đúng

Trả lời 24-06-13 10:39 AM

GreenmjlkTea FeelingTea
13K 1 26 12

277K 282K

1

Đã up lời giải – GreenmjlkTea FeelingTea 24-06-13 03:33 PM

Để mình nghĩ đã – GreenmjlkTea FeelingTea 24-06-13 12:35 PM

còn câu 1 giúp mình vs – ♂Vitamin_Tờ♫ 24-06-13 12:17 PM

hoàng anh thọ · Answer 3 · 6/24/2013 3:31:39 PM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Bài 1:

Dùng vecto chứng minh bdt sau: $2yz \cos A+2xz \cos B + 2xy \cos C \leq x^2+y^2+z^2$ ($A, B, C$ là 3 góc của 1 tam giác; $x,y,z >0$) $ (1)$
Sau khi chứng minh $(1)$ ta chỉ việc chọn $x, y, z$ sao cho: $\begin{cases}2yz=\frac{1}{3} \\ 2xz=\frac{1}{4} \\ 2xy=\frac{1}{5} \end{cases} $.
Tính được $x,y,z$ thay vào $(1)$ (đpcm)

lịch sử

Sửa 24-06-13 03:31 PM