|
giải đáp
|
#10horses
|
|
|
Khi 3 con ngựa mang số $1,2,3$ về đầu thì: Có $3!$ cách chọn thứ tự cho 3 con ngựa số $1,2,3$ Có $7!$ cách chọn thứ tự cho 7 con ngựa còn lại. Suy ra có: $3!.7!=30240$ trường hợp thỏa mãn.
|
|
|
giải đáp
|
$x^2+bx+2=0$
|
|
|
a. Gọi A là biến cố phương trình có nghiệm.Phương trình có nghiệm khi: $\Delta\ge0\Leftrightarrow b^2-8\ge0\Rightarrow b\ge3$.Số khả năng của $b$ là: 6.Số khả năng của $b$ để phương trình có nghiệm là: 4 $(b\in\{3;4;5;6\})$Vậy: $P(A)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$b. Gọi B là biến cố phương trình vô nghiệm. Phương trình có nghiệm khi: $\Delta<0\Leftrightarrow b^2-8<0\Rightarrow b<3$.Số khả năng của $b$ là: 6.Số khả năng của $b$ để phương trình vô nghiệm là: 2 $(b\in\{1;2\})$Vậy: $P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$c. Gọi C là biến cố phương trình có nghiệm nguyên. Số khả năng của $b$ là: 6.Số khả năng của $b$ để phương trình có nghiệm nguyên là: 1 $(b=3)$Vậy: $P(C)=\frac{1}{6}$
|
|
|
giải đáp
|
$2\cos^2\frac{x^2+x}{2}=2^x+2^{-x}$.
|
|
|
Ta có: $VT=2\cos^2\frac{x^2+x}{2}\le2;\forall x\in\mathbb{R}$. Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: $VP=2^x+2^{-x}\ge2\sqrt{2^x.2^{-x}}=2;\forall x\in\mathbb{R}$. Dấu bằng xảy ra khi $x=0$. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.
|
|
|
giải đáp
|
$\cos [\frac{\pi }{2}\cos (x-\frac{\pi }{4})]=\frac{\sqrt{2} }{2} $
|
|
|
Phương trình tương đương với: $\begin{cases}\frac{\pi }{2}\ cos(x-\frac{\pi }{4}) = \frac{\pi }{4}+2k \pi \\\frac{\pi }{2}\ cos(x-\frac{\pi }{4}) =-\frac{\pi }{4}+2k \pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\ cos(x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}+4k (1) \\\ cos(x-\frac{\pi }{4}) =-\frac{1}{2}+4k (2) \end{cases} k\in Z$ Phương trình $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi: $|\frac{1}{2}+4k|\leq 1 \Leftrightarrow \frac{-3}{8}\leq k \leq \frac{1}{8} \Leftrightarrow k=0 . (k\in Z) $ Khi đó $(1)$ có dạng : $\ cos(x-\frac{\pi }{4}) =\frac{1}{2} \Leftrightarrow \begin{cases}x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+2l \pi \\ x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{3}+2l \pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{7 \pi }{12}+2l \pi \\ x= \frac{-\pi }{12}+2l \pi \end{cases} l\in Z (3) $ Phương trình $(2)$ có nghiệm khi và chỉ khi: $|-\frac{1}{2}+4k|\leq 1 \Leftrightarrow \frac{-1}{8}\leq k \leq \frac{3}{8} \Leftrightarrow k=0 (k\in Z) $ Khi đó $(2)$ có dạng: $\ cos(x-\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{2} $ $\Leftrightarrow \begin{cases} x-\frac{\pi }{4} =\frac{2 \pi }{3}+2l \pi \\ x-\frac{\pi }{4} =-\frac{2 \pi }{3}+2l \pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{11 \pi }{12}+2l \pi \\ x=\frac{-5 \pi }{12}+2l \pi \end{cases} l\in Z (4)$ Kết hợp $(3), (4)$ ta có: $\begin{cases}x=\frac{11 \pi }{12}+l \pi \\ x= \frac{7 \pi }{12}+ l \pi \end{cases} , l\in Z $ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
|
|
|
giải đáp
|
$\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x } $
|
|
|
Phương trình đã cho tương đương với: $2\cos(x-\frac{\pi}{6})=\sqrt{2[1+\cos(2x-\frac{\pi}{3})]}$ $(1)$ $\Leftrightarrow \cos(x-\frac{\pi}{6})=|\cos(x-\frac{\pi}{6})|$ Từ đó suy ra nghiệm của $(1)$ là: $-\frac{\pi}{2}+2k\pi\le x-\frac{\pi}{6}\le \frac{\pi}{2}+2k\pi,\,\mathbb{Z}$ $\Leftrightarrow -\frac{\pi}{3}+2k\pi\le x\le \frac{2\pi}{3}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}$.
|
|
|
giải đáp
|
$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$
|
|
|
Bổ đề: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}, \forall a, b >0$. Áp dụng ta có $\dfrac{16}{2x+y+z}=4.\dfrac{4}{2x+(y+z)} \le \dfrac{4}{2x}+\dfrac{4}{y+z} \le \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$ Tương tự $\dfrac{16}{x+2y+z}\le \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}$ $\dfrac{16}{x+y+2z}\le \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}$ cộng theo từng vế ta có $\dfrac{16}{2x+y+z}+\dfrac{16}{x+2y+z}+\dfrac{16}{x+y+2z} \le 4\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right )=16$ Vậy $\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\leq 1$ , đpcm. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}$.
|
|
|
giải đáp
|
$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}[\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3}]=2+\sqrt{1-x^2}$
|
|
|
Điều kiện: $-1\leq x\leq 1$ * Nếu $ -1\leq x< 0$ thì VT$ <0<$VP * Nếu $0\leq x\leq 1$. Đặt $x=\cos \varphi (0\leq \varphi<\frac{\pi}{2})$ PT $\Leftrightarrow \sqrt{1+\sin \varphi}(2\sqrt{2}\cos^3 \frac{\varphi}{2}-2\sqrt{2}\sin^3\frac{\varphi}{2})=2+\sin\varphi$ $\Leftrightarrow 2\sqrt{2}(\sin \frac{\varphi}{2}+\cos \frac{\varphi}{2})(\cos \frac{\varphi}{2}-\sin \frac{\varphi}{2})(1+\frac{1}{2}\sin\varphi)=2+\sin\varphi$ $\Leftrightarrow 2\sqrt{2}\cos \varphi(1+\frac{1}{2}\sin\varphi)=2+\sin\varphi \Leftrightarrow \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}$( do $\cos\varphi\geq 0$) Vậy $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình
|
|
|
giải đáp
|
$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1 (1)\\ 3\log_9(9x^2)-\log_3 y^3=3 (2) \end{array} \right.$
|
|
|
ĐK: $\left\{ \begin{array}{l} x\geq 1\\ 0<y\leq 2\end{array} \right.$ $(2)\Leftrightarrow 3(1+\log_3x)-3\log_3y=3\Leftrightarrow \log_3x=\log_3y\Leftrightarrow x=y.$ Thay $y=x$ vào (1) ta có: $\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=1\Leftrightarrow x-1+2-x+2\sqrt{(x-1)(2-x)}=1$ $\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)(2-x)}=0 \Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} x=1 \\ x=2 \end{matrix}} \right..$ Vậy hệ có hai nghiệm là: $\color{red}{(x;y)=(1;1)}$ và $\color{red}{(x;y)=(2;2)}$.
|
|
|
giải đáp
|
$P=\frac{x+y}{2+z} +\frac{y+z}{2+x}+\frac{x+z}{2+y} $
|
|
|
+ Tìm min $P=\frac{x+y}{2+z} +\frac{y+z}{2+x}+\frac{x+z}{2+y} \ge \frac{x+y}{x+y+z} +\frac{y+z}{y+z+x}+\frac{x+z}{z+x+y} =2$ Vậy $\min P = 2 \Leftrightarrow x=y=z=1$ . + Tìm max Ta có $\begin{cases}\frac{x}{2+z} \le \frac{x}{x+z} \\\frac{y}{2+z} \le \frac{y}{y+z} \end{cases} \implies \frac{x+y}{2+z} \le \frac{x}{x+z}+\frac{y} {y+z} (1)$ tương tự ta cũng có $ \frac{y+z}{2+x} \le \frac{y}{y+x}+\frac{z} {z+x} (2)$ $ \frac{x+z}{2+y} \le \frac{x}{x+y}+\frac{z} {y+z} (3)$ Cộng theo từng vế $(1), (2), (3)$ ta có $P \le 3.$ Vậy $\max P = 3 \Leftrightarrow x=y=z=2$ .
|
|
|
giải đáp
|
$\color{green}{4^{\sin x}-2^{(1+\sin x)}. \cos xy+2^{|y|}=0}$
|
|
|
Đặt $t=2^{\sin x}$ thì PT đã cho $\Leftrightarrow t^2-2t \cos xy +2^{|y|}=0$ $\Leftrightarrow t^2-2t \cos xy +\cos^2 xy=\cos^2 xy-2^{|y|}$ $\Leftrightarrow \left ( t-\cos xy \right )^2=\cos^2 xy-2^{|y|} (*)$. Từ PT cuối này ta suy ra $\cos^2 xy \ge 2^{|y|} $. Mặt khác $\begin{cases}\cos^2 xy \le 1\\ 2^{|y|} \ge 1 \end{cases} \forall x,y.$ Do đó ta phải có $\cos^2 xy=2^{|y|}=1 \Leftrightarrow y=0$. Lúc đó từ $(*) \Rightarrow t =\cos xy =1 $ (do $t>0$) $\implies 2^{\sin x}=1 \implies \sin x=0 \implies x = k\pi (k \in \mathbb{Z})$. Vậy PT đã cho có nghiệm $(x;y)=(k\pi;0) (k \in \mathbb{Z})$.
|
|
|
giải đáp
|
#1' Hệ phương trình 9
|
|
|
$\bigstar$ $\begin{cases}x^2 + y^2 = 2 \\ (x + 2y)(2 + 3y^2 + 4xy)=27 \end{cases}$ Thay $x^2+y^2=2$ vào phương trình (2), ta được: $(2) \Leftrightarrow (x+2y)(x^2+y^2+3y^2+4xy)=27$ $\Leftrightarrow (x+2y)(x+2y)^2=27$ $\Leftrightarrow (x+2y)^3=27\Leftrightarrow x+2y=3\Leftrightarrow x=3-2y$ Thay $x=3-2y$ vào lại phương trình (1), ta được: $(1)\Leftrightarrow (3-2y)^2+y^2=2$ $\Leftrightarrow 5y^2-12y+7=0$ $\Leftrightarrow \left[\ \begin{array}{l} y=1\Rightarrow x=1\\ y=\frac{7}{5} \Rightarrow x=\frac{1}{5}\end{array} \right.$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\color{red}{\boxed {(x;y)=(1;1);(x;y)=(\frac{1}{5};\frac{7}{5})}}$
|
|
|
giải đáp
|
Tích phân 4
|
|
|
$I=\int\limits_{1}^{e}\frac{3x\ln x+x+\ln x+3}{\sqrt{x\ln x+1} }dx $ $I=\int\limits_{1}^{e}\frac{2(x\ln x+1)+\ln x+x+\ln x+1}{\sqrt{x\ln x+1} }dx $ $I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2\sqrt{x\ln x+1}+\frac{(\ln x +1)(x+1)}{\sqrt{x\ln x+1} }} \right]dx $ $I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2\sqrt{x\ln x+1}+(x+1)\frac{\ln x +1}{\sqrt{x\ln x+1} }} \right]dx $ $I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2(x+1)'\sqrt{x\ln x+1}+(x+1)\sqrt{x\ln x+1}'} \right]dx $ $I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2(x+1)'\sqrt{x\ln x+1}+2(x+1)\sqrt{x\ln x+1}'} \right]dx $ $I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2(x+1)\sqrt{x\ln x+1}} \right]'dx $ $I= {2(x+1)\sqrt{x\ln x+1}} |_1^e $ $I=\color{red}{\boxed{\displaystyle{2\sqrt[3]{(1+e)^2}-4}}} $
|
|