Ta sẽ sử dụng phương pháp dồn biến để chứng minh bài toán. Giả sử c là số bé nhất và đặt:f(a,b,c)=a2+b2+c2+2abc+1−2(ab+bc+ca)Ta có:f(a,b,c)−f(ab−−√,ab−−√,c)=(a√−b√)2(a+b+2ab−−√−2c)≥0Do đó f(a,b,c)≥f(ab−−√,ab−−√,c), vậy ta chỉ cần chứng minh f(ab−−√,ab−−√,c)≥0.Thật vậy, nếu đặt t=ab−−√ thì ta có:f(t,t,c)=2t2+c2+2t2c−2(t2+2tc)+1=(c−1)2+2c(t−1)2≥0Bài toán được chứng minh xong.
Sử dụng lần lượt bất đẳng thức AM-GM, ta có:2abc+1=abc+abc+1≥3a2b2c2−−−−−√3≥9abca+b+cDo đó, ta chỉ cần chứng minh:a2+b2+c2+9abca+b+c≥2(ab+bc+ca)Thực hiện phép khi triển trực tiếp, ta có bất đẳng thức tương đương với:a3+b3+c3+3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)Đúng vì đây chính là bất đẳng thức Schur dạng bậc ba nên ta có điều phải chứng minh.