1. Điểm
(xo;yo) là điểm cố định của
(Cm) nghĩa là
yo=x3o+mx2o+mxo với mọi
m.
⇔m(x2o+xo)+x3o−yo=0 với mọi m
⇔{xo+x2o=0x3o−yo=0
⇔{[xo=0xo=−1x3o=yo
{xo=0yo=0 hoặc {xo=−1yo=−1
Vậy (Cm) có hai điểm cố định khi m thay đổi là (0;0) và (−1;−1)
2. Hoành độ giao điểm của (Cm) và y=x là nghiệm của phương trình x3+mx2+mx=x
⇔x(x2+mx+m−1)=0
Khi đó O(0;0) ứng với nghiệm x=0 của phương trình trên. Các hoành độ còn lại là nghiệm của phương trình:
x2+mx+m−1=0(1)
Để (Cm) cắt y=x tại hai điểm còn lại là A,B thỏa mãn AB=√2 thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt x1;x2 (là các hoành độ của A và B. Khi đó các tung độ tương ứng sẽ là y1=x1; y2=x2) và AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√2.
Xét Δ=m2−4(m−1)=(m−2)2≥0 với mọi m nên (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m≠0
Khi (1) có hai nghiệm phân biệt thì x1+x2=−m và x1x2=m−1.
Mặt khác AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√2(x1−x2)2=√2
⇔(x1−x2)2=1⇔(x1+x2)2−4x1x2=1
⇔m2−4(m−1)=1⇔(m−2)2=1⇔m=3 hoặc m=1
Vậy với m=1 hoặc m=3 thì (Cm) cắt y=x tại ba điểm phân biệt O(0;0) và A,B sao cho AB=√2