$x^{2}+y^{2}+xy \geq \frac{3}{4} \left ( x+y \right )^{2}$
$ 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\geq \left ( x+y \right )^{2}$
$Vậy ở vế 1: VT\geq VP$
$Dấu ''='' xảy ra : x=y.Do VT\geq0 nên x\geq0$
Thế vào vế 2:
$x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }=2\sqrt{2}$
$x-\sqrt{2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }-\sqrt{2}=0$
$\left ( x-\sqrt{2} \right )\left ( 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\sqrt{x^{2}-1}\left ( x+\sqrt{2x^{2}-2} \right ) } \right )=0$
$x=\sqrt{2} hoặc 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\sqrt{x^{2}-1} \left ( x+\sqrt{2x^{2}-x} \right )}=0 (2)$
$(2)=> x+\sqrt{2}=x\sqrt{x^{2}-1} +\sqrt{2}\left ( x^{2}-1 \right ) $
$(2-x^{2})\left ( \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2} \right )=0$
$=>x=\sqrt{2}( Do x\geq 0,\sqrt{2} +\frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }>0 với mọi x $
$Vậy pt có nghiệm duy nhất x= \sqrt{2}$