$x^{2}+y^{2}+xy \geq\ frac{3}{4}\left ( x+y \right )^{2}$2(x^{2]+y^{2})\geq\left ( x+y \right )^{2}Vậy ở vế 1: VT\geqVPDấu ''='' xảy ra : x=y.Do VT\geq0 nên x\geq0Thế vào vế 2:x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }=2\sqrt{2}x-\sqrt{2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }-\sqrt{2} \left ( x-\sqrt{2} \right )\left ( 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-2} \right )\sqrt{x^{2}-1} } \right )=0x=\sqrt{2} hoặc 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-3} \right )\sqrt{x^{2}-1} } (2)(2) =>x\left ( 1-\sqrt{x^{2}-1} \right )=\sqrt{2}\left ( x^{2}-2 \right ) \left ( 2-x^{2} \right )\left ( \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2} \right )=0Nên x=\sqrt{2}( dox\geq0, \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2}\nleqslant0 với mọi x\geq0)Vậy pt có nghiệm duy nhất x= \sqrt{2}

$x^{2}+y^{2}+xy \geq \frac{3}{4} \left ( x+y \right )^{2}$$ 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\geq \left ( x+y \right )^{2}$$Vậy ở vế 1: VT\geq VP$$Dấu ''='' xảy ra : x=y.Do VT\geq0 nên x\geq0$Thế vào vế 2:$x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }=2\sqrt{2}$$x-\sqrt{2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }-\sqrt{2}=0$$\left ( x-\sqrt{2} \right )\left ( 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\sqrt{x^{2}-1}\left ( x+\sqrt{2x^{2}-2} \right ) } \right )=0x=\sqrt{2} hoặc 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\sqrt{x^{2}-1} \left ( x+\sqrt{2x^{2}-x} \right )}=0 (2)$$(2)=> x+\sqrt{2}=x\sqrt{x^{2}-1} +\sqrt{2}\left ( x^{2}-1 \right ) $$(2-x^{2})\left ( \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2} \right )=0$$=>x=\sqrt{2}( Do x\geq 0,\sqrt{2} +\frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }>0 với mọi x $$Vậy pt có nghiệm duy nhất x= \sqrt{2}$

x^{2}+y^{2}+xy $\geq\$ $frac{3}{4}$$\left ( x+y \right )^{2}$2(x^{2]+y^{2})\geq\left ( x+y \right )^{2}Vậy ở vế 1: VT\geqVPDấu ''='' xảy ra : x=y.Do VT\geq0 nên x\geq0Thế vào vế 2:x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }=2\sqrt{2}x-\sqrt{2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }-\sqrt{2} \left ( x-\sqrt{2} \right )\left ( 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-2} \right )\sqrt{x^{2}-1} } \right )=0x=\sqrt{2} hoặc 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-3} \right )\sqrt{x^{2}-1} } (2)(2) =>x\left ( 1-\sqrt{x^{2}-1} \right )=\sqrt{2}\left ( x^{2}-2 \right ) \left ( 2-x^{2} \right )\left ( \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2} \right )=0Nên x=\sqrt{2}( dox\geq0, \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2}\nleqslant0 với mọi x\geq0)Vậy pt có nghiệm duy nhất x= \sqrt{2}

$x^{2}+y^{2}+xy \geq\ frac{3}{4}\left ( x+y \right )^{2}$2(x^{2]+y^{2})\geq\left ( x+y \right )^{2}Vậy ở vế 1: VT\geqVPDấu ''='' xảy ra : x=y.Do VT\geq0 nên x\geq0Thế vào vế 2:x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }=2\sqrt{2}x-\sqrt{2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }-\sqrt{2} \left ( x-\sqrt{2} \right )\left ( 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-2} \right )\sqrt{x^{2}-1} } \right )=0x=\sqrt{2} hoặc 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-3} \right )\sqrt{x^{2}-1} } (2)(2) =>x\left ( 1-\sqrt{x^{2}-1} \right )=\sqrt{2}\left ( x^{2}-2 \right ) \left ( 2-x^{2} \right )\left ( \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2} \right )=0Nên x=\sqrt{2}( dox\geq0, \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2}\nleqslant0 với mọi x\geq0)Vậy pt có nghiệm duy nhất x= \sqrt{2}

x^{2}+y^{2}+xy \geq\ frac{3}{4}\left ( x+y \right )^{2}2(x^{2]+y^{2})\geq\left ( x+y \right )^{2}Vậy ở vế 1: VT\geqVPDấu ''='' xảy ra : x=y.Do VT\geq0 nên x\geq0Thế vào vế 2:x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }=2\sqrt{2}x-\sqrt{2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }-\sqrt{2} \left ( x-\sqrt{2} \right )\left ( 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-2} \right )\sqrt{x^{2}-1} } \right )=0x=\sqrt{2} hoặc 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-3} \right )\sqrt{x^{2}-1} } (2)(2) =>x\left ( 1-\sqrt{x^{2}-1} \right )=\sqrt{2}\left ( x^{2}-2 \right ) \left ( 2-x^{2} \right )\left ( \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2} \right )=0Nên x=\sqrt{2}( dox\geq0, \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2}\nleqslant0 với mọi x\geq0)Vậy pt có nghiệm duy nhất x= \sqrt{2}

x^{2}+y^{2}+xy $\geq\$ $frac{3}{4}$$\left ( x+y \right )^{2}$2(x^{2]+y^{2})\geq\left ( x+y \right )^{2}Vậy ở vế 1: VT\geqVPDấu ''='' xảy ra : x=y.Do VT\geq0 nên x\geq0Thế vào vế 2:x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }=2\sqrt{2}x-\sqrt{2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }-\sqrt{2} \left ( x-\sqrt{2} \right )\left ( 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-2} \right )\sqrt{x^{2}-1} } \right )=0x=\sqrt{2} hoặc 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-3} \right )\sqrt{x^{2}-1} } (2)(2) =>x\left ( 1-\sqrt{x^{2}-1} \right )=\sqrt{2}\left ( x^{2}-2 \right ) \left ( 2-x^{2} \right )\left ( \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2} \right )=0Nên x=\sqrt{2}( dox\geq0, \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2}\nleqslant0 với mọi x\geq0)Vậy pt có nghiệm duy nhất x= \sqrt{2}

x^{2}+y^{2}+xy\geq\frac{3}{4}\left ( x+y \right )^{2}2(x^{2]+y^{2})\geq\left ( x+y \right )^{2}Vậy ở vế 1: VT\geqVPDấu ''='' xảy ra : x=y.Do VT\geq0 nên x\geq0Thế vào vế 2:x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }=2\sqrt{2}x-\sqrt{2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }-\sqrt{2} \left ( x-\sqrt{2} \right )\left ( 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-2} \right )\sqrt{x^{2}-1} } \right )=0x=\sqrt{2} hoặc 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-3} \right )\sqrt{x^{2}-1} } (2)(2) =>x\left ( 1-\sqrt{x^{2}-1} \right )=\sqrt{2}\left ( x^{2}-2 \right ) \left ( 2-x^{2} \right )\left ( \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2} \right )=0Nên x=\sqrt{2}( dox\geq0, \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2}\nleqslant0 với mọi x\geq0)Vậy pt có nghiệm duy nhất x=\sqrt{2}

x^{2}+y^{2}+xy \geq\ frac{3}{4}\left ( x+y \right )^{2}2(x^{2]+y^{2})\geq\left ( x+y \right )^{2}Vậy ở vế 1: VT\geqVPDấu ''='' xảy ra : x=y.Do VT\geq0 nên x\geq0Thế vào vế 2:x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }=2\sqrt{2}x-\sqrt{2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }-\sqrt{2} \left ( x-\sqrt{2} \right )\left ( 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-2} \right )\sqrt{x^{2}-1} } \right )=0x=\sqrt{2} hoặc 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\left ( x+\sqrt{2x^{2}-3} \right )\sqrt{x^{2}-1} } (2)(2) =>x\left ( 1-\sqrt{x^{2}-1} \right )=\sqrt{2}\left ( x^{2}-2 \right ) \left ( 2-x^{2} \right )\left ( \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2} \right )=0Nên x=\sqrt{2}( dox\geq0, \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2}\nleqslant0 với mọi x\geq0)Vậy pt có nghiệm duy nhất x= \sqrt{2}