hệ phương trình

Question

$\begin{cases}\sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{3}}+\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}=x+y \\ x+\frac{y}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2} \end{cases}$

kyte147 · Answer 1 · 4/3/2014 11:17:23 PM

$x^{2}+y^{2}+xy \geq \frac{3}{4} \left ( x+y \right )^{2}$

$2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\geq \left ( x+y \right )^{2}$

$Vậy ở vế 1: VT\geq VP$

$Dấu ''='' xảy ra : x=y.Do VT\geq0 nên x\geq0$

Thế vào vế 2:

$x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }=2\sqrt{2}$

$x-\sqrt{2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} }-\sqrt{2}=0$

$\left ( x-\sqrt{2} \right )\left ( 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\sqrt{x^{2}-1}\left ( x+\sqrt{2x^{2}-2} \right ) } \right )=0$

$x=\sqrt{2} hoặc 1-\frac{x+\sqrt{2} }{\sqrt{x^{2}-1} \left ( x+\sqrt{2x^{2}-x} \right )}=0 (2)$

$(2)=> x+\sqrt{2}=x\sqrt{x^{2}-1} +\sqrt{2}\left ( x^{2}-1 \right )$

$(2-x^{2})\left ( \frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }+\sqrt{2} \right )=0$

$=>x=\sqrt{2}( Do x\geq 0,\sqrt{2} +\frac{x}{1+\sqrt{x^{2}-1} }>0 với mọi x$

$Vậy pt có nghiệm duy nhất x= \sqrt{2}$

1 Đáp án