Cho

$F(x)=\left\{\begin{matrix} e^{\sin x} ; \forall x<0\\ 2\sqrt{1+x};\forall x\geq 0 \end{matrix}\right.$

và $f(x)=\left\{\begin{matrix} \cos x.e^{\sin x};\forall x<0\\ \dfrac{1}{\sqrt{1+x}};\forall x\geq 0 \end{matrix}\right.$

Giải thích tại sao $F(x)$ không phải là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$

Cho mình hỏi:
Trong sách Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Đại Số - Giải Tích của Th.s Lê Hoành Phò trang 110 có viết $\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+}(x\sin\frac{2}{x})=0$ (Vì $\left | x\sin\frac{2}{x} \right |\leq \left | x \right |,x> 0$
Không phải là $\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+}(x\sin\frac{2}{x})=\lim_{x\rightarrow 0^+}(\frac{2\sin\dfrac{2}{x}}{\dfrac{2}{x}})=2.1=2$ à?
Cám ơn mọi người!