A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
$1.$  Khái niệm cực trị hàm số:
Giả sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp $D (D\subset
\mathbb{R})$ và $x_0\in D$
a)    $x_0$ được gọi là một điểm cực đại của hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$  sao cho $(a;b) \subset D$ và $f(x) < f (x_0)$ với mọi $x\in(a;b)\setminus \left\{ {x_0} \right\}$. Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f$.
b)    $x_0$ được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$  sao cho $(a;b) \subset D$ và $f(x) > f (x_0)$ với mọi $x\in(a;b)\setminus \left\{ {x_0} \right\}$. Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f$.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu $x_0$ là một điểm cực trị của hàm số $f$ thì người ta nói rằng hàm số $f$ đạt cực trị tại điểm $x_0$.
Như vậy: điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp $D(D\subset
\mathbb{R})$.
$2$.  Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý $1$
. Giả sử hàm số $f$ đạt cực trị tại điểm $x_0$. Khi đó, nếu $f$ có đạo hàm tại điểm $x_0$  thì $f’(x_0)=0$
Chú ý:
    Đạo hàm $f’$ có thể bằng $0$ tại điểm $x_0$ nhưng hàm số $f$ không đạt cực trị tại điểm $x_0$.
    Hàm số có thể đạt cực tri tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
    Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
$3.$    Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý $2$:
Giả sử hàm số $f$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a; x_0)$  và $(x_0;b)$. Khi đó
a)  Nếu $\begin{cases}f'(x_0)<0, x\in (a;x_0) \\f'(x_0)>0, x\in (x_0;b) \end{cases}$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_0$. Nói một cách khác, nếu $f’(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ qua điểm $x_0.$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_0$.

b)  Nếu $\begin{cases}f'(x_0)>0, x\in (a;x_0) \\f'(x_0)<0, x\in (x_0;b) \end{cases}$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0$. Nói một cách khác, nếu $f’(x)$ từ dương sang âm khi $x$ qua điểm $x_0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$.


Định lý $3$.
Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm cấp một trên khoảng $(a,b)$ chứa điểm $x_0,f'(x_0 )=0$ và $f$ có đạo hàm cấp hai khác $0$ tại điểm $x_0.$
a)    Nếu $f’’(x_0)<0$  thì hàm số $f$ đạt cực đại tại điểm $x_0.$
b)    Nếu $ f’’(x_0)>0$  thì hàm số $f$ đạt cực tiểu tại điểm $x_0.$
$4$.  Quy tắc tìm cực trị:
Quy tắc $1$:
áp dụng định lý $2$
    Tìm $f’(x)$
    Tìm các điểm $x_i (i=1,2,3…)$ tại đó đạo hàm bằng $ 0$ hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
    Xét dấu của $f’(x)$. Nếu $f’(x)$ đổi dấu khi $x$ qua điểm $x_0$ thì hàm số có cực trị tại điểm $x_0.$
Quy tắc $2$: áp dụng định lý $3$
    Tìm $ f’(x)$
    Tìm các nghiệm $x_i (i=1,2,3…)$ của $f’(x) = 0$
    Với mỗi $x_i$ tính $f’’(x_i).$
    Nếu $f’’(x_i)<0$  thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_i.$
    Nếu $f’’(x_i)>0$  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_i.$

B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ $1$.
Tìm cực trị của các hàm số
a) $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+\frac{5}{3}$
b) $y=f(x)=|x|(x+2)$
Lời giải :
a) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$.

Ta có : $f'(x)=x^2-2x-3$
           $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=-1\\ x=3\end{matrix}} \right.$
Cách $1.$ Bảng biến thiên
 
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1, f(-1)=\frac{10}{3}$, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=3, f(3)=-\frac{22}{3}$.
 Cách $2.$ $f''(x)=2x-2$
Vì $f''(-1)=-4<0$ nên hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1, f(-1)=\frac{10}{3}$.
Vì $f''(3)=4>0$ nên hàm số đạt cực đại tại điểm $x=3, f(3)=-\frac{22}{3}$.
 b) $f(x)=|x|(x+2)=\begin{cases}x(x+2)  \text {khi}  x \ge 0\\-x(x+2)  \text {khi}  x < 0 \end{cases}$
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.
 Ta có : $f'(x)=\begin{cases}2x+2>0  \text {khi}  x > 0\\ -2x-2>0  \text {khi}  x < 0 \\ 0  \text {khi}  x = 0\end{cases}$
 Hàm số liên tục tại $x=0$, không có đạo hàm tại $x=0$.
 Bảng biến thiên
 
 Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1, f(-1)=1.$
 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0, f(0)=0.$
Ví dụ $2$. Tìm cực trị của các hàm số
a) $f(x)=x\sqrt{4-x^2}$
b) $f(x)=8-2\cos x -\cos 2x$
Lời giải :
a) Hàm số đã cho xác định trên $[-2;2]$.

Ta có : $f'(x)=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}},    x \in (-2;2)$
           $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=-\sqrt 2\\ x=\sqrt 2\end{matrix}} \right.$
Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=-\sqrt 2, f(-\sqrt 2)=-2$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\sqrt 2, f(\sqrt 2)=2$.
 b)
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.
 Ta có : $f'(x)=2\sin x + 2\sin 2x=2\sin x(1+2\cos x)$
            $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}\sin x=0\\ \cos x=-\frac{1}{2} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=k\pi\\  x=\pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi\end{matrix}} \right.     ( k \in \mathbb{Z})$
           $f''(x)=2\cos x+4\cos 2x$
           $f''\left ( \pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi \right )=-3<0$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=\pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi,f\left ( \pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi \right )=\frac{9}{2}$
           $f''\left ( k\pi \right )=2\cos k\pi +4>0$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=k\pi,f\left ( k\pi \right )=2(1-\cos k\pi)$
Bài tập tương tự. Tìm cực trị của các hàm số
a) $f(x)=\sqrt{|x|}(x-3)$
b) $f(x)=|x|$
c) $f(x)=2\sin 2x -3$
d) $f(x)=x-\sin 2x +2$
  Đáp số :
a)
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0, f(0)=0$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=1, f(1)= -2$.
 b)
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0, f(0)=0$.
 c)
Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=\frac{\pi}{4}+k\pi, f\left ( \frac{\pi}{4}+k\pi \right )=-1$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\frac{\pi}{4}+(2k+1)\frac{\pi}{2},f\left ( \frac{\pi}{4}+(2k+1)\frac{\pi}{2} \right )=-5$.
 Trong đó $k \in \mathbb{Z}.$
d)
Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=-\frac{\pi}{6}+k\pi$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\frac{\pi}{6}+k\pi$.
 Trong đó $k \in \mathbb{Z}.$ 
 Ví dụ $3$.
a) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x,m)=(m+2)x^3+3x^2+mx+m$ có cực đại, cực tiểu.
b) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x,m)=\frac{1}{2}x^4-mx^2+\frac{3}{2}$có cực tiểu mà không có cực đại.
Lời giải :
a) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}.$
Ta có : $y'=3(m+2)x^2+6x+m$
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt hay
$\begin{cases}m+2 \ne 0 \\ \Delta'=9-3m(m+2)>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m+2 \ne 0 \\ m^2+2m-3<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m+2 \ne 0 \\ -3<m<1 \end{cases}$
Vậy giá trị $m$ cần tìm là $-3<m<1, m \ne -2$.
b) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}.$
Ta có : $y'=2x^3-2mx$
            $y'=0\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} x=0\\ x^2=m   (*) \end{matrix}} \right.$
Hàm số đã cho có cực tiểu mà không có cực đại khi phương trình $y'=0$ có một nghiệm duy nhất và $y'$ đổi dấu khi $x$ đi qua nghiệm đó. Khi đó PT $x^2=m   (*)$ vô nghiệm hay có nghiệm kép $x=0\Leftrightarrow m \le 0$.
 Vậy $m \le 0$ là giá trị cần tìm.

 
Bài tập tương tự.
a) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x)=x^3+(m+3)x^2+1-m$ đạt cực đại tại $x=-1$
b) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x)=x^3-6x^2+3(m+2)x-m-6$ đạt cực đại và cực tiểu đông thời hai giá trị này cùng dấu.
Hướng dẫn :
a) Chứng tỏ rằng $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=0\\ x= -\frac{2m+6}{3}\end{matrix}} \right.$
Để suy ra yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow -\frac{2m+6}{3}=-1\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}$
b) Đáp số : $-\frac{17}{4}<m<2$.

Thẻ

Lượt xem

35596
Chat chit và chém gió
  • Kenvil Trần: thiên j vậy e 11/23/2017 7:00:38 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: trời đó ... 11/23/2017 7:00:47 AM
  • Yuri: moon nghe mấy bài đó chưa 11/23/2017 7:01:07 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: ukm nghe r yuri 11/23/2017 7:01:48 AM
  • Kenvil Trần: hả 11/23/2017 7:01:54 AM
  • Kenvil Trần: a ko mún lên đâu 11/23/2017 7:02:00 AM
  • Miumiu: z h atr lm sao 11/23/2017 7:02:12 AM
  • Kenvil Trần: big_grin 11/23/2017 7:02:16 AM
  • Kenvil Trần: để a tính 11/23/2017 7:02:21 AM
  • Yuri: thấy hay ko moon 11/23/2017 7:02:29 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: hay happy 11/23/2017 7:02:39 AM
  • Yuri: còn bài khác nữa đó 11/23/2017 7:03:00 AM
  • Miumiu: atr giỏi lắm 11/23/2017 7:03:06 AM
  • Kenvil Trần: surprise 11/23/2017 7:03:23 AM
  • Miumiu: để e cho atr lên thiên 11/23/2017 7:03:24 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: th để hôm # nghe nhé , nay mệt lắm 11/23/2017 7:03:24 AM
  • Yuri: ok 11/23/2017 7:03:29 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon:11/23/2017 7:03:33 AM
  • Miumiu: cj gái ơi 11/23/2017 7:03:49 AM
  • Kenvil Trần: ak a lm j sai ak 11/23/2017 7:03:50 AM
  • Yuri: vl 11/23/2017 7:04:00 AM
  • Miumiu: ko nch với atr nx 11/23/2017 7:04:05 AM
  • Yuri: ngây thơ vô tội vl 11/23/2017 7:04:13 AM
  • Tiểu Hy: Linh ơi 11/23/2017 7:04:18 AM
  • Tiểu Hy: có chuyện j v 11/23/2017 7:04:21 AM
  • Miumiu: dạ chuyện này có e với atr bt th 11/23/2017 7:04:41 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: chuyện j vậy eg 11/23/2017 7:04:43 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: eg gọi cj à ? 11/23/2017 7:04:51 AM
  • Miumiu: vâg 11/23/2017 7:04:59 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: e gọi j ? 11/23/2017 7:05:07 AM
  • Kenvil Trần: ơ a lm j sai ak 11/23/2017 7:05:14 AM
  • Yuri: vãi 11/23/2017 7:05:22 AM
  • Yuri: ko lm j sai 11/23/2017 7:05:34 AM
  • Miumiu: cj gái ơi cho e xin link bài văn hum trc cj gái lm trên h24 ý 11/23/2017 7:05:36 AM
  • Kenvil Trần: at_wits_end 11/23/2017 7:06:12 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: chi vậy eg ? 11/23/2017 7:06:14 AM
  • Kenvil Trần: khó hiểu 11/23/2017 7:06:16 AM
  • Yuri:11/23/2017 7:06:28 AM
  • Miumiu: để e đọc 11/23/2017 7:06:29 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: ừm 11/23/2017 7:06:47 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: k có link eg ạ 11/23/2017 7:06:53 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: linh phương đăng link như k ai đọc đc , h chỉ nx ai thi thì ms cop bài của mk` th 11/23/2017 7:07:16 AM
  • Miumiu: cj coppy ở link của cj r gửi tn cho 11/23/2017 7:07:41 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: h cj có đưa e link đó e cx k xem đc straight_face 11/23/2017 7:07:57 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: cj cop trong bài thi của cj á ^^ 11/23/2017 7:08:10 AM
  • Yuri: applause 11/23/2017 7:08:16 AM
  • Miumiu: vâg 11/23/2017 7:08:16 AM
  • Miumiu: r gửi qa tn ở đó cho e luôn nha 11/23/2017 7:08:30 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: ... rối z 11/23/2017 7:08:49 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: nãy có ng` bảo cj cop cho họ xong r h cj cop đưa vào tn nó k cách dòng đâu 11/23/2017 7:09:08 AM
  • Miumiu: vào tn ở h24 á cj gái 11/23/2017 7:09:13 AM
  • Miumiu: ko sao e hiểu đc 11/23/2017 7:09:22 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: ừm 11/23/2017 7:09:27 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: cơ mà cj cop mỗi bài cj th mà nó ra tận số điểm thi vs lời nhận xét luôn , eg cố lọc ra nhé 11/23/2017 7:09:49 AM
  • Miumiu: vâg 11/23/2017 7:10:04 AM
  • Yuri: miumiu sắp thi rồi á 11/23/2017 7:11:03 AM
  • Miumiu: ko đag chán đọc cho vui th 11/23/2017 7:11:33 AM
  • Miumiu: cj gái ơi 11/23/2017 7:12:35 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: ơi 11/23/2017 7:12:44 AM
  • Miumiu: cj gái lên wattap đọc truyện đi 11/23/2017 7:13:00 AM
  • Miumiu: e gửi link cho 11/23/2017 7:13:08 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: ừm đưa cj link 11/23/2017 7:13:14 AM
  • Yuri: miumiu cx vào wattap à 11/23/2017 7:13:37 AM
  • Miumiu: đợi e 11/23/2017 7:13:39 AM
  • Yuri: nick miumiu là j 11/23/2017 7:14:13 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: eg , hộp thư ở h24 của cj nó đơ ùi ^^ 11/23/2017 7:14:42 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: h gửi chỗ nào 11/23/2017 7:14:47 AM
  • Miumiu: vào mail á cj 11/23/2017 7:14:55 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: mail đơ r 11/23/2017 7:15:03 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: happy 11/23/2017 7:15:05 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: ib riêng đi cj gửi 11/23/2017 7:15:13 AM
  • Miumiu: e đag ib với atr r 11/23/2017 7:15:27 AM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: z th ak 11/23/2017 7:15:43 AM
  • Yuri: miumiu nick là j 11/23/2017 7:16:00 AM
  • Miumiu: https://www.wattpad.com/431516070-t%C3%ACnh-y%C3%AAu-tu%C3%B4%CC%89i-ho%CC%A3c-tro%CC%80-th%C3%B4ng-ba%CC%81o 11/23/2017 7:16:14 AM
  • Miumiu: cj gái đọc đi 11/23/2017 7:16:24 AM
  • Miumiu: j 11/23/2017 7:16:44 AM
  • Yuri: nick j 11/23/2017 7:16:50 AM
  • Miumiu: nh nick lắm ko nhớ đc 11/23/2017 7:17:06 AM
  • Yuri: gân nhất đi 11/23/2017 7:17:18 AM
  • Miumiu: inu07804 11/23/2017 7:17:36 AM
  • Yuri: à há 11/23/2017 7:17:59 AM
  • Miumiu: what 11/23/2017 7:18:14 AM
  • Miumiu: cn nh nik nx 11/23/2017 7:18:25 AM
  • Miumiu: như inu784 11/23/2017 7:18:30 AM
  • Yuri: à tìm thấy òi thanks 11/23/2017 7:19:47 AM
  • Miumiu: để lm j 11/23/2017 7:20:02 AM
  • Yuri: xem 11/23/2017 7:20:20 AM
  • Yuri: đọc lắm vl 11/23/2017 7:20:35 AM
  • Yuri: choang lun 11/23/2017 7:20:45 AM
  • Miumiu: uk 11/23/2017 7:20:57 AM
  • Miumiu: thì p giải street chứ 11/23/2017 7:21:29 AM
  • Yuri: sôc vãi 11/23/2017 7:22:53 AM
  • Miumiu: rolling_on_the_floor 11/23/2017 7:23:43 AM
  • Miumiu: ko giải street thì sao hok đc 11/23/2017 7:24:08 AM
  • Yuri:11/23/2017 7:25:09 AM
  • Yuri: bye bye tớ ngủ đây 11/23/2017 7:25:27 AM
  • Miumiu: pp 11/23/2017 7:25:35 AM
  • Yuri: bố gọi 11/23/2017 7:25:35 AM
  • Yuri: byeeeeeeeeeeee 11/23/2017 7:25:36 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • Ruanyu Jian
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • Thìn
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜIceღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • TQT☾♋
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minhˆˆ
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Trình Lộ Phong
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Giang Thần
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • Thanh yêu T
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • White
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Lành
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜGemღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Tuyết Linh
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • Kenvil Trần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • trinh2005
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Cửu Thiên Vũ
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • Natsu
  • Băng
  • Gin
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Thị Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • ❦ Mưa ❦
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • Miumiu
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • caccontoi
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • nguyễn âu thi hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • nguyenquangtuan640
  • blood