A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
$1.$  Khái niệm cực trị hàm số:
Giả sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp $D (D\subset
\mathbb{R})$ và $x_0\in D$
a)    $x_0$ được gọi là một điểm cực đại của hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$  sao cho $(a;b) \subset D$ và $f(x) < f (x_0)$ với mọi $x\in(a;b)\setminus \left\{ {x_0} \right\}$. Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f$.
b)    $x_0$ được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$  sao cho $(a;b) \subset D$ và $f(x) > f (x_0)$ với mọi $x\in(a;b)\setminus \left\{ {x_0} \right\}$. Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f$.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu $x_0$ là một điểm cực trị của hàm số $f$ thì người ta nói rằng hàm số $f$ đạt cực trị tại điểm $x_0$.
Như vậy: điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp $D(D\subset
\mathbb{R})$.
$2$.  Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý $1$
. Giả sử hàm số $f$ đạt cực trị tại điểm $x_0$. Khi đó, nếu $f$ có đạo hàm tại điểm $x_0$  thì $f’(x_0)=0$
Chú ý:
    Đạo hàm $f’$ có thể bằng $0$ tại điểm $x_0$ nhưng hàm số $f$ không đạt cực trị tại điểm $x_0$.
    Hàm số có thể đạt cực tri tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
    Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
$3.$    Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý $2$:
Giả sử hàm số $f$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a; x_0)$  và $(x_0;b)$. Khi đó
a)  Nếu $\begin{cases}f'(x_0)<0, x\in (a;x_0) \\f'(x_0)>0, x\in (x_0;b) \end{cases}$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_0$. Nói một cách khác, nếu $f’(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ qua điểm $x_0.$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_0$.

b)  Nếu $\begin{cases}f'(x_0)>0, x\in (a;x_0) \\f'(x_0)<0, x\in (x_0;b) \end{cases}$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0$. Nói một cách khác, nếu $f’(x)$ từ dương sang âm khi $x$ qua điểm $x_0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$.


Định lý $3$.
Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm cấp một trên khoảng $(a,b)$ chứa điểm $x_0,f'(x_0 )=0$ và $f$ có đạo hàm cấp hai khác $0$ tại điểm $x_0.$
a)    Nếu $f’’(x_0)<0$  thì hàm số $f$ đạt cực đại tại điểm $x_0.$
b)    Nếu $ f’’(x_0)>0$  thì hàm số $f$ đạt cực tiểu tại điểm $x_0.$
$4$.  Quy tắc tìm cực trị:
Quy tắc $1$:
áp dụng định lý $2$
    Tìm $f’(x)$
    Tìm các điểm $x_i (i=1,2,3…)$ tại đó đạo hàm bằng $ 0$ hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
    Xét dấu của $f’(x)$. Nếu $f’(x)$ đổi dấu khi $x$ qua điểm $x_0$ thì hàm số có cực trị tại điểm $x_0.$
Quy tắc $2$: áp dụng định lý $3$
    Tìm $ f’(x)$
    Tìm các nghiệm $x_i (i=1,2,3…)$ của $f’(x) = 0$
    Với mỗi $x_i$ tính $f’’(x_i).$
    Nếu $f’’(x_i)<0$  thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_i.$
    Nếu $f’’(x_i)>0$  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_i.$

B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ $1$.
Tìm cực trị của các hàm số
a) $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+\frac{5}{3}$
b) $y=f(x)=|x|(x+2)$
Lời giải :
a) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$.

Ta có : $f'(x)=x^2-2x-3$
           $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=-1\\ x=3\end{matrix}} \right.$
Cách $1.$ Bảng biến thiên
 
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1, f(-1)=\frac{10}{3}$, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=3, f(3)=-\frac{22}{3}$.
 Cách $2.$ $f''(x)=2x-2$
Vì $f''(-1)=-4<0$ nên hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1, f(-1)=\frac{10}{3}$.
Vì $f''(3)=4>0$ nên hàm số đạt cực đại tại điểm $x=3, f(3)=-\frac{22}{3}$.
 b) $f(x)=|x|(x+2)=\begin{cases}x(x+2)  \text {khi}  x \ge 0\\-x(x+2)  \text {khi}  x < 0 \end{cases}$
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.
 Ta có : $f'(x)=\begin{cases}2x+2>0  \text {khi}  x > 0\\ -2x-2>0  \text {khi}  x < 0 \\ 0  \text {khi}  x = 0\end{cases}$
 Hàm số liên tục tại $x=0$, không có đạo hàm tại $x=0$.
 Bảng biến thiên
 
 Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1, f(-1)=1.$
 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0, f(0)=0.$
Ví dụ $2$. Tìm cực trị của các hàm số
a) $f(x)=x\sqrt{4-x^2}$
b) $f(x)=8-2\cos x -\cos 2x$
Lời giải :
a) Hàm số đã cho xác định trên $[-2;2]$.

Ta có : $f'(x)=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}},    x \in (-2;2)$
           $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=-\sqrt 2\\ x=\sqrt 2\end{matrix}} \right.$
Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=-\sqrt 2, f(-\sqrt 2)=-2$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\sqrt 2, f(\sqrt 2)=2$.
 b)
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.
 Ta có : $f'(x)=2\sin x + 2\sin 2x=2\sin x(1+2\cos x)$
            $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}\sin x=0\\ \cos x=-\frac{1}{2} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=k\pi\\  x=\pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi\end{matrix}} \right.     ( k \in \mathbb{Z})$
           $f''(x)=2\cos x+4\cos 2x$
           $f''\left ( \pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi \right )=-3<0$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=\pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi,f\left ( \pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi \right )=\frac{9}{2}$
           $f''\left ( k\pi \right )=2\cos k\pi +4>0$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=k\pi,f\left ( k\pi \right )=2(1-\cos k\pi)$
Bài tập tương tự. Tìm cực trị của các hàm số
a) $f(x)=\sqrt{|x|}(x-3)$
b) $f(x)=|x|$
c) $f(x)=2\sin 2x -3$
d) $f(x)=x-\sin 2x +2$
  Đáp số :
a)
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0, f(0)=0$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=1, f(1)= -2$.
 b)
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0, f(0)=0$.
 c)
Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=\frac{\pi}{4}+k\pi, f\left ( \frac{\pi}{4}+k\pi \right )=-1$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\frac{\pi}{4}+(2k+1)\frac{\pi}{2},f\left ( \frac{\pi}{4}+(2k+1)\frac{\pi}{2} \right )=-5$.
 Trong đó $k \in \mathbb{Z}.$
d)
Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=-\frac{\pi}{6}+k\pi$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\frac{\pi}{6}+k\pi$.
 Trong đó $k \in \mathbb{Z}.$ 
 Ví dụ $3$.
a) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x,m)=(m+2)x^3+3x^2+mx+m$ có cực đại, cực tiểu.
b) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x,m)=\frac{1}{2}x^4-mx^2+\frac{3}{2}$có cực tiểu mà không có cực đại.
Lời giải :
a) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}.$
Ta có : $y'=3(m+2)x^2+6x+m$
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt hay
$\begin{cases}m+2 \ne 0 \\ \Delta'=9-3m(m+2)>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m+2 \ne 0 \\ m^2+2m-3<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m+2 \ne 0 \\ -3<m<1 \end{cases}$
Vậy giá trị $m$ cần tìm là $-3<m<1, m \ne -2$.
b) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}.$
Ta có : $y'=2x^3-2mx$
            $y'=0\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} x=0\\ x^2=m   (*) \end{matrix}} \right.$
Hàm số đã cho có cực tiểu mà không có cực đại khi phương trình $y'=0$ có một nghiệm duy nhất và $y'$ đổi dấu khi $x$ đi qua nghiệm đó. Khi đó PT $x^2=m   (*)$ vô nghiệm hay có nghiệm kép $x=0\Leftrightarrow m \le 0$.
 Vậy $m \le 0$ là giá trị cần tìm.

 
Bài tập tương tự.
a) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x)=x^3+(m+3)x^2+1-m$ đạt cực đại tại $x=-1$
b) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x)=x^3-6x^2+3(m+2)x-m-6$ đạt cực đại và cực tiểu đông thời hai giá trị này cùng dấu.
Hướng dẫn :
a) Chứng tỏ rằng $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=0\\ x= -\frac{2m+6}{3}\end{matrix}} \right.$
Để suy ra yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow -\frac{2m+6}{3}=-1\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}$
b) Đáp số : $-\frac{17}{4}<m<2$.

Thẻ

Lượt xem

42155
Chat chit và chém gió
  • Jack Nguyễn: smart thật 11/15/2018 9:31:49 PM
  • nighttrouble187 ☭: 𝚌𝚑à𝚘 𝙹𝚊𝚌𝚔 𝚗𝚑é 11/15/2018 9:32:26 PM
  • Jack Nguyễn: trg bn cb thi chưa 11/15/2018 9:32:50 PM
  • Kiệt2003: à ra hai người này về vụ thi đai học 11/15/2018 9:33:27 PM
  • nighttrouble187 ☭: ᴄʜưᴀ ʙạɴ ơɪ ɢầɴ ᴛếᴛ ᴍớɪ ᴛʜɪ 11/15/2018 9:33:28 PM
  • Jack Nguyễn: :v 11/15/2018 9:33:43 PM
  • Jack Nguyễn: sướng vậy 11/15/2018 9:33:57 PM
  • Rushia: Nãy giờ họ ns 17t mà e k nhận ra sao K 11/15/2018 9:34:05 PM
  • Rushia: laughing) 11/15/2018 9:34:07 PM
  • nighttrouble187 ☭: ʙạɴ ᴛʜɪ ᴛʀườɴɢ ɢỉ ʜả ᴊᴀᴄᴋ 11/15/2018 9:34:16 PM
  • Jack Nguyễn: mk cx chưa biết 11/15/2018 9:34:32 PM
  • Jack Nguyễn: hiện h đang ôn ielts 11/15/2018 9:34:58 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Pu(๖ۣۜTSag): lé mắt hết r :3 11/15/2018 9:35:11 PM
  • nighttrouble187 ☭: mình định thi 𝔨𝔦𝔫𝔥 𝔱ế đạ𝔦 𝔥ọ𝔠 𝔮𝔲ố𝔠 𝔤𝔦𝔞 𝔥à 𝔫ộ𝔦 11/15/2018 9:35:43 PM
  • Jack Nguyễn: wowww 11/15/2018 9:36:07 PM
  • nighttrouble187 ☭: ᴍìɴʜ ʜọᴄ ᴋʜốɪ ᴅ ɴày 11/15/2018 9:36:32 PM
  • Rushia: Đh ktqdrolling_on_the_floor) 11/15/2018 9:36:35 PM
  • Rushia: Nhiều ng tài 11/15/2018 9:36:46 PM
  • Kiệt2003: haiz 11/15/2018 9:36:52 PM
  • Jack Nguyễn: me too 11/15/2018 9:37:12 PM
  • Jack Nguyễn: cho nhàn 11/15/2018 9:37:29 PM
  • nighttrouble187 ☭: căn bản ngu hoá 11/15/2018 9:37:40 PM
  • nighttrouble187 ☭: mù lý 11/15/2018 9:37:44 PM
  • nighttrouble187 ☭: học khối D 11/15/2018 9:37:55 PM
  • Jack Nguyễn: mk ko ngu hóa vs lý nhưng ban d cho dễ 11/15/2018 9:37:59 PM
  • nighttrouble187 ☭: có tiếng anh lợi hơn chúng nó 11/15/2018 9:38:06 PM
  • nighttrouble187 ☭: học Văn cho nó yêu đời 11/15/2018 9:38:16 PM
  • nighttrouble187 ☭: đâᴍ ʀᴀ ʟà ᴍìɴʜ ʜọᴄ ᴋʜốɪ ᴅ 11/15/2018 9:39:08 PM
  • nighttrouble187 ☭: đang học hình không gian -.- 11/15/2018 9:39:22 PM
  • Jack Nguyễn: dễ mà 11/15/2018 9:39:33 PM
  • Jack Nguyễn: ko khó đâu 11/15/2018 9:40:25 PM
  • nighttrouble187 ☭: dễ hay khó vẫn phải học :3 11/15/2018 9:40:38 PM
  • Jack Nguyễn: dùng trí tưởng tượng ý 11/15/2018 9:40:38 PM
  • nighttrouble187 ☭: có học có hơn 11/15/2018 9:40:47 PM
  • Jack Nguyễn: cx đúng 11/15/2018 9:40:54 PM
  • nighttrouble187 ☭: chả đúng thì sao :v 11/15/2018 9:41:05 PM
  • nighttrouble187 ☭: ielts của bạn mấy ? 11/15/2018 9:41:29 PM
  • Jack Nguyễn: mk đang ôn cho 5.5 11/15/2018 9:41:45 PM
  • Jack Nguyễn: hết lp 12 thì là 5.5 11/15/2018 9:41:57 PM
  • nighttrouble187 ☭: ielts của mình được 7 rồi 11/15/2018 9:42:38 PM
  • hoangminhhero2003: likhl 11/15/2018 9:42:41 PM
  • Jack Nguyễn: ghê 11/15/2018 9:42:50 PM
  • Kiệt2003: hi minh 11/15/2018 9:42:51 PM
  • hoangminhhero2003: hi 11/15/2018 9:42:57 PM
  • Jack Nguyễn: hi new member 11/15/2018 9:43:04 PM
  • hoangminhhero2003: happy 11/15/2018 9:43:42 PM
  • nighttrouble187 ☭: i am signing. out , peace out 11/15/2018 9:43:59 PM
  • Kiệt2003: haiz 2 năm nữa thôi 11/15/2018 9:44:46 PM
  • Jack Nguyễn: try hard 11/15/2018 9:45:16 PM
  • nighttrouble187 ☭: try harder , no pressure , no diamond 11/15/2018 9:45:36 PM
  • Jack Nguyễn: tưởng sign out 11/15/2018 9:45:53 PM
  • Jack Nguyễn: -.- 11/15/2018 9:46:06 PM
  • nighttrouble187 ☭: thôi thì 𝓹𝓮𝓪𝓬𝓮 𝓸𝓾𝓽 :3 11/15/2018 9:46:35 PM
  • hoangminhhero2003: iop[; 11/15/2018 9:51:32 PM
  • hoangminhhero2003: tiếp đi 11/15/2018 9:57:48 PM
  • Rushia: Hết ng chưa 11/15/2018 9:58:53 PM
  • hoangminhhero2003: còn ai thì đ danh đi 11/15/2018 10:00:35 PM
  • Rushia: Chào 2k3happy 11/15/2018 10:01:08 PM
  • hoangminhhero2003: chảo 11/15/2018 10:02:08 PM
  • hoangminhhero2003: b bn tuổi 11/15/2018 10:02:26 PM
  • Rushia: E 17t z tính ra làm e rồihappy 11/15/2018 10:05:00 PM
  • Rushia: À mà k đc 17tlaughing 11/15/2018 10:05:35 PM
  • hoangminhhero2003: e 15 mà 11/15/2018 10:06:01 PM
  • Kiệt2003: chán cj nga quá 11/15/2018 10:07:08 PM
  • Kiệt2003: cj k nhớ tuổi của e sao 11/15/2018 10:07:20 PM
  • Rushia: Cj nhầm vs cái bạn trênlaughing) 11/15/2018 10:07:25 PM
  • Rushia: E hơn eg cj 2t 11/15/2018 10:07:38 PM
  • Kiệt2003: hí hí 11/15/2018 10:07:38 PM
  • Rushia: Nhớ chứlaughing) 11/15/2018 10:07:47 PM
  • Kiệt2003: eg nào của cj ạ 11/15/2018 10:07:50 PM
  • Rushia: E ruột 11/15/2018 10:07:55 PM
  • Kiệt2003: à vâng 11/15/2018 10:08:29 PM
  • Rushia: Nó vào nick of cj là chủ yếu chứ k vào đây mấyrolling_on_the_floor 11/15/2018 10:08:36 PM
  • Kiệt2003: thế ạ 11/15/2018 10:09:49 PM
  • Rushia: Ukm 11/15/2018 10:11:01 PM
  • Kiệt2003: pp cj nhá engur à 11/15/2018 10:11:44 PM
  • Kiệt2003: pp cj 11/15/2018 10:11:48 PM
  • Rushia: Ngủ sớm z ag 11/15/2018 10:11:55 PM
  • Rushia: E nn. Pp 11/15/2018 10:12:14 PM
  • Kiệt2003: cj ngủ ngon 11/15/2018 10:13:08 PM
  • nhatmicky: wave 11/15/2018 10:27:58 PM
  • nhatmicky: surprisesilly 11/15/2018 10:28:41 PM
  • Rushia: straight_face 11/15/2018 11:03:33 PM
  • laitridung2004: Thấy thì rep nhé Chi 11/15/2018 11:29:56 PM
  • laitridung2004: hú Chi ơi 11/16/2018 12:23:34 PM
  • laitridung2004:11/16/2018 6:13:52 PM
  • Kiệt2003: hi 11/16/2018 8:01:52 PM
  • laitridung2004: hi 11/16/2018 8:04:23 PM
  • Tuyết Nhi: ah kiệt ơi 11/16/2018 8:07:12 PM
  • Kiệt2003: hú linh 11/16/2018 8:07:33 PM
  • Tuyết Nhi: hj ah 11/16/2018 8:07:42 PM
  • Tuyết Nhi: ah ib e hs xíu nhé 11/16/2018 8:07:49 PM
  • Kiệt2003: hí lâu k gặp e nhỉ 11/16/2018 8:07:50 PM
  • Kiệt2003: ok e 11/16/2018 8:07:54 PM
  • Kiệt2003: e nt đi 11/16/2018 8:08:21 PM
  • Kiệt2003:11/16/2018 8:30:06 PM
  • Kiệt2003: linh ơi 11/16/2018 8:30:10 PM
  • Tuyết Nhi: dạ 11/16/2018 8:30:17 PM
  • ๖ۣۜBossღ: broken_heart 11/16/2018 9:47:19 PM
  • hoangduong: happy 11/16/2018 9:50:32 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo9119* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • ☼SunShine❤️
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Rushia
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜ➻❥Pu(๖ۣۜTSag)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Lùn
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • Tuyết Nhi
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • Mây của trời cứ để gió cuốn đi
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004
  • honhutlinh
  • let02hb
  • vohieutrung99