A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
$1.$  Khái niệm cực trị hàm số:
Giả sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp $D (D\subset
\mathbb{R})$ và $x_0\in D$
a)    $x_0$ được gọi là một điểm cực đại của hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$  sao cho $(a;b) \subset D$ và $f(x) < f (x_0)$ với mọi $x\in(a;b)\setminus \left\{ {x_0} \right\}$. Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f$.
b)    $x_0$ được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$  sao cho $(a;b) \subset D$ và $f(x) > f (x_0)$ với mọi $x\in(a;b)\setminus \left\{ {x_0} \right\}$. Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f$.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu $x_0$ là một điểm cực trị của hàm số $f$ thì người ta nói rằng hàm số $f$ đạt cực trị tại điểm $x_0$.
Như vậy: điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp $D(D\subset
\mathbb{R})$.
$2$.  Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý $1$
. Giả sử hàm số $f$ đạt cực trị tại điểm $x_0$. Khi đó, nếu $f$ có đạo hàm tại điểm $x_0$  thì $f’(x_0)=0$
Chú ý:
    Đạo hàm $f’$ có thể bằng $0$ tại điểm $x_0$ nhưng hàm số $f$ không đạt cực trị tại điểm $x_0$.
    Hàm số có thể đạt cực tri tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
    Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
$3.$    Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý $2$:
Giả sử hàm số $f$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a; x_0)$  và $(x_0;b)$. Khi đó
a)  Nếu $\begin{cases}f'(x_0)<0, x\in (a;x_0) \\f'(x_0)>0, x\in (x_0;b) \end{cases}$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_0$. Nói một cách khác, nếu $f’(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ qua điểm $x_0.$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_0$.

b)  Nếu $\begin{cases}f'(x_0)>0, x\in (a;x_0) \\f'(x_0)<0, x\in (x_0;b) \end{cases}$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0$. Nói một cách khác, nếu $f’(x)$ từ dương sang âm khi $x$ qua điểm $x_0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$.


Định lý $3$.
Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm cấp một trên khoảng $(a,b)$ chứa điểm $x_0,f'(x_0 )=0$ và $f$ có đạo hàm cấp hai khác $0$ tại điểm $x_0.$
a)    Nếu $f’’(x_0)<0$  thì hàm số $f$ đạt cực đại tại điểm $x_0.$
b)    Nếu $ f’’(x_0)>0$  thì hàm số $f$ đạt cực tiểu tại điểm $x_0.$
$4$.  Quy tắc tìm cực trị:
Quy tắc $1$:
áp dụng định lý $2$
    Tìm $f’(x)$
    Tìm các điểm $x_i (i=1,2,3…)$ tại đó đạo hàm bằng $ 0$ hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
    Xét dấu của $f’(x)$. Nếu $f’(x)$ đổi dấu khi $x$ qua điểm $x_0$ thì hàm số có cực trị tại điểm $x_0.$
Quy tắc $2$: áp dụng định lý $3$
    Tìm $ f’(x)$
    Tìm các nghiệm $x_i (i=1,2,3…)$ của $f’(x) = 0$
    Với mỗi $x_i$ tính $f’’(x_i).$
    Nếu $f’’(x_i)<0$  thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_i.$
    Nếu $f’’(x_i)>0$  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_i.$

B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ $1$.
Tìm cực trị của các hàm số
a) $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+\frac{5}{3}$
b) $y=f(x)=|x|(x+2)$
Lời giải :
a) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$.

Ta có : $f'(x)=x^2-2x-3$
           $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=-1\\ x=3\end{matrix}} \right.$
Cách $1.$ Bảng biến thiên
 
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1, f(-1)=\frac{10}{3}$, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=3, f(3)=-\frac{22}{3}$.
 Cách $2.$ $f''(x)=2x-2$
Vì $f''(-1)=-4<0$ nên hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1, f(-1)=\frac{10}{3}$.
Vì $f''(3)=4>0$ nên hàm số đạt cực đại tại điểm $x=3, f(3)=-\frac{22}{3}$.
 b) $f(x)=|x|(x+2)=\begin{cases}x(x+2)  \text {khi}  x \ge 0\\-x(x+2)  \text {khi}  x < 0 \end{cases}$
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.
 Ta có : $f'(x)=\begin{cases}2x+2>0  \text {khi}  x > 0\\ -2x-2>0  \text {khi}  x < 0 \\ 0  \text {khi}  x = 0\end{cases}$
 Hàm số liên tục tại $x=0$, không có đạo hàm tại $x=0$.
 Bảng biến thiên
 
 Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1, f(-1)=1.$
 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0, f(0)=0.$
Ví dụ $2$. Tìm cực trị của các hàm số
a) $f(x)=x\sqrt{4-x^2}$
b) $f(x)=8-2\cos x -\cos 2x$
Lời giải :
a) Hàm số đã cho xác định trên $[-2;2]$.

Ta có : $f'(x)=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}},    x \in (-2;2)$
           $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=-\sqrt 2\\ x=\sqrt 2\end{matrix}} \right.$
Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=-\sqrt 2, f(-\sqrt 2)=-2$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\sqrt 2, f(\sqrt 2)=2$.
 b)
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.
 Ta có : $f'(x)=2\sin x + 2\sin 2x=2\sin x(1+2\cos x)$
            $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}\sin x=0\\ \cos x=-\frac{1}{2} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=k\pi\\  x=\pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi\end{matrix}} \right.     ( k \in \mathbb{Z})$
           $f''(x)=2\cos x+4\cos 2x$
           $f''\left ( \pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi \right )=-3<0$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=\pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi,f\left ( \pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi \right )=\frac{9}{2}$
           $f''\left ( k\pi \right )=2\cos k\pi +4>0$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=k\pi,f\left ( k\pi \right )=2(1-\cos k\pi)$
Bài tập tương tự. Tìm cực trị của các hàm số
a) $f(x)=\sqrt{|x|}(x-3)$
b) $f(x)=|x|$
c) $f(x)=2\sin 2x -3$
d) $f(x)=x-\sin 2x +2$
  Đáp số :
a)
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0, f(0)=0$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=1, f(1)= -2$.
 b)
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0, f(0)=0$.
 c)
Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=\frac{\pi}{4}+k\pi, f\left ( \frac{\pi}{4}+k\pi \right )=-1$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\frac{\pi}{4}+(2k+1)\frac{\pi}{2},f\left ( \frac{\pi}{4}+(2k+1)\frac{\pi}{2} \right )=-5$.
 Trong đó $k \in \mathbb{Z}.$
d)
Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=-\frac{\pi}{6}+k\pi$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\frac{\pi}{6}+k\pi$.
 Trong đó $k \in \mathbb{Z}.$ 
 Ví dụ $3$.
a) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x,m)=(m+2)x^3+3x^2+mx+m$ có cực đại, cực tiểu.
b) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x,m)=\frac{1}{2}x^4-mx^2+\frac{3}{2}$có cực tiểu mà không có cực đại.
Lời giải :
a) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}.$
Ta có : $y'=3(m+2)x^2+6x+m$
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt hay
$\begin{cases}m+2 \ne 0 \\ \Delta'=9-3m(m+2)>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m+2 \ne 0 \\ m^2+2m-3<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m+2 \ne 0 \\ -3<m<1 \end{cases}$
Vậy giá trị $m$ cần tìm là $-3<m<1, m \ne -2$.
b) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}.$
Ta có : $y'=2x^3-2mx$
            $y'=0\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} x=0\\ x^2=m   (*) \end{matrix}} \right.$
Hàm số đã cho có cực tiểu mà không có cực đại khi phương trình $y'=0$ có một nghiệm duy nhất và $y'$ đổi dấu khi $x$ đi qua nghiệm đó. Khi đó PT $x^2=m   (*)$ vô nghiệm hay có nghiệm kép $x=0\Leftrightarrow m \le 0$.
 Vậy $m \le 0$ là giá trị cần tìm.

 
Bài tập tương tự.
a) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x)=x^3+(m+3)x^2+1-m$ đạt cực đại tại $x=-1$
b) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x)=x^3-6x^2+3(m+2)x-m-6$ đạt cực đại và cực tiểu đông thời hai giá trị này cùng dấu.
Hướng dẫn :
a) Chứng tỏ rằng $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=0\\ x= -\frac{2m+6}{3}\end{matrix}} \right.$
Để suy ra yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow -\frac{2m+6}{3}=-1\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}$
b) Đáp số : $-\frac{17}{4}<m<2$.

Thẻ

Lượt xem

31780
Chat chit và chém gió
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: rolling_on_the_floor 5/29/2017 8:35:37 PM
  • Nhung Nguyễn: hahaaa laughing 5/29/2017 8:35:38 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: tiêu chí thứ 3 5/29/2017 8:35:41 PM
  • Nhung Nguyễn: z e bỏ A đi Th ạ 5/29/2017 8:35:43 PM
  • Nhung Nguyễn: nhà N giàu mà laughing 5/29/2017 8:35:47 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: chồng giàu 5/29/2017 8:35:49 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: rolling_on_the_floor 5/29/2017 8:35:51 PM
  • Nhung Nguyễn: thuê osin rolling_on_the_floor 5/29/2017 8:35:53 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: e toàn ddorrremon 5/29/2017 8:35:57 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: laughing 5/29/2017 8:36:08 PM
  • Nhung Nguyễn: laughing 5/29/2017 8:36:20 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: doraemon chị cày hết lâu rồi 5/29/2017 8:36:24 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: chị có cả 1 tủ riêng đựng sách truyện mà rolling_on_the_floor 5/29/2017 8:36:38 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: e thì ngồi xem film chung vs cháu 5/29/2017 8:36:40 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: hehe 5/29/2017 8:36:43 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: chị xem doraemon, shin, conan 5/29/2017 8:36:51 PM
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido: laughing 5/29/2017 8:36:52 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: e chả có cquyeenr truyện nào 5/29/2017 8:36:57 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: gần hết các tập rồi 5/29/2017 8:37:00 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: laughing 5/29/2017 8:37:01 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: giờ chỉ chờ movie mới thôi rolling_on_the_floor 5/29/2017 8:37:08 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: còn nhiều thể loại lắm rolling_on_the_floor 5/29/2017 8:37:21 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: xem phim n' ms thik 5/29/2017 8:37:21 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: đọc truyện mỏi cả mắt 5/29/2017 8:37:30 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: lại còn hay bị mắng nữa 5/29/2017 8:37:41 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: chị thích đọc sách hơn 5/29/2017 8:37:41 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: mà giờ lên độ cmnr -.- 5/29/2017 8:37:50 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: e đọc dễ buồn ngủ lắm 5/29/2017 8:37:53 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: e chỉ đọc sách học sau lm bt luôn thoy 5/29/2017 8:38:06 PM
  • Nhung Nguyễn: laughing) 5/29/2017 8:38:16 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: chứ đọc mấy quyển truyện là y rằng ngủ gật 5/29/2017 8:38:19 PM
  • Nhung Nguyễn: c hay ngủ gật khi đọc schs lém laughing 5/29/2017 8:38:31 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: hehe 5/29/2017 8:38:43 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: mà mấy cj có ai học onl ko 5/29/2017 8:38:56 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: chị 5/29/2017 8:39:05 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: học trên moon hay học 24 hả cj 5/29/2017 8:39:12 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: có khóa 1 năm nay chị chưa động tới 5/29/2017 8:39:19 PM
  • Nhung Nguyễn: khóa j thía 5/29/2017 8:39:26 PM
  • Nhung Nguyễn: Anh hả 5/29/2017 8:39:27 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: bên Moon chị có 23-24 khóa 5/29/2017 8:39:30 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: ai lấy không? 5/29/2017 8:39:34 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: t cho 5/29/2017 8:39:35 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: cho e 5/29/2017 8:39:38 PM
  • Nhung Nguyễn: ck mun mà méo có tiền tH Ạ 5/29/2017 8:39:40 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: :v 5/29/2017 8:39:40 PM
  • Nhung Nguyễn: khóa t 5/29/2017 8:39:42 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: còn hơn 1 tháng nữa rolling_on_the_floor 5/29/2017 8:39:43 PM
  • Nhung Nguyễn: cho t 5/29/2017 8:39:43 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: môn j hử cj 5/29/2017 8:39:53 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: Anh rolling_on_the_floor 5/29/2017 8:39:58 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: có Toán nữa hay sao ấy 5/29/2017 8:40:03 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: cho e toán đi 5/29/2017 8:40:09 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: chị được tặng mấy khóa mà 5/29/2017 8:40:09 PM
  • Nhung Nguyễn: rolling_on_the_floor đù toán 11 ý hả 5/29/2017 8:40:09 PM
  • Nhung Nguyễn: s bà ngon thía 5/29/2017 8:40:15 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: mà ai học Lize hem? 5/29/2017 8:40:19 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: s lại đk tặng z 5/29/2017 8:40:21 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: t được giảm giá khóa 800k 5/29/2017 8:40:28 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: ko cj 5/29/2017 8:40:28 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: còn 200k này big_grin 5/29/2017 8:40:31 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: n' khuyến mại hay tnao hử cj 5/29/2017 8:40:47 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: giảm tận 600k 5/29/2017 8:40:52 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: tai vì thấy chị hiền lành, tốt bụng lại xinh gái đấy big_grin 5/29/2017 8:40:59 PM
  • Nhung Nguyễn: hahaa rolling_on_the_floor 5/29/2017 8:41:05 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: laughing 5/29/2017 8:41:11 PM
  • Nhung Nguyễn: s bà có nhiu khóa thế 5/29/2017 8:41:12 PM
  • Nhung Nguyễn: Lize? là j 5/29/2017 8:41:16 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: chị được đặc cách em ạ rolling_on_the_floor 5/29/2017 8:41:22 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: cj Nga cho e khoá Toán 11 đi 5/29/2017 8:41:22 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: để chị nhớ nick cái coi rolling_on_the_floor 5/29/2017 8:41:59 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: Lize là học TA hả 5/29/2017 8:42:03 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: mà cj học thầy nào thế 5/29/2017 8:42:19 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: Lize có tất cả các môn như Moon ấy 5/29/2017 8:42:23 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: hình như thầy Hùng 5/29/2017 8:42:33 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: lâu rồi chưa vào rolling_on_the_floor 5/29/2017 8:42:38 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: vuphuongnga 5/29/2017 8:42:46 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: Phuongnga810 5/29/2017 8:42:49 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: em đăng nhập thử 5/29/2017 8:42:54 PM
  • Nhung Nguyễn: laughing 5/29/2017 8:42:58 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: oke để e xem 5/29/2017 8:43:03 PM
  • Nhung Nguyễn: á ui lại hk hả 5/29/2017 8:44:11 PM
  • Nhung Nguyễn: p chs chứ 2 ce nhà này 5/29/2017 8:44:17 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: tên đn or mk ko đúng 5/29/2017 8:44:17 PM
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido: laughing 5/29/2017 8:44:33 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: Jin cười chi =_= 5/29/2017 8:45:04 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: phuongngavu 5/29/2017 8:45:14 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: Phuongnga810 5/29/2017 8:45:21 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: đk rùi 5/29/2017 8:46:03 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: :v 5/29/2017 8:46:04 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: cảm ơn cj 5/29/2017 8:46:07 PM
  • ๖ۣۜDämonღ: còn tháng rưỡi nữa rolling_on_the_floor 5/29/2017 8:46:38 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: hehe 5/29/2017 8:47:04 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: cố xem cày đk hết ko 5/29/2017 8:47:13 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: :v 5/29/2017 8:47:15 PM
  • Nhung Nguyễn: Th lại cố cày oi 5/29/2017 8:47:26 PM
  • Nhung Nguyễn: hk ghê wa e ạ laughing 5/29/2017 8:47:30 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: e fai khoá fb ms đk 5/29/2017 8:47:41 PM
  • Nhung Nguyễn: úi giời laughing) 5/29/2017 8:47:49 PM
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ: chứ hay hóng hớt lắm 5/29/2017 8:47:51 PM
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido: laughing 5/29/2017 8:47:52 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • Lỗi
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • =.=
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜSầu
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • ko tên ko tuổi
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minhˆˆ
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Efforts
  • chinh923
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang.ch2609
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • -๖ۣۜGiả๖ۣۜTạo๖ۣۜ
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Tôi Tên "NHÁI"
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • ๖ۣۜQueenღ
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • †✬ɪƒ ƴσυ’ʀє αʟση✬ †
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Lành
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • ProGK
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDämonღ
  • phucanhthien
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Young Wild and Free
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • -
  • Nhok Sam
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • TMLLL
  • cụ nhỏ
  • Update
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • Trangg'sss Kiềuu'sss
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hoàng Linh Lan
  • NiuNiu
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Nhung Nguyễn
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • math
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • tran85295
  • Bae Yi Jeong Ah
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Ông chủ của cô chủ
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • Đức Vỹ
  • Trung