Chúng ta bắt đầu với ví dụ sau
Ví dụ $1$. Tính tổng
$S=1C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots+(n-1)C_n^{n-1}+nC_n^n    (n \in \mathbb{N^*}).$
Lời giải:
Cách $1$.
Sử dụng công thức $C_n^k=C_n^{n-k}$ với $k=0,1,\cdots,n,$ ta viết lại tổng đã cho như sau :
$S=nC_n^0+(n-1)C_n^1+(n-2)C^2_n+\cdots+1C_n^{n-1}$.
Như vậy, ta có
$S=1C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots+(n-1)C_n^{n-1}+nC_n^n $
$S=nC_n^0+(n-1)C_n^1+(n-2)C^2_n+\cdots+1C_n^{n-1}$.
cộng theo vế hai đẳng thức trên ta được
$2S=nC_n^0+nC_n^1+nC_n^2+\cdots+nC_n^{n-1}+nC_n^n$
$\Rightarrow 2S=n.\sum_{k=0}^{n}C_n^k1^k=n.(1+1)^n=n.2^n$
Vậy $S=n2^{n-1}$.
Cách $2$. Ta có
Bổ đề : Với mọi $n, k \in\mathbb{N^*}$ và $n \ge k \ge 1$ thì $kC_n^k=nc_{n-1}^{k-1}$.
Thật vâỵ, với $n, k \in\mathbb{N^*}$: $n \ge k \ge 1$ thì
$kC_n^k=k.\frac{k!}{(n-k)!k!}=\frac{k.n.(n-1)!}{(n-k)!k,(k-1)!}=n.\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}=nC_{n-1}^{k-1}$ (đpcm).
Áp dụng bổ đề ta có :
$S=nC_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+nC_{n-1}^2+\cdots+nC_{n-1}^{n-1}=n.\sum_{k=0}^{n-1}C_n^k1^k=n.(1+1)^{n-1}=n.2^{n-1}$
Ví dụ $2$. Tính tổng
$S=\frac{1}{1}C_n^0+\frac{1}{2}C_n^1+\frac{1}{3}C_n^2+\cdots+\frac{1}{n+1}C_n^n       (n \in\mathbb{N^*})$.
Lời giải :
Cách $1$.
Xét đẳng thức sau :  $(x+1)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^kx^k=C_n^0x^0+C_n^1x^1+\cdots+C_n^nx^n$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}(x+1)^ndx=\int\limits_{0}^{1}\left (C_n^0x^0+C_n^1x^1+\cdots+C_n^nx^n \right )dx$
$\Rightarrow \frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1}  \big| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}= \frac{1}{1}C_n^0x^{}  \big| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}+ \frac{1}{2}C_n^1x^{2}  \big| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}+\cdots+ \frac{1}{n+1}C_n^nx^{n+1}  \big| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}$
$\Rightarrow \frac{1}{n+1}(2^{n+1}-1)=\frac{1}{1}C_n^0+\frac{1}{2}C_n^1+\frac{1}{3}C_n^2+\cdots+\frac{1}{n+1}C_n^n $
Hay $S=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.
Cách $2$.
Theo bổ đề đã chứng minh ở trên suy ra với các số tự nhiên $n$ và $k$ thỏa mãn $n \ge k$ ta có $\frac{1}{k+1}C_n^k=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$.
Vì vậy,
$S=\displaystyle \frac{C_{n+1}^1+C_{n+1}^2+\cdots+C_{n+1}^{n+1}}{n+1}= \frac{C_{n+1}^0+C_{n+1}^1+C_{n+1}^2+\cdots+C_{n+1}^{n+1}-1}{n+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.
Nhận xét. Các lời giải trên có ưu điểm là ngắn gọn, dễ trình bày và có hướng giải "tự nhiên". Quan trọng hơn cả là học sinh có thể giải được ngay cả khi chưa học đạo hàm và tích phân.
Ví dụ $3$. Tính tổng
$S=1.2.C_n^2+2.3.C_n^3+3.4.C_n^4+\cdots+(n-1).n.C_n^n       (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
Lời giải :
Với $n \in\mathbb{N^*}, n>2$ và $k=2,3,\cdots,n,$ áp dụng bổ đề ở phần trên hai lần ta có :
$(k-1)kC_n^k=(k-1)nC_{n-1}^{k-1}=n(k-1)C_{n-1}^{k-1}=n(n-1)C_{n-2}^{k-2}$
Suy ra $(k-1)kC_n^k=n(n-1)C_{n-2}^{k-2}$.
Như vậy ta được :
$S=1.2.C_n^2+2.3.C_n^3+3.4.C_n^4+\cdots+(n-1).n.C_n^n $
    $=(n-1)n\left ( C_{n-2}^0+C_{n-2}^1+C_{n-2}^2+\cdots+C_{n-2}^{n-2} \right )$
    $=(n-1)n2^{n-2}.$
Ví dụ $4$. Tính tổng
$S=1^2C_n^1+2^2C_n^2+\cdots+n^2C_n^2       (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
Lời giải :
Số hạng tổng quát của tổng $S$ là $k^2C_n^k$ với $k=2,3,\cdots,n,$ ta có
$k^2C_n^k=(k-1)kC_n^k+kC_n^k=n(n-1)C_{n-2}^{k-1}+nC_{n-1}^{k-1}$
(theo Ví dụ $3$ Ví dụ $1$)
Như vậy ta được :
$S=1^2C_n^1+2^2C_n^2+\cdots+n^2C_n^2   $
    $=n(n-1)\left ( C_{n-2}^0+C_{n-2}^1+\cdots+C_{n-2}^{n-2} \right )+n\left ( C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+\cdots+C_{n-1}^{n-1} \right )$
    $=n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}$
    $=n(n+1)2^{n-2}$.
Ví dụ $5$. Chứng minh rằng
$\frac{1}{2}C_{2n}^{1}+\frac{1}{4}C_{2n}^{1}+\cdots+\frac{1}{2n}C_{2n}^{2n-1}=\frac{2^{2n}-1}{2n+1}       (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
Lời giải :
Theo Ví dụ $2$ ta có : $\frac{1}{k+1}C_{n}^{k}=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$
Với $k=1,2,\cdots,n.$ Áp dụng vào bài toán ta được
    $\frac{1}{2}C_{2n}^{1}+\frac{1}{4}C_{2n}^{1}+\cdots+\frac{1}{2n}C_{2n}^{2n-1}$
$=\frac{1}{2n+1}\left ( C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+\cdots+C_{2n+1}^{2n}\right )$
$=\frac{1}{2n+1}\left (C_{2n+1}^0+ C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+\cdots+C_{2n+1}^{2n}-1\right )$
$=\frac{2^{2n}-1}{2n+1}$.
Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét. Các lời giải trên có ưu điểm là ngắn gọn, dễ trình bày và có hướng giải "tự nhiên". Quan trọng hơn cả là học sinh có thể giải được ngay cả khi chưa học đạo hàm và tích phân.
Nhận xét. Bài toán trên nằm trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao Đẳng năm $2007$. Trong đáp án trình bày theo cách giải tích phân khá phức tạp. Lời giải trên đây ngắn gọn hơn và tiếp cận tự nhiên hơn.

Từ bổ đề đã chứng minh ở phần trên, ta có thể giải được các bài tập sau đây.
Tính các tổng sau đây
$1.$ $S_1=1C_n^1-2C_n^2+3C_n^3-4C_n^4+\cdots+(-1)^nnC_n^n     (n \in\mathbb{N^*}, n>1)$.
$2.$ $S_2=1C_n^0+2C_n^1+3C_n^2+\cdots+nC_n^{n-1}     (n \in\mathbb{N^*})$.
$3.$ $S_3=1C_n^2+2C_n^3+3C_n^4+4C_n^5+\cdots+(n-1)C_n^n     (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
$4.$ $S_4=1C_n^2-2C_n^3+3C_n^4-4C_n^5+\cdots+(-1)^n(n-1)C_n^n     (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
cậu còn đề ko –  nhok cute 28-12-15 08:16 PM

Thẻ

Lượt xem

8039
Chat chit và chém gió
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:29 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:30 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:30 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:30 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:30 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:31 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:31 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:31 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:31 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:31 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:32 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:32 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:32 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:33 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:33 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:33 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:34 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:34 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:34 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:34 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:35 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:35 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:35 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:35 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:36 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:36 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:36 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:36 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:37 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:37 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: â 1/23/2017 8:42:37 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: noi dua ai ngo,,,,,,,,, 1/23/2017 8:42:38 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:38 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:38 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:38 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:39 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:39 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:39 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:39 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:40 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:40 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:40 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:40 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:40 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:41 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:41 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:41 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:41 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:42 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:42 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:42 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:42 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:42 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:43 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:43 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:43 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:43 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: a 1/23/2017 8:42:44 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: aai kêu ô bảo spam 1/23/2017 8:42:50 AM
  • thanhnga759: NÀY ngoan mai anh đưa em đi chơi nha 1/23/2017 8:42:52 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: t spam hộ big_grin 1/23/2017 8:42:54 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: praying amen chau sieu thoat nghe 1/23/2017 8:42:54 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: laughing 1/23/2017 8:43:00 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: laughing 1/23/2017 8:43:00 AM
  • thanhnga759: thôi hôm nay tôi phải đi ngủ sớm rui 1/23/2017 8:43:27 AM
  • thanhnga759: mn nch vui nha 1/23/2017 8:43:43 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: h ngủ á 1/23/2017 8:43:44 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: pp bà 1/23/2017 8:43:47 AM
  • thanhnga759: uh 1/23/2017 8:43:48 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: nn mơ ny rolling_on_the_floor 1/23/2017 8:43:52 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: praying amen ra di thanh than nha Nga 1/23/2017 8:44:10 AM
  • thanhnga759: chứ lai ngồi đén sang thi chet thatluon 1/23/2017 8:44:17 AM
  • thanhnga759: THANG KIA 1/23/2017 8:44:25 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: whistling 1/23/2017 8:44:28 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: chac no chua minh ra 1/23/2017 8:44:37 AM
  • thanhnga759: BÀ CHO MAY AN HOC MÀ MAY NS THẾ HẢ 1/23/2017 8:44:41 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: whistling 1/23/2017 8:44:43 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: =)0 1/23/2017 8:44:45 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: vay toi day gia su cho t nha 1/23/2017 8:45:04 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: winking 1/23/2017 8:45:10 AM
  • thanhnga759: khỏi cần 1/23/2017 8:45:17 AM
  • thanhnga759: đi ngủ 1/23/2017 8:45:21 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: ngu vs 1/23/2017 8:45:26 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: big_grin 1/23/2017 8:45:29 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: laughing 1/23/2017 8:45:33 AM
  • thanhnga759: sang mai tôi hoc 2 tiet ai ranh vô nch nha 1/23/2017 8:45:45 AM
  • thanhnga759: wave 1/23/2017 8:45:55 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: tui...... 1/23/2017 8:45:55 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: ko ranh 1/23/2017 8:45:59 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: laughing 1/23/2017 8:46:02 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: laughing 1/23/2017 8:46:03 AM
  • thanhnga759: laughing 1/23/2017 8:46:10 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: lão kia có đi ngủ vs ny lun krolling_on_the_floor 1/23/2017 8:46:32 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: ? 1/23/2017 8:46:39 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: who 1/23/2017 8:46:41 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: rolling_on_the_floor ô ý 1/23/2017 8:47:30 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: ở đây cn ai ak 1/23/2017 8:47:33 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: thoi o day tam su vs ba cho cai Nga ghen 1/23/2017 8:47:33 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: laughing 1/23/2017 8:47:39 AM
  • ๖ۣۜSnowღ: hahaa rolling_on_the_floor 1/23/2017 8:47:40 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • NO NAME
  • nguyenhuuminh22
  • =.=
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Táo Dễ thương
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜSầu
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • NoRikAriN
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • ko tên ko tuổi
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Hạt giấy
  • Minh Princess ^^
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Quên
  • chinh923
  • phanthilanphuong2011
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Em lạnh lùng ?
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • Hiểu Lầm
  • caigihu123
  • FuYu
  • Tôi Tên "NHÁI"
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • ¸.•´¯)© Gái'ss Lùn'ss ©.•´¯)
  • milodatnguyen
  • Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Hoàng Yến
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • ๖ۣۜQueenღ
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • HMU-HY-18
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • ۞♠ξ__Judal__ζ♣۞
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜAnubis๖ۣ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • ProGK
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜEvilღ ๖ۣۜShadow
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDämonღ
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • gphong
  • phng_pepsi
  • Young Wild and Free
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • johnnn509
  • __I Hate You__
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • karry devil
  • cụ nhỏ
  • Update
  • w
  • ♥ Sweet Cherry ♥
  • egaehaneya
  • Trangg"xxx Kiềuu"xxx
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Karry Angel ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • ntva
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • ๖ۣۜSnowღ
  • nhoxkhi
  • thanhnga759
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • Update
  • nhansubbq
  • lê việt anh
  • huyenthanhut9
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • nhuhoangvo810