Chúng ta bắt đầu với ví dụ sau
Ví dụ $1$. Tính tổng
$S=1C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots+(n-1)C_n^{n-1}+nC_n^n    (n \in \mathbb{N^*}).$
Lời giải:
Cách $1$.
Sử dụng công thức $C_n^k=C_n^{n-k}$ với $k=0,1,\cdots,n,$ ta viết lại tổng đã cho như sau :
$S=nC_n^0+(n-1)C_n^1+(n-2)C^2_n+\cdots+1C_n^{n-1}$.
Như vậy, ta có
$S=1C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots+(n-1)C_n^{n-1}+nC_n^n $
$S=nC_n^0+(n-1)C_n^1+(n-2)C^2_n+\cdots+1C_n^{n-1}$.
cộng theo vế hai đẳng thức trên ta được
$2S=nC_n^0+nC_n^1+nC_n^2+\cdots+nC_n^{n-1}+nC_n^n$
$\Rightarrow 2S=n.\sum_{k=0}^{n}C_n^k1^k=n.(1+1)^n=n.2^n$
Vậy $S=n2^{n-1}$.
Cách $2$. Ta có
Bổ đề : Với mọi $n, k \in\mathbb{N^*}$ và $n \ge k \ge 1$ thì $kC_n^k=nc_{n-1}^{k-1}$.
Thật vâỵ, với $n, k \in\mathbb{N^*}$: $n \ge k \ge 1$ thì
$kC_n^k=k.\frac{k!}{(n-k)!k!}=\frac{k.n.(n-1)!}{(n-k)!k,(k-1)!}=n.\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}=nC_{n-1}^{k-1}$ (đpcm).
Áp dụng bổ đề ta có :
$S=nC_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+nC_{n-1}^2+\cdots+nC_{n-1}^{n-1}=n.\sum_{k=0}^{n-1}C_n^k1^k=n.(1+1)^{n-1}=n.2^{n-1}$
Ví dụ $2$. Tính tổng
$S=\frac{1}{1}C_n^0+\frac{1}{2}C_n^1+\frac{1}{3}C_n^2+\cdots+\frac{1}{n+1}C_n^n       (n \in\mathbb{N^*})$.
Lời giải :
Cách $1$.
Xét đẳng thức sau :  $(x+1)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^kx^k=C_n^0x^0+C_n^1x^1+\cdots+C_n^nx^n$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}(x+1)^ndx=\int\limits_{0}^{1}\left (C_n^0x^0+C_n^1x^1+\cdots+C_n^nx^n \right )dx$
$\Rightarrow \frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1}  \big| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}= \frac{1}{1}C_n^0x^{}  \big| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}+ \frac{1}{2}C_n^1x^{2}  \big| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}+\cdots+ \frac{1}{n+1}C_n^nx^{n+1}  \big| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}$
$\Rightarrow \frac{1}{n+1}(2^{n+1}-1)=\frac{1}{1}C_n^0+\frac{1}{2}C_n^1+\frac{1}{3}C_n^2+\cdots+\frac{1}{n+1}C_n^n $
Hay $S=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.
Cách $2$.
Theo bổ đề đã chứng minh ở trên suy ra với các số tự nhiên $n$ và $k$ thỏa mãn $n \ge k$ ta có $\frac{1}{k+1}C_n^k=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$.
Vì vậy,
$S=\displaystyle \frac{C_{n+1}^1+C_{n+1}^2+\cdots+C_{n+1}^{n+1}}{n+1}= \frac{C_{n+1}^0+C_{n+1}^1+C_{n+1}^2+\cdots+C_{n+1}^{n+1}-1}{n+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.
Nhận xét. Các lời giải trên có ưu điểm là ngắn gọn, dễ trình bày và có hướng giải "tự nhiên". Quan trọng hơn cả là học sinh có thể giải được ngay cả khi chưa học đạo hàm và tích phân.
Ví dụ $3$. Tính tổng
$S=1.2.C_n^2+2.3.C_n^3+3.4.C_n^4+\cdots+(n-1).n.C_n^n       (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
Lời giải :
Với $n \in\mathbb{N^*}, n>2$ và $k=2,3,\cdots,n,$ áp dụng bổ đề ở phần trên hai lần ta có :
$(k-1)kC_n^k=(k-1)nC_{n-1}^{k-1}=n(k-1)C_{n-1}^{k-1}=n(n-1)C_{n-2}^{k-2}$
Suy ra $(k-1)kC_n^k=n(n-1)C_{n-2}^{k-2}$.
Như vậy ta được :
$S=1.2.C_n^2+2.3.C_n^3+3.4.C_n^4+\cdots+(n-1).n.C_n^n $
    $=(n-1)n\left ( C_{n-2}^0+C_{n-2}^1+C_{n-2}^2+\cdots+C_{n-2}^{n-2} \right )$
    $=(n-1)n2^{n-2}.$
Ví dụ $4$. Tính tổng
$S=1^2C_n^1+2^2C_n^2+\cdots+n^2C_n^2       (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
Lời giải :
Số hạng tổng quát của tổng $S$ là $k^2C_n^k$ với $k=2,3,\cdots,n,$ ta có
$k^2C_n^k=(k-1)kC_n^k+kC_n^k=n(n-1)C_{n-2}^{k-1}+nC_{n-1}^{k-1}$
(theo Ví dụ $3$ Ví dụ $1$)
Như vậy ta được :
$S=1^2C_n^1+2^2C_n^2+\cdots+n^2C_n^2   $
    $=n(n-1)\left ( C_{n-2}^0+C_{n-2}^1+\cdots+C_{n-2}^{n-2} \right )+n\left ( C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+\cdots+C_{n-1}^{n-1} \right )$
    $=n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}$
    $=n(n+1)2^{n-2}$.
Ví dụ $5$. Chứng minh rằng
$\frac{1}{2}C_{2n}^{1}+\frac{1}{4}C_{2n}^{1}+\cdots+\frac{1}{2n}C_{2n}^{2n-1}=\frac{2^{2n}-1}{2n+1}       (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
Lời giải :
Theo Ví dụ $2$ ta có : $\frac{1}{k+1}C_{n}^{k}=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$
Với $k=1,2,\cdots,n.$ Áp dụng vào bài toán ta được
    $\frac{1}{2}C_{2n}^{1}+\frac{1}{4}C_{2n}^{1}+\cdots+\frac{1}{2n}C_{2n}^{2n-1}$
$=\frac{1}{2n+1}\left ( C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+\cdots+C_{2n+1}^{2n}\right )$
$=\frac{1}{2n+1}\left (C_{2n+1}^0+ C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+\cdots+C_{2n+1}^{2n}-1\right )$
$=\frac{2^{2n}-1}{2n+1}$.
Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét. Các lời giải trên có ưu điểm là ngắn gọn, dễ trình bày và có hướng giải "tự nhiên". Quan trọng hơn cả là học sinh có thể giải được ngay cả khi chưa học đạo hàm và tích phân.
Nhận xét. Bài toán trên nằm trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao Đẳng năm $2007$. Trong đáp án trình bày theo cách giải tích phân khá phức tạp. Lời giải trên đây ngắn gọn hơn và tiếp cận tự nhiên hơn.

Từ bổ đề đã chứng minh ở phần trên, ta có thể giải được các bài tập sau đây.
Tính các tổng sau đây
$1.$ $S_1=1C_n^1-2C_n^2+3C_n^3-4C_n^4+\cdots+(-1)^nnC_n^n     (n \in\mathbb{N^*}, n>1)$.
$2.$ $S_2=1C_n^0+2C_n^1+3C_n^2+\cdots+nC_n^{n-1}     (n \in\mathbb{N^*})$.
$3.$ $S_3=1C_n^2+2C_n^3+3C_n^4+4C_n^5+\cdots+(n-1)C_n^n     (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
$4.$ $S_4=1C_n^2-2C_n^3+3C_n^4-4C_n^5+\cdots+(-1)^n(n-1)C_n^n     (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
cậu còn đề ko –  nhok cute 28-12-15 08:16 PM

Thẻ

Lượt xem

9030
Chat chit và chém gió
  • ๖ۣۜCold: lượn lát r ngủ 2/23/2018 11:29:59 PM
  • obest: đi chúc ny ngủ ngon r ms dk ngủ 2/23/2018 11:30:25 PM
  • obest: laughing 2/23/2018 11:30:28 PM
  • ๖ۣۜSadღ: đi chs vs gải ồi Q ợ 2/23/2018 11:30:33 PM
  • ๖ۣۜSadღ: hở ô á Q 2/23/2018 11:30:38 PM
  • ๖ۣۜCold: t mà cũng có ny à 2/23/2018 11:30:40 PM
  • obest: tk kia chứ t xấu trai đâu ra 2/23/2018 11:30:54 PM
  • obest: laughing m phải có chứ 2/23/2018 11:31:04 PM
  • ๖ۣۜSadღ: crying t bit 2 ô có ny rồi 2/23/2018 11:31:09 PM
  • ๖ۣۜSadღ: k p khoe vs t crying 2/23/2018 11:31:14 PM
  • ๖ۣۜCold: chậc, éo chấp 2/23/2018 11:31:21 PM
  • ๖ۣۜCold: t bay đây 2/23/2018 11:31:24 PM
  • obest: t độc thân vui tính này 2/23/2018 11:31:28 PM
  • obest: laughing 2/23/2018 11:31:32 PM
  • obest: m đại lượng ghê nnmđ 2/23/2018 11:31:46 PM
  • ๖ۣۜSadღ: đồ P thối 2/23/2018 11:32:27 PM
  • ๖ۣۜSadღ: bay về vs con rán đi 2/23/2018 11:32:33 PM
  • ๖ۣۜCold: đại tiện =) 2/23/2018 11:32:39 PM
  • ๖ۣۜSadღ: ô là đồ ddianj tiện ý 2/23/2018 11:33:05 PM
  • obest: laughing 2/23/2018 11:33:23 PM
  • obest: cả 2 đi cho đẹp 2/23/2018 11:33:35 PM
  • ๖ۣۜSadღ: ô nwuax ế 2/23/2018 11:33:56 PM
  • ๖ۣۜSadღ: Đại tiểu rolling_on_the_floor 2/23/2018 11:34:07 PM
  • obest: đại tiểu j kì cục v 2/23/2018 11:34:19 PM
  • obest: đại to tiểu nhỏ k hợp đâu 2/23/2018 11:34:31 PM
  • ๖ۣۜSadღ: kệ 2/23/2018 11:34:41 PM
  • ๖ۣۜSadღ: t nghĩ ô hợp ^^ nhận đi 2/23/2018 11:34:48 PM
  • obest: t bảo k hợp mà 2/23/2018 11:35:43 PM
  • obest: nhường bà 2/23/2018 11:35:47 PM
  • ๖ۣۜSadღ: t bỏa hợp mà 2/23/2018 11:35:48 PM
  • ๖ۣۜSadღ: k 2/23/2018 11:35:50 PM
  • ๖ۣۜSadღ: ô ơhpj 2/23/2018 11:35:53 PM
  • obest: lady first 2/23/2018 11:35:56 PM
  • obest: laughing 2/23/2018 11:36:00 PM
  • ๖ۣۜSadღ: laughing t k hiểu đâu nhóe 2/23/2018 11:36:25 PM
  • ๖ۣۜSadღ: dốt Anh từ bé blushing 2/23/2018 11:36:34 PM
  • obest: ưu tiên cho con gái 2/23/2018 11:36:40 PM
  • obest: laughing 2/23/2018 11:36:44 PM
  • obest: tạm dịch thế 2/23/2018 11:36:54 PM
  • ๖ۣۜSadღ: blushing t thik nhg ô cơ 2/23/2018 11:37:16 PM
  • obest: no no cn trai ai làm thế 2/23/2018 11:37:49 PM
  • ๖ۣۜSadღ: có ô rolling_on_the_floor 2/23/2018 11:38:02 PM
  • obest: k t nhường bà hết 2/23/2018 11:38:46 PM
  • obest: mà nay bà học chưa 2/23/2018 11:38:52 PM
  • ๖ۣۜSadღ: hk j á 2/23/2018 11:40:55 PM
  • obest: học bài 2/23/2018 11:41:38 PM
  • obest: tối nay t chs hết tối r 2/23/2018 11:41:47 PM
  • obest: mà k phải tối nay mà từ khi nghỉ tết ts h 2/23/2018 11:42:05 PM
  • ๖ۣۜSadღ: https://www.facebook.com/profile.php?id=100023339589349 2/23/2018 11:42:49 PM
  • ๖ۣۜSadღ: t chs wen rồi laughing có hôm nào hk dâu 2/23/2018 11:42:58 PM
  • obest: bà chém 2/23/2018 11:44:34 PM
  • obest: link kia nick bà ak 2/23/2018 11:44:44 PM
  • ๖ۣۜSadღ: uk big_grin 2/23/2018 11:45:20 PM
  • ๖ۣۜSadღ: thật mà tối nào t chả chém gió laughing 2/23/2018 11:45:27 PM
  • obest: laughing để lưu lại mai kb 2/23/2018 11:46:09 PM
  • obest: t có thấy bà đâu nhỉ 2/23/2018 11:46:45 PM
  • ๖ۣۜSadღ: ô mun thấy t cái jlaughing 2/23/2018 11:46:58 PM
  • Tiểu Hi: ngủ muộn vậy happy 2/23/2018 11:47:39 PM
  • obest: k thấy mặt bà đâu cả 2/23/2018 11:47:41 PM
  • obest: laughing 2/23/2018 11:47:44 PM
  • ๖ۣۜSadღ: t lm j có ảnh mà có amwtj rolling_on_the_floor 2/23/2018 11:48:29 PM
  • ๖ۣۜSadღ: cj cb đi đây 2/23/2018 11:48:35 PM
  • obest: sao k để ảnh 2/23/2018 11:48:48 PM
  • obest: bà giống t 2/23/2018 11:48:53 PM
  • obest: rolling_on_the_floor 2/23/2018 11:48:56 PM
  • Tiểu Hi: big_grin 2/23/2018 11:49:12 PM
  • obest: chi cx chưa ngủ cn j 2/23/2018 11:49:31 PM
  • ๖ۣۜSadღ: hahaha rolling_on_the_floor ms cả xấu như chó 2/23/2018 11:49:33 PM
  • Tiểu Hi: big_grin 2/23/2018 11:49:42 PM
  • ๖ۣۜSadღ: để ảnh mn đập cho rolling_on_the_floor 2/23/2018 11:49:44 PM
  • Tiểu Hi: obest là tuấn quang phải k 2/23/2018 11:50:03 PM
  • obest: laughing chuẩn r vx nhớ t ak 2/23/2018 11:50:13 PM
  • Tiểu Hi: laughing 2/23/2018 11:50:24 PM
  • Tiểu Hi: đoán thôi 2/23/2018 11:50:27 PM
  • Tiểu Hi: nhìn ảnh 2/23/2018 11:50:33 PM
  • obest: haha chắc k đến nỗi đập chứ 2/23/2018 11:50:36 PM
  • ๖ۣۜSadღ: =) xấu lém ý 2/23/2018 11:50:51 PM
  • Tiểu Hi: mà t đã kb fb vs ô chưa 2/23/2018 11:50:54 PM
  • obest: laughing cái avt nhiều ng nhầm tk tuấn đấy 2/23/2018 11:51:05 PM
  • obest: hình như t chưa kb vs ai bên htn 2/23/2018 11:51:16 PM
  • Tiểu Hi: rolling_on_the_floor 2/23/2018 11:51:27 PM
  • obest: cho t coi ảnh r nhận xét xấu k nak 2/23/2018 11:51:30 PM
  • obest: laughing 2/23/2018 11:51:34 PM
  • obest: đẹp gái hơn t 2/23/2018 11:51:39 PM
  • Tiểu Hi: laughing 2/23/2018 11:52:06 PM
  • ๖ۣۜSadღ: rolling_on_the_floor cái đó đg nhiên rồi 2/23/2018 11:53:33 PM
  • obest: laughing 2/23/2018 11:53:56 PM
  • obest: mà muộn r Nhung vs Chi ngủ đi 2/23/2018 11:54:20 PM
  • obest: t ngủ đây 2/23/2018 11:54:24 PM
  • ๖ۣۜSadღ: uk 2/23/2018 11:54:40 PM
  • ๖ۣۜSadღ: t cũng cb gnur đây 2/23/2018 11:54:44 PM
  • ๖ۣۜSadღ: Bye oo nhé 2/23/2018 11:54:46 PM
  • ๖ۣۜSadღ: nnmđ 2/23/2018 11:54:48 PM
  • Tiểu Hi: bye 2/23/2018 11:54:52 PM
  • Tiểu Hi: nnmđ 2/23/2018 11:54:57 PM
  • obest: 2 bà nnmđ 2/23/2018 11:55:00 PM
  • obest: bye nhé 2/23/2018 11:55:03 PM
  • Tiểu Hi: wave 2/23/2018 11:55:22 PM
  • ๖ۣۜSadღ: CHi ngủ chưa e 2/23/2018 11:55:38 PM
  • Tiểu Hi: big_grin 2/24/2018 12:01:56 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • Thìn
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minhˆˆ
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • KTT
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Dại Khờ
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • Natsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Quỳnh Aka
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • ❦ Mưa ❦
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Linh (~miu~)
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • naxinhdep
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • miumiu
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • admin
  • skud2003
  • Zidane