Chúng ta bắt đầu với ví dụ sau
Ví dụ $1$. Tính tổng
$S=1C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots+(n-1)C_n^{n-1}+nC_n^n    (n \in \mathbb{N^*}).$
Lời giải:
Cách $1$.
Sử dụng công thức $C_n^k=C_n^{n-k}$ với $k=0,1,\cdots,n,$ ta viết lại tổng đã cho như sau :
$S=nC_n^0+(n-1)C_n^1+(n-2)C^2_n+\cdots+1C_n^{n-1}$.
Như vậy, ta có
$S=1C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots+(n-1)C_n^{n-1}+nC_n^n $
$S=nC_n^0+(n-1)C_n^1+(n-2)C^2_n+\cdots+1C_n^{n-1}$.
cộng theo vế hai đẳng thức trên ta được
$2S=nC_n^0+nC_n^1+nC_n^2+\cdots+nC_n^{n-1}+nC_n^n$
$\Rightarrow 2S=n.\sum_{k=0}^{n}C_n^k1^k=n.(1+1)^n=n.2^n$
Vậy $S=n2^{n-1}$.
Cách $2$. Ta có
Bổ đề : Với mọi $n, k \in\mathbb{N^*}$ và $n \ge k \ge 1$ thì $kC_n^k=nc_{n-1}^{k-1}$.
Thật vâỵ, với $n, k \in\mathbb{N^*}$: $n \ge k \ge 1$ thì
$kC_n^k=k.\frac{k!}{(n-k)!k!}=\frac{k.n.(n-1)!}{(n-k)!k,(k-1)!}=n.\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}=nC_{n-1}^{k-1}$ (đpcm).
Áp dụng bổ đề ta có :
$S=nC_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+nC_{n-1}^2+\cdots+nC_{n-1}^{n-1}=n.\sum_{k=0}^{n-1}C_n^k1^k=n.(1+1)^{n-1}=n.2^{n-1}$
Ví dụ $2$. Tính tổng
$S=\frac{1}{1}C_n^0+\frac{1}{2}C_n^1+\frac{1}{3}C_n^2+\cdots+\frac{1}{n+1}C_n^n       (n \in\mathbb{N^*})$.
Lời giải :
Cách $1$.
Xét đẳng thức sau :  $(x+1)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^kx^k=C_n^0x^0+C_n^1x^1+\cdots+C_n^nx^n$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}(x+1)^ndx=\int\limits_{0}^{1}\left (C_n^0x^0+C_n^1x^1+\cdots+C_n^nx^n \right )dx$
$\Rightarrow \frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1}  \big| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}= \frac{1}{1}C_n^0x^{}  \big| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}+ \frac{1}{2}C_n^1x^{2}  \big| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}+\cdots+ \frac{1}{n+1}C_n^nx^{n+1}  \big| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}$
$\Rightarrow \frac{1}{n+1}(2^{n+1}-1)=\frac{1}{1}C_n^0+\frac{1}{2}C_n^1+\frac{1}{3}C_n^2+\cdots+\frac{1}{n+1}C_n^n $
Hay $S=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.
Cách $2$.
Theo bổ đề đã chứng minh ở trên suy ra với các số tự nhiên $n$ và $k$ thỏa mãn $n \ge k$ ta có $\frac{1}{k+1}C_n^k=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$.
Vì vậy,
$S=\displaystyle \frac{C_{n+1}^1+C_{n+1}^2+\cdots+C_{n+1}^{n+1}}{n+1}= \frac{C_{n+1}^0+C_{n+1}^1+C_{n+1}^2+\cdots+C_{n+1}^{n+1}-1}{n+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.
Nhận xét. Các lời giải trên có ưu điểm là ngắn gọn, dễ trình bày và có hướng giải "tự nhiên". Quan trọng hơn cả là học sinh có thể giải được ngay cả khi chưa học đạo hàm và tích phân.
Ví dụ $3$. Tính tổng
$S=1.2.C_n^2+2.3.C_n^3+3.4.C_n^4+\cdots+(n-1).n.C_n^n       (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
Lời giải :
Với $n \in\mathbb{N^*}, n>2$ và $k=2,3,\cdots,n,$ áp dụng bổ đề ở phần trên hai lần ta có :
$(k-1)kC_n^k=(k-1)nC_{n-1}^{k-1}=n(k-1)C_{n-1}^{k-1}=n(n-1)C_{n-2}^{k-2}$
Suy ra $(k-1)kC_n^k=n(n-1)C_{n-2}^{k-2}$.
Như vậy ta được :
$S=1.2.C_n^2+2.3.C_n^3+3.4.C_n^4+\cdots+(n-1).n.C_n^n $
    $=(n-1)n\left ( C_{n-2}^0+C_{n-2}^1+C_{n-2}^2+\cdots+C_{n-2}^{n-2} \right )$
    $=(n-1)n2^{n-2}.$
Ví dụ $4$. Tính tổng
$S=1^2C_n^1+2^2C_n^2+\cdots+n^2C_n^2       (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
Lời giải :
Số hạng tổng quát của tổng $S$ là $k^2C_n^k$ với $k=2,3,\cdots,n,$ ta có
$k^2C_n^k=(k-1)kC_n^k+kC_n^k=n(n-1)C_{n-2}^{k-1}+nC_{n-1}^{k-1}$
(theo Ví dụ $3$ Ví dụ $1$)
Như vậy ta được :
$S=1^2C_n^1+2^2C_n^2+\cdots+n^2C_n^2   $
    $=n(n-1)\left ( C_{n-2}^0+C_{n-2}^1+\cdots+C_{n-2}^{n-2} \right )+n\left ( C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+\cdots+C_{n-1}^{n-1} \right )$
    $=n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}$
    $=n(n+1)2^{n-2}$.
Ví dụ $5$. Chứng minh rằng
$\frac{1}{2}C_{2n}^{1}+\frac{1}{4}C_{2n}^{1}+\cdots+\frac{1}{2n}C_{2n}^{2n-1}=\frac{2^{2n}-1}{2n+1}       (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
Lời giải :
Theo Ví dụ $2$ ta có : $\frac{1}{k+1}C_{n}^{k}=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$
Với $k=1,2,\cdots,n.$ Áp dụng vào bài toán ta được
    $\frac{1}{2}C_{2n}^{1}+\frac{1}{4}C_{2n}^{1}+\cdots+\frac{1}{2n}C_{2n}^{2n-1}$
$=\frac{1}{2n+1}\left ( C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+\cdots+C_{2n+1}^{2n}\right )$
$=\frac{1}{2n+1}\left (C_{2n+1}^0+ C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+\cdots+C_{2n+1}^{2n}-1\right )$
$=\frac{2^{2n}-1}{2n+1}$.
Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét. Các lời giải trên có ưu điểm là ngắn gọn, dễ trình bày và có hướng giải "tự nhiên". Quan trọng hơn cả là học sinh có thể giải được ngay cả khi chưa học đạo hàm và tích phân.
Nhận xét. Bài toán trên nằm trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao Đẳng năm $2007$. Trong đáp án trình bày theo cách giải tích phân khá phức tạp. Lời giải trên đây ngắn gọn hơn và tiếp cận tự nhiên hơn.

Từ bổ đề đã chứng minh ở phần trên, ta có thể giải được các bài tập sau đây.
Tính các tổng sau đây
$1.$ $S_1=1C_n^1-2C_n^2+3C_n^3-4C_n^4+\cdots+(-1)^nnC_n^n     (n \in\mathbb{N^*}, n>1)$.
$2.$ $S_2=1C_n^0+2C_n^1+3C_n^2+\cdots+nC_n^{n-1}     (n \in\mathbb{N^*})$.
$3.$ $S_3=1C_n^2+2C_n^3+3C_n^4+4C_n^5+\cdots+(n-1)C_n^n     (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
$4.$ $S_4=1C_n^2-2C_n^3+3C_n^4-4C_n^5+\cdots+(-1)^n(n-1)C_n^n     (n \in\mathbb{N^*}, n>2)$.
cậu còn đề ko –  nhok cute 28-12-15 08:16 PM

Thẻ

Lượt xem

8224
Chat chit và chém gió
  • ๖ۣۜDämonღ: câu hỏi đuôi 5/25/2017 7:19:54 AM
  • Quân.DC: oải ko hiểu thì học sao 5/25/2017 7:20:03 AM
  • @_@ *Mèo* @_@: đảo ngữ, câu điều kiện, câu giả định 5/25/2017 7:20:13 AM
  • @_@ *Mèo* @_@: âm, trọng âm 5/25/2017 7:20:21 AM
  • @_@ *Mèo* @_@: đủ cả happy 5/25/2017 7:20:27 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: thế thì học hết à? laughing 5/25/2017 7:20:36 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: chống liệt thôi 5/25/2017 7:20:42 AM
  • @_@ *Mèo* @_@: big_grin 5/25/2017 7:20:42 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: tóm lại là 5/25/2017 7:20:51 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: chống liệt 5/25/2017 7:20:55 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: ít nhất phải học những cái sau: 5/25/2017 7:21:05 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: câu gián tiếp, bị động, giả định, điều kiện, đảo ngữ, câu hỏi đuôi... 5/25/2017 7:21:47 AM
  • Quân.DC: ừm 5/25/2017 7:21:55 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: học kĩ các thì 5/25/2017 7:22:09 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: được 2đ rồi đấy rolling_on_the_floor 5/25/2017 7:22:32 AM
  • Quân.DC: học chống liệt là đủ lên đh luyện sau 5/25/2017 7:22:42 AM
  • Quân.DC: laughing 5/25/2017 7:22:48 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: t có mở trung tâm luyện thi trên 2đ anh nhé big_grin 5/25/2017 7:23:32 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: ai đăng kí đi big_grin 5/25/2017 7:23:38 AM
  • Quân.DC: quất luôn :v 5/25/2017 7:25:17 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: 500k/ khóa rolling_on_the_floor 5/25/2017 7:25:47 AM
  • Quân.DC: 500đ khóa thôi happy 5/25/2017 7:26:41 AM
  • @_@ *Mèo* @_@: happy 5/25/2017 7:27:40 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: -.- 5/25/2017 7:28:31 AM
  • Quân.DC: laughing 5/25/2017 7:28:40 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: cậu Mèo lo ôn thi đi 5/25/2017 7:28:56 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: lười quá sad 5/25/2017 7:29:01 AM
  • @_@ *Mèo* @_@: ôn gì hả câu? : 5/25/2017 7:30:09 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: thi vào lớp 1 5/25/2017 7:31:06 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: cậu vẫn chưa tốt nghiệp mẫu giáo mà big_grin 5/25/2017 7:31:18 AM
  • @_@ *Mèo* @_@: tớ năm nay vào lớp 6 rồi cậu sad 5/25/2017 7:31:29 AM
  • ๖ۣۜDämonღ:5/25/2017 7:32:03 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: giỏi quá sad 5/25/2017 7:32:09 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: mình vẫn chưa tốt nghiệp mẫu giáo 5/25/2017 7:32:19 AM
  • @_@ *Mèo* @_@: tại tớ ngoan hơn cậu đấy winking 5/25/2017 7:32:41 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: t kém cậu 6 tuổi mà sad 5/25/2017 7:34:19 AM
  • Anh Yêu: -_- 5/25/2017 7:48:14 AM
  • Ryo: m còn onl ak 5/25/2017 7:48:23 AM
  • Ryo: lo học đi thành e 5/25/2017 7:48:27 AM
  • Anh Yêu: -_- 5/25/2017 7:48:31 AM
  • Anh Yêu: hoc hành đéo gì 5/25/2017 7:48:35 AM
  • Anh Yêu: ko ohjc cx đổ r 5/25/2017 7:48:40 AM
  • Ryo: laughing 5/25/2017 7:48:46 AM
  • Ryo: t nghỉ học lun rồi 5/25/2017 7:48:54 AM
  • Anh Yêu: sao v 5/25/2017 7:49:30 AM
  • Ryo: k thích học nữa laughing 5/25/2017 7:49:47 AM
  • Anh Yêu: vl 5/25/2017 7:49:52 AM
  • Anh Yêu: t ko thi cx đỗ e 5/25/2017 7:49:55 AM
  • Ryo: t đi coi phim happy 5/25/2017 7:50:09 AM
  • Anh Yêu: big_grin 5/25/2017 7:50:19 AM
  • Anh Yêu: oki 5/25/2017 7:50:21 AM
  • Anh Yêu: dạo này ae sống khỏe ko 5/25/2017 7:50:27 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: học đi mấy đứa 5/25/2017 7:53:44 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: chị đi ngủ big_grin 5/25/2017 7:53:53 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: bái baiii 5/25/2017 7:53:56 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: gụt naiiii 5/25/2017 7:54:01 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: <3 5/25/2017 7:54:02 AM
  • Ryo: nghỉ rùi học cm j nữa 5/25/2017 7:54:03 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: lo kiếm tiền nuôi Linh là được big_grin 5/25/2017 7:54:28 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: nó ăn nhiều lắm 5/25/2017 7:54:36 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: cố lên <3 5/25/2017 7:54:40 AM
  • Anh Yêu: Linh kìa DUy 5/25/2017 7:54:44 AM
  • Anh Yêu: khổ thân tk bé 5/25/2017 7:54:47 AM
  • Anh Yêu: lụy mnx 5/25/2017 7:54:50 AM
  • Ryo: k qt cho lắm yawn 5/25/2017 7:54:57 AM
  • Anh Yêu: hehe 5/25/2017 7:55:00 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: các em ngủ ngon 5/25/2017 7:55:16 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: ở lại thanh thản 5/25/2017 7:55:25 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: baiiiii 5/25/2017 7:55:31 AM
  • LLNTFTU: helu 5/25/2017 7:58:06 AM
  • LLNTFTU: còn ai nk k 5/25/2017 7:58:15 AM
  • Anh Yêu:5/25/2017 7:59:06 AM
  • Mây: wave 5/25/2017 8:04:12 AM
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido: wave 5/25/2017 8:09:04 AM
  • Nguyễn Nhung: big_grin 5/25/2017 8:15:04 AM
  • Nguyễn Nhung: hsu hú 5/25/2017 8:16:48 AM
  • Nguyễn Nhung: có ai k? 5/25/2017 8:16:50 AM
  • Ryo:5/25/2017 8:17:41 AM
  • Nguyễn Nhung: https://lh3.googleusercontent.com/-CVr2rC8Zw-g/WSb0LusputI/AAAAAAAAAcg/QYSjltNwbicEvi9ivlOZM3ubNWCPCg4dwCL0B/h447/2017-05-25.png 5/25/2017 8:18:28 AM
  • Nguyễn Nhung: big_grin 5/25/2017 8:18:32 AM
  • Nguyễn Nhung: lm đuy a D 5/25/2017 8:19:44 AM
  • Ryo: biếng 5/25/2017 8:20:24 AM
  • Nguyễn Nhung: sad 5/25/2017 8:20:41 AM
  • Yêu Tatoo: cj sao z 5/25/2017 8:38:28 AM
  • Ryo: yawn 5/25/2017 8:39:03 AM
  • Yêu Tatoo: straight_face 5/25/2017 8:40:58 AM
  • Mây: happy 5/25/2017 8:42:45 AM
  • Nguyễn Nhung: https://lh3.googleusercontent.com/-CVr2rC8Zw-g/WSb0LusputI/AAAAAAAAAcg/QYSjltNwbicEvi9ivlOZM3ubNWCPCg4dwCL0B/h447/2017-05-25.png 5/25/2017 8:44:21 AM
  • Nguyễn Nhung: nè e 5/25/2017 8:44:22 AM
  • Nguyễn Nhung: lm đi big_grin 5/25/2017 8:44:27 AM
  • Mây: anh kiên vừa ms đố em xong== 5/25/2017 8:50:42 AM
  • Nguyễn Nhung: rolling_on_the_floor á đù 5/25/2017 8:52:22 AM
  • Mây: chịu== 5/25/2017 8:54:07 AM
  • nevermy01: chào mn 5/25/2017 9:36:51 AM
  • Bae Yi Jeong Ah: big_grin cn ng ko z 5/25/2017 9:57:14 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: hey...con ai ko...giup 1 bai vs 5/25/2017 10:30:02 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: ai 12 hoi 1 bai vs 5/25/2017 10:41:07 AM
  • Hậu Duệ Mặt Trời: . 5/25/2017 10:51:14 AM
  • Bae Yi Jeong Ah: hazzz 5/25/2017 10:59:55 AM
  • Ông chủ của cô chủ: big_grin 5/25/2017 11:10:58 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • NO NAME
  • nguyenhuuminh22
  • =.=
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜSầu
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • ko tên ko tuổi
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minhˆˆ
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Efforts
  • chinh923
  • nevermy01
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang.ch2609
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • -๖ۣۜGiả๖ۣۜTạo๖ۣۜ
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Tôi Tên "NHÁI"
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • ๖ۣۜQueenღ
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ๖ۣۜ⊰Speed⊱๖ۣۜ
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • †✬ɪƒ ƴσυ’ʀє αʟση✬ †
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Lành
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • ProGK
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDämonღ
  • phucanhthien
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • ๖ۣۜSadღ
  • phng_pepsi
  • Young Wild and Free
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • johnnn509
  • -
  • Nhok Sam
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • TMLLL
  • cụ nhỏ
  • Update
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • Trangg'sss Kiềuu'sss
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • LLNTFTU
  • NiuNiu
  • Bae Yi Jeong Ah
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Út Nguyệt
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • phanngocngoc12345
  • Snowflakes
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • math
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • tran85295
  • Bae Yi Jeong Ah
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Ông chủ của cô chủ
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • Kuro