SỬ DỤNG BĐT CỔ ĐIỂN ĐỂ CHỨNG MINH BĐT LƯỢNG GIÁC


Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về 4 bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng của chúng trong giải bất đẳng thức lượng giác. Các bất đẳng thức bao gồm:
1. Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
3. Bất đẳng thức Jensen
4. Bất đẳng thức Chebyshev

1. Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):
Với mọi số thực không âm ${a_1},{a_2},....,{a_n}$ ta luôn có:
              $\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \geqslant \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$

Ví dụ 1:
Cho A,B,C là 3 đỉnh của 1 tam giác nhọn. CMR:
            $\tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3 $
Lời giải:
Vì $\tan \left( {A + B} \right) =  - \tan C \Leftrightarrow \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A.\tan B}} =  - \tan C$
$ \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C = \tan A.\tan B.\tan C$
Tam giác ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC dương.
Theo Cauchy ta có:
            $\tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt[3]{{\tan A.\tan B.\tan C}} = 3\sqrt[3]{{\tan A + \tan B + \tan C}}$
            $ \Rightarrow {\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)^2} \geqslant 27\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)$
    $ \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3 $
Đẳng thức xảy ra$ \Leftrightarrow A = B = C \Leftrightarrow \Delta ABC$đều.

Ví dụ 2 :
Cho $\Delta ABC$ nhọn. CMR: $\cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3 $
Lời giải:
Ta luôn có:
         $\begin{array}
  \cot \left( {A + B} \right) =  - \cot C  \\
   \Leftrightarrow \frac{{\cot A.\cot B - 1}}{{\cot A + \cot B}} =  - \cot C  \\
   \Leftrightarrow \cot A.\cot B + \cot B.\cot C + \cot C.\cot A = 1  \\
\end{array} $
Khi đó:
         ${\left( {\cot A - \cot B} \right)^2} + {\left( {\cot B - \cot C} \right)^2} + {\left( {\cot C - \cot A} \right)^2} \geqslant 0$
    $ \Leftrightarrow {\left( {\cot A + \cot B + \cot C} \right)^2} \geqslant 3\left( {\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A} \right) = 3$
    $ \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3 $
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ nhọn ta  có:
$\sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos C\cos A}}{{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}}}} \\
                           \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Ta có:  $\frac{{\cos A}}{{2\cos \frac{A}{2}}} = \sin \frac{A}{2}\cot \frac{A}{2}$
$ \Rightarrow \frac{{\frac{3}{4}\cos A\cos B}}{{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}} = \left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}} \right)\left( {\frac{3}{4}\cot A\cot B} \right)$
Theo Cauchy:
$\frac{{\frac{3}{4}\cos A\cos B}}{{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}} \leqslant {\left( {\frac{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \frac{3}{4}\cot A\cot B}}{2}} \right)^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \frac{3}{4}\cot A\cot B} \right)$
Tương tự ta có:
$\sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \frac{3}{4}\cot B\cot C} \right)$
$S = pr \Rightarrow \frac{8}{3}{\left( {\frac{S}{{2r}}} \right)^2} = \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{6}$
Cộng theo vế ta được:
$\sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos C\cos A}}{{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}}}} $
$ \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \\                          + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A} \right)$
$ = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$    $ \Rightarrow $ Đpcm.

2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
Với 2 bộ số ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ và ${b_1},{b_2},...,{b_n}$ ta luôn có:
             ${\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \leqslant \left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + ... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + ... + {b_n}^2} \right)$
Nhận xét:
-Nếu như với bất đẳng thức Cauchy, ta luôn phải nhớ điều kiện của các biến là phải không âm thì đối với bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có thể áp dụng cho các biến là số thực.
-Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacốpxki là 2 bất đẳng thức tỏ ra rất hiệu quả khi dùng để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Ta sẽ xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1:
CMR với mọi $a,b,\alpha $ ta có:
$\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$  
Lời giải:
Ta có: $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha  + \left( {a + b} \right)\sin \alpha \cos \alpha  + ab{\cos ^2}\alpha $
            $ = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} + \frac{{\left( {a + b} \right)}}{2}\sin 2\alpha  + ab\frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}$
            $ = \frac{1}{2}\left( {1 + ab + \left( {a + b} \right)\sin 2\alpha  + \left( {ab - 1} \right)\cos 2\alpha } \right)$    (1)
Theo Bunhiacốpxki ta có:
        $A\sin x + B\cos x \leqslant \sqrt {{A^2} + {B^2}} $       (2)
Áp dụng (2) ta có:
        $\left( {a + b} \right)\sin 2\alpha  + \left( {ab - 1} \right)\cos 2\alpha  \leqslant \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {ab - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} $       (3)
Thay (3) vào (1) ta được:
        $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant \frac{1}{2}\left( {1 + ab + \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} } \right)$     (4)
Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi a,b:
        $\frac{1}{2}\left( {1 + ab + \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$     (5)
Thật vậy:
         (5)$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} + \frac{{ab}}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant 1 + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4} + \frac{{ab}}{2}$
              $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant \frac{{{a^2} + {b^2} + 2}}{2}$
              $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant \frac{{\left( {{a^2} + 1} \right) + \left( {{b^2} + 1} \right)}}{2}$       (6)
Theo Cauchy thì (6) hiển nhiên đúng$ \Rightarrow $ (5) đúng với mọi a,b.
Từ (1) và (5) : với mọi $a,b,\alpha $ ta có: $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$
Đẳng thức xảy ra khi ở (1) và (6) dấu bằng đồng thời xảy ra
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {a^2} = {b^2}  \\
  \frac{{a + b}}{{\sin 2\alpha }} = \frac{{ab - 1}}{{\cos 2\alpha }}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \left| a \right| = \left| b \right|  \\
  \tan \alpha  = \frac{{a + b}}{{ab - 1}}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \left| a \right| = \left| b \right|  \\
  \alpha  = \frac{1}{2}\arctan \frac{{a + b}}{{ab - 1}} + k\frac{\pi }{2}  \\
\end{array}  \right.$ 

Ví dụ 2:
CMR với mọi $\Delta ABC$ ta có:
   $\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  \leqslant \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} $   
với x,y,z là khoảng cách từ điểm M bất kì nằm bên trong $\Delta ABC$ tới 3 cạnh AB, BC, CA của tam giác.
Lời giải:
Ta có:
         $\begin{array}
  {S_{ABC}} = {S_{MAB}} + {S_{MBC}} + {S_{MCA}}  \\
   \Leftrightarrow \frac{{{S_{MAB}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{MBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{MCA}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1  \\
   \Leftrightarrow \frac{z}{{{h_c}}} + \frac{y}{{{h_b}}} + \frac{x}{{{h_a}}} = 1  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow {h_a} + {h_b} + {h_c} = \left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right)\left( {\frac{z}{{{h_c}}} + \frac{y}{{{h_b}}} + \frac{x}{{{h_a}}}} \right)$
Theo Bunhiacốpxki thì:
$\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  = \sqrt {{h_a}} \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{h_a}} }} + \sqrt {{h_b}} \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {{h_b}} }} + \sqrt {{h_c}} \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt {{h_c}} }} \\
                               \leqslant \sqrt {\left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{h_a}} }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {{h_b}} }} + \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt {{h_c}} }}} \right)}  = \sqrt {{h_a} + {h_b} + {h_c}} $
mà $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}ab\sin C \Rightarrow {h_a} = b\sin C$, ${h_b} = c\sin A$, ${h_c} = a\sin B$
$ \Rightarrow \sqrt {{h_a} + {h_b} + {h_c}}  = \sqrt {\left( {a\sin B + b\sin C + c\sin A} \right)}  = \sqrt {\frac{{ab}}{{2R}} + \frac{{bc}}{{2R}} + \frac{{ca}}{{2R}}} $
$ \Rightarrow \sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  \leqslant \sqrt {\frac{{ab}}{{2R}} + \frac{{bc}}{{2R}} + \frac{{ca}}{{2R}}}  \leqslant \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}}  \Rightarrow $ Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}
  a = b = c  \\
  x = y = z  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \Delta ABC$đều và M là tâm đường tròn nội tiếp$\Delta ABC$.

3. Bất đẳng thức Jensen:
Cho $f:{R^ + } \to R$ thỏa mãn $f(x) + f(y) \geqslant 2f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)$  $\forall x,y \in {R^ + }$. Khi đó với mọi  ${x_1},{x_2},....,{x_n} \in {R^ + }$ ta có bất đẳng thức sau:
                          $f({x_1}) + f({x_2}) + ...... + f({x_n}) \geqslant nf\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}} \right)$

-Bất đẳng thức Jensen thật sự là một công cụ chuyên dùng cho chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Tuy không phải là một bất đẳng thức chặt nhưng nếu thấy có những dấu hiệu của BĐT Jensen, chúng ta nên dùng ngay.
 
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi$\Delta ABC$ ta có
                      $\sin A + \sin B + \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Xét $f(x) = \sin x$ với $x \in \left( {0,\pi } \right)$ $ \Rightarrow f(x)$ là hàm lồi. Theo Jensen ta có:
$f(A) + f(B) + f(C) \leqslant 3f\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$đều ta có:
           $\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \sqrt 3 $
Lời giải:
Xét $f(x) = \tan x$ với$x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$
$\begin{array}
(1) \Leftrightarrow {a^2}({a^2} - bc) + {b^2}({b^2} - ca) + {c^2}({c^2} - ab) \geqslant 0  \\
\Leftrightarrow \left[ {{a^2} + {{(b + c)}^2}} \right]{(b - c)^2} + \left[ {{b^2} + {{(c + a)}^2}} \right]{(c - a)^2} + \left[ {{c^2} + {{(a + b)}^2}} \right]{(a - b)^2} \geqslant 0  \\
\end{array} $ là hàm lồi. Theo Jensen ta có:
$f\left( {\frac{A}{2}} \right) + f\left( {\frac{B}{2}} \right) + f\left( {\frac{C}{2}} \right) \geqslant 3f\left( {\frac{{\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}}}{3}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{6} = \sqrt 3  \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ta có:
$\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} + \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \frac{3}{2} + \sqrt 3 $
Lời giải:
Xét $f(x) = \sin x + \tan x$ với $ \Rightarrow $là hàm lồi. Theo Jensen ta có:

$f\left( {\frac{A}{2}} \right) + f\left( {\frac{B}{2}} \right) + f\left( {\frac{C}{2}} \right) \geqslant 3f\left( {\frac{{\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}}}{3}} \right)$$ = 3\left( {\tan \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{3}{2} + \sqrt 3  \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

4. Bất đẳng thức Chebyshev:
Với 2 dãy số thực đơn điệu cùng chiều ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ và ${b_1},{b_2},...,{b_n}$  ta có:
             ${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \geqslant \frac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)$

Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
               $\frac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} \geqslant \frac{\pi }{3}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a \leqslant b \leqslant c \Leftrightarrow A \leqslant B \leqslant C$

Theo Chebyshev thì
$\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right) \leqslant \frac{{aA + bB + cC}}{3}$
$ \Rightarrow \frac{{aA + bB + cC}}{3} \geqslant \frac{{A + B + C}}{3} = \frac{\pi }{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
              $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\cos A + \cos B + \cos C} \leqslant \frac{\tan A\tan B\tan C}{3}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử$A \geqslant B \geqslant C$
               $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  \tan A \geqslant \tan B \geqslant \tan C  \\
  \cos A \leqslant \cos B \leqslant \cos C  \\
\end{array}  \right.$
Theo Chebyshev ta có:
$ \Leftrightarrow \frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} \leqslant \frac{{\tan A + \tan B + \tan C}}{3}$
Mà $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C$$ \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
$2\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) \geqslant \frac{3}{2}\frac{{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a \leqslant b \leqslant c$
                    $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  \sin A \leqslant \sin B \leqslant \sin C  \\
  \cos A \geqslant \cos B \geqslant \cos C  \\
\end{array}  \right.$
Theo Chebyshev ta có:
$\left( {\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{3}} \right)\left( {\frac{{\cos A + \cos B + \cos C}}{3}} \right) \geqslant \frac{{\sin A\cos A + \sin B\cos B + \sin C\cos C}}{3}$
$ \Leftrightarrow 2\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) \geqslant \frac{3}{2}\frac{{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} \Rightarrow $ Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

BÀI TẬP:
Bài 1.

CMR với mọi tam giác ABC ta có:
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Theo BĐT Cô-si  ta có:
$\frac{{\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
Mặt khác:
$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} = \frac{{c{\text{os}}\frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
$ = \frac{{\frac{1}{4}(\sin A + \sin B + \sin C)}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}{{2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
                 $ \geqslant \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
Suy ra:
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right)$
$ \geqslant \frac{9}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
$ = \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}}}$  (1)
Mà ta cũng có:
$\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} \geqslant 3\sqrt 3 $
$ \Rightarrow \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}}} \geqslant \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}(2)$
Từ (1),(2) :
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
$ \Rightarrow $ đpcm.

Bài 2.
Cho $\Delta ABC$ nhọn .CMR:
              $\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right)\left( {\operatorname{t} a{\text{nA}} + \tan B + \tan C} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
 Vì $\Delta ABC$ nhọn nên $\cos A,\cos B,\cos C,\operatorname{t} {\text{anA}},\tan B,\tan C$ đều dương.
Theo AM-GM ta có:
$\begin{array}
  \frac{{\cos A + \cos B + \cos C}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
  \operatorname{t} a{\text{nA}} + \tan B + \tan C = \operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C = \frac{{\sin A\sin B\sin C}}{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
\end{array} $
$ = \frac{{\frac{1}{4}(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}}{{\cos A\cos B\cos C}} = \frac{{\sin A\cos A + \sin B\cos b + \sin C\cos C}}{{2\cos A\cos B\cos C}}$
$ \geqslant \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin A\cos A\sin B\cos B\sin C\cos C}}}}{{2\cos A\cos B\cos C}}$
Suy ra:
$\begin{array}
  (\cos A + \cos B + \cos C)(\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C)  \\
   \geqslant \frac{9}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\cos A\cos B\cos C\sin A\cos A\sin B\cos B\sin C\cos C}}}}{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
   = \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C}}(1)  \\
\end{array} $
Mặt khác:
$\begin{array}
  \tan {\text{A}}\tan B\tan C \geqslant 3\sqrt 3   \\
   \Rightarrow \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C}} \geqslant \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}(2)  \\
\end{array} $
Từ (1),(2) suy ra:
$(\cos A + \cos B + \cos C)(\tan {\text{A}}\tan B\tan C) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$  $ \Rightarrow $ đpcm.

Bài 4.
Cho tam giác ABC bất kì .CMR:
$\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} \geqslant 4 - \frac{{2r}}{R}$
Lời giải:
Ta có S=$\frac{{abc}}{{4R}} = pr = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} $
$\begin{array}
   \Rightarrow \frac{{2r}}{R} = \frac{{8{S^2}}}{{pabc}} = \frac{{{a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + c{a^2} - {a^3} - {b^3} - {c^3} - 2abc}}{{abc}}  \\
   \Rightarrow 4 - \frac{{2r}}{R} = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} + 6 - (\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c}) \leqslant \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}}  \\
\end{array} $
Suy ra đpcm

Bài 5.
Cho tam tam giác ABC.CMR
$(\frac{a}{{\cos A}} + \frac{b}{{\cos B}} - c)(\frac{b}{{\cos b}} + \frac{c}{{\cos C}} - a)(\frac{c}{{\cos C}} + \frac{a}{{\cos A}} - b) \geqslant 27abc$
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\begin{array}
  (\frac{{\sin C}}{{\cos A\cos B}} - \sin C)(\frac{{\sin A}}{{\cos B\cos C}} - \sin A)(\frac{{\sin B}}{{\cos C\cos A}} - \sin B) \geqslant 27\sin A\sin B\sin C  \\
   \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}}.\frac{{1 - \cos B\cos C}}{{\cos B\cos C}}.\frac{{1 - \cos C\cos A}}{{\cos C\cos A}} \geqslant 27  \\
\end{array} $
Đặt x = tanA/2,y = tanB/2,z = tanC/2, khi đó ta có
$\cos A = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}},\cos B = \frac{{1 - {y^2}}}{{1 + {y^2}}},\cos C = \frac{{1 - {z^2}}}{{1 + {z^2}}}$
Và $\tan A = \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}},\tan B = \frac{{2y}}{{1 - {y^2}}},\tan C = \frac{{2z}}{{1 - {z^2}}}$
Khi đó :$\frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}} = \frac{{2({x^2} + {y^2})}}{{(1 - {x^2})(1 - {y^2})}}$ mặt khác :${x^2} + {y^2} \geqslant 2xy$ nên:
$\frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}} \geqslant \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}}.\frac{{2y}}{{1 - {y^2}}} = \tan A\tan B$    (1)
Tương tự ta có:
$\begin{array}
  \frac{{1 - \cos B\cos C}}{{\cos B\cos C}} \geqslant \tan B\tan C  \\
  \frac{{1 - \cos C\cos A}}{{\cos C\cos A}} \geqslant \tan C\tan A  \\
\end{array} $
Nhân vế theo vế (1) (2) và (3) ta được đpcm

Chat chit và chém gió
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Có vẻ vui hơn rồi hả laughing 1/30/2015 1:05:41 AM
  • thienthanh1707: trung toán lun ak 1/30/2015 1:05:44 AM
  • thienthanh1707: hay môn ji 1/30/2015 1:05:48 AM
  • ღKhờღ: dạ anh 1/30/2015 1:05:52 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: trung nó ms lớp 10 1/30/2015 1:05:54 AM
  • ღKhờღ: toán chị 1/30/2015 1:05:55 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: ko hỏi được đâu Nhi laughing 1/30/2015 1:06:04 AM
  • thienthanh1707: troll bjk rồi 1/30/2015 1:06:08 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: đợi Thành đi 1/30/2015 1:06:11 AM
  • ღKhờღ: nc với anh trai 1/30/2015 1:06:12 AM
  • ღKhờღ: vui hẳn lên big_grin 1/30/2015 1:06:16 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: haha 1/30/2015 1:06:19 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Thế tốt rồi 1/30/2015 1:06:26 AM
  • ღKhờღ: chỉ có thể là anh trai 1/30/2015 1:06:28 AM
  • thienthanh1707: biết hồi khi mới zô trong này nè nc qa lại cũng biết 1/30/2015 1:06:29 AM
  • ღKhờღ: big_grin 1/30/2015 1:06:29 AM
  • thienthanh1707: sn 99 chứ ji 1/30/2015 1:06:33 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Hay là do có thằng bị loại đấy rolling_on_the_floor 1/30/2015 1:06:39 AM
  • ღKhờღ: big_grin 1/30/2015 1:06:41 AM
  • thienthanh1707: troll hỏi dc linh vs thành 1/30/2015 1:06:44 AM
  • ღKhờღ: nỏ phải đâu anh 1/30/2015 1:06:55 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: sao Nhi? 1/30/2015 1:07:01 AM
  • thienthanh1707: mà linh thì ngủ thành thì trao đổi vs bạn sad 1/30/2015 1:07:02 AM
  • thienthanh1707: bỏ rơi mình tôi hixhx 1/30/2015 1:07:16 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Linh ta có face + số đt 1/30/2015 1:07:16 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Thành thì chả biết laughing 1/30/2015 1:07:22 AM
  • thienthanh1707: troll cho fb big_grin 1/30/2015 1:07:25 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: cho rồi 1/30/2015 1:07:29 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: @@ 1/30/2015 1:07:30 AM
  • thienthanh1707: của linh 1/30/2015 1:07:30 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Linh ngủ rồi 1/30/2015 1:07:35 AM
  • thienthanh1707: của người nói làm ji hehehe 1/30/2015 1:07:38 AM
  • thienthanh1707: bữa sau hỏi :V 1/30/2015 1:07:44 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: vào đánh Nguyễn Thị Thùy Linh 1/30/2015 1:07:46 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Trong list friend của ta 1/30/2015 1:07:54 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: là nó ra à 1/30/2015 1:07:57 AM
  • thienthanh1707: nghĩ sao zậy bao nhiu njk 1/30/2015 1:07:57 AM
  • ღKhờღ: anh Thành em có fb 1/30/2015 1:08:05 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: vào bb ta mà tìm 1/30/2015 1:08:06 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Thôi e trai ngủ ngon 1/30/2015 1:08:16 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Nhi ngủ ngon 1/30/2015 1:08:20 AM
  • thienthanh1707: rồi ok 1/30/2015 1:08:21 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: :v 1/30/2015 1:08:22 AM
  • ღKhờღ: big_grin 1/30/2015 1:08:24 AM
  • ღKhờღ: chúc a trai ngủ ngon 1/30/2015 1:08:25 AM
  • thienthanh1707: ukm tùng ngủ ngon 1/30/2015 1:08:27 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: ok bye chú 1/30/2015 1:08:30 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Nhi nó ko thèm chúc lại 1/30/2015 1:08:47 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: khổ tâm dễ sợ 1/30/2015 1:08:52 AM
  • thienthanh1707: big_grin 1/30/2015 1:08:56 AM
  • thienthanh1707: ai ko chúc lại 1/30/2015 1:09:00 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: cô chứ ai 1/30/2015 1:09:06 AM
  • thienthanh1707: troll 1/30/2015 1:09:23 AM
  • thienthanh1707: tùng ngủ ngon kìa 1/30/2015 1:09:30 AM
  • thienthanh1707: ko chúc hồi nào 1/30/2015 1:09:34 AM
  • thienthanh1707: :3 1/30/2015 1:09:39 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Tùng tên ai chứ phải tên ta đâu laughing 1/30/2015 1:09:40 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Ta là Minh mà 1/30/2015 1:09:45 AM
  • thienthanh1707: á nhầm 1/30/2015 1:09:47 AM
  • ღKhờღ: anh troll mà tên tùng 1/30/2015 1:09:47 AM
  • ღKhờღ: laughing 1/30/2015 1:09:51 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: hahaha 1/30/2015 1:09:52 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: rolling_on_the_floor 1/30/2015 1:09:54 AM
  • thienthanh1707: njk fb mi tên nớ ns rõ mà ta qên 1/30/2015 1:10:00 AM
  • ღKhờღ: anh trai em đó 1/30/2015 1:10:02 AM
  • ღKhờღ: anh tên Minh 1/30/2015 1:10:06 AM
  • thienthanh1707: mà tóm lại tên chy ko dc 1/30/2015 1:10:07 AM
  • ღKhờღ: Minh là Minh đó chị 1/30/2015 1:10:12 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: ^^ 1/30/2015 1:10:13 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Thôi được rồi 1/30/2015 1:10:19 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: đi ngủ đây 1/30/2015 1:10:22 AM
  • thienthanh1707: ấp phe hội đồng 1/30/2015 1:10:23 AM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: g9 all 1/30/2015 1:10:24 AM
  • thienthanh1707: ukm ppppppp nn 1/30/2015 1:10:31 AM
  • ღKhờღ: 1k dạnh vọng rồi 1/30/2015 1:10:57 AM
  • thienthanh1707: khờ đi ngủ đi e 1/30/2015 1:11:17 AM
  • ღKhờღ: 1k1 danh vọng r 1/30/2015 1:11:34 AM
  • ღKhờღ: quơ trời 1/30/2015 1:11:37 AM
  • ღKhờღ: lên nhanh ri 1/30/2015 1:11:42 AM
  • thienthanh1707: :3 1/30/2015 1:11:59 AM
  • NO NAME: cị ngủ tr đi 1/30/2015 1:13:30 AM
  • thienthanh1707: vẫn còn người thức 1/30/2015 1:14:16 AM
  • NO NAME: em Trung đây chứ ai 1/30/2015 1:14:41 AM
  • NO NAME: hôm qua em hơn 2h mới ngủ 1/30/2015 1:14:49 AM
  • thienthanh1707: e đổi tên ak 1/30/2015 1:14:49 AM
  • NO NAME: e đổi nick 1/30/2015 1:14:56 AM
  • thienthanh1707: mấy bữa chị cũng zậy 1/30/2015 1:14:57 AM
  • thienthanh1707: sáng dạy ko nỗi 1/30/2015 1:15:02 AM
  • thienthanh1707: ukm 1/30/2015 1:15:03 AM
  • thienthanh1707: lắm zậy 1/30/2015 1:15:07 AM
  • NO NAME: hôm qua e 2h 1/30/2015 1:15:07 AM
  • NO NAME: còn có người nc ởdđây nữa là 1/30/2015 1:15:15 AM
  • thienthanh1707: chị có mình njk này fai đăng nhập bằng gmail của ng khác fb thì ko dc 1/30/2015 1:15:36 AM
  • NO NAME: dạ 1/30/2015 1:15:46 AM
  • NO NAME: chắc e cũng đi ngủ luôn 1/30/2015 1:15:58 AM
  • thienthanh1707: happy 1/30/2015 1:16:18 AM
  • thienthanh1707: vậy em ngủ ngon nha 1/30/2015 1:16:28 AM
  • NO NAME: dạ 1/30/2015 1:16:31 AM
  • NO NAME: chúc chị ngủ ngon 1/30/2015 1:16:34 AM
  • NO NAME: mơ đẹp ạ 1/30/2015 1:16:36 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Angel
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • The X-Files
  • ღKhờღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • datwin195
  • kto138
  • Sâu lười
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • ★.★Pino★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Thần Thoại
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • buituoi1999
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • Troll.Insec Đang Cai Gái
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • tramthiendhnmaths
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295