SỬ DỤNG BĐT CỔ ĐIỂN ĐỂ CHỨNG MINH BĐT LƯỢNG GIÁC


Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về 4 bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng của chúng trong giải bất đẳng thức lượng giác. Các bất đẳng thức bao gồm:
1. Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
3. Bất đẳng thức Jensen
4. Bất đẳng thức Chebyshev

1. Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):
Với mọi số thực không âm ${a_1},{a_2},....,{a_n}$ ta luôn có:
              $\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \geqslant \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$

Ví dụ 1:
Cho A,B,C là 3 đỉnh của 1 tam giác nhọn. CMR:
            $\tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3 $
Lời giải:
Vì $\tan \left( {A + B} \right) =  - \tan C \Leftrightarrow \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A.\tan B}} =  - \tan C$
$ \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C = \tan A.\tan B.\tan C$
Tam giác ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC dương.
Theo Cauchy ta có:
            $\tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt[3]{{\tan A.\tan B.\tan C}} = 3\sqrt[3]{{\tan A + \tan B + \tan C}}$
            $ \Rightarrow {\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)^2} \geqslant 27\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)$
    $ \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3 $
Đẳng thức xảy ra$ \Leftrightarrow A = B = C \Leftrightarrow \Delta ABC$đều.

Ví dụ 2 :
Cho $\Delta ABC$ nhọn. CMR: $\cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3 $
Lời giải:
Ta luôn có:
         $\begin{array}
  \cot \left( {A + B} \right) =  - \cot C  \\
   \Leftrightarrow \frac{{\cot A.\cot B - 1}}{{\cot A + \cot B}} =  - \cot C  \\
   \Leftrightarrow \cot A.\cot B + \cot B.\cot C + \cot C.\cot A = 1  \\
\end{array} $
Khi đó:
         ${\left( {\cot A - \cot B} \right)^2} + {\left( {\cot B - \cot C} \right)^2} + {\left( {\cot C - \cot A} \right)^2} \geqslant 0$
    $ \Leftrightarrow {\left( {\cot A + \cot B + \cot C} \right)^2} \geqslant 3\left( {\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A} \right) = 3$
    $ \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3 $
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ nhọn ta  có:
$\sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos C\cos A}}{{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}}}} \\
                           \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Ta có:  $\frac{{\cos A}}{{2\cos \frac{A}{2}}} = \sin \frac{A}{2}\cot \frac{A}{2}$
$ \Rightarrow \frac{{\frac{3}{4}\cos A\cos B}}{{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}} = \left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}} \right)\left( {\frac{3}{4}\cot A\cot B} \right)$
Theo Cauchy:
$\frac{{\frac{3}{4}\cos A\cos B}}{{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}} \leqslant {\left( {\frac{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \frac{3}{4}\cot A\cot B}}{2}} \right)^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \frac{3}{4}\cot A\cot B} \right)$
Tương tự ta có:
$\sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \frac{3}{4}\cot B\cot C} \right)$
$S = pr \Rightarrow \frac{8}{3}{\left( {\frac{S}{{2r}}} \right)^2} = \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{6}$
Cộng theo vế ta được:
$\sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos C\cos A}}{{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}}}} $
$ \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \\                          + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A} \right)$
$ = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$    $ \Rightarrow $ Đpcm.

2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
Với 2 bộ số ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ và ${b_1},{b_2},...,{b_n}$ ta luôn có:
             ${\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \leqslant \left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + ... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + ... + {b_n}^2} \right)$
Nhận xét:
-Nếu như với bất đẳng thức Cauchy, ta luôn phải nhớ điều kiện của các biến là phải không âm thì đối với bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có thể áp dụng cho các biến là số thực.
-Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacốpxki là 2 bất đẳng thức tỏ ra rất hiệu quả khi dùng để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Ta sẽ xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1:
CMR với mọi $a,b,\alpha $ ta có:
$\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$  
Lời giải:
Ta có: $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha  + \left( {a + b} \right)\sin \alpha \cos \alpha  + ab{\cos ^2}\alpha $
            $ = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} + \frac{{\left( {a + b} \right)}}{2}\sin 2\alpha  + ab\frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}$
            $ = \frac{1}{2}\left( {1 + ab + \left( {a + b} \right)\sin 2\alpha  + \left( {ab - 1} \right)\cos 2\alpha } \right)$    (1)
Theo Bunhiacốpxki ta có:
        $A\sin x + B\cos x \leqslant \sqrt {{A^2} + {B^2}} $       (2)
Áp dụng (2) ta có:
        $\left( {a + b} \right)\sin 2\alpha  + \left( {ab - 1} \right)\cos 2\alpha  \leqslant \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {ab - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} $       (3)
Thay (3) vào (1) ta được:
        $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant \frac{1}{2}\left( {1 + ab + \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} } \right)$     (4)
Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi a,b:
        $\frac{1}{2}\left( {1 + ab + \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$     (5)
Thật vậy:
         (5)$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} + \frac{{ab}}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant 1 + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4} + \frac{{ab}}{2}$
              $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant \frac{{{a^2} + {b^2} + 2}}{2}$
              $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant \frac{{\left( {{a^2} + 1} \right) + \left( {{b^2} + 1} \right)}}{2}$       (6)
Theo Cauchy thì (6) hiển nhiên đúng$ \Rightarrow $ (5) đúng với mọi a,b.
Từ (1) và (5) : với mọi $a,b,\alpha $ ta có: $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$
Đẳng thức xảy ra khi ở (1) và (6) dấu bằng đồng thời xảy ra
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {a^2} = {b^2}  \\
  \frac{{a + b}}{{\sin 2\alpha }} = \frac{{ab - 1}}{{\cos 2\alpha }}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \left| a \right| = \left| b \right|  \\
  \tan \alpha  = \frac{{a + b}}{{ab - 1}}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \left| a \right| = \left| b \right|  \\
  \alpha  = \frac{1}{2}\arctan \frac{{a + b}}{{ab - 1}} + k\frac{\pi }{2}  \\
\end{array}  \right.$ 

Ví dụ 2:
CMR với mọi $\Delta ABC$ ta có:
   $\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  \leqslant \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} $   
với x,y,z là khoảng cách từ điểm M bất kì nằm bên trong $\Delta ABC$ tới 3 cạnh AB, BC, CA của tam giác.
Lời giải:
Ta có:
         $\begin{array}
  {S_{ABC}} = {S_{MAB}} + {S_{MBC}} + {S_{MCA}}  \\
   \Leftrightarrow \frac{{{S_{MAB}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{MBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{MCA}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1  \\
   \Leftrightarrow \frac{z}{{{h_c}}} + \frac{y}{{{h_b}}} + \frac{x}{{{h_a}}} = 1  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow {h_a} + {h_b} + {h_c} = \left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right)\left( {\frac{z}{{{h_c}}} + \frac{y}{{{h_b}}} + \frac{x}{{{h_a}}}} \right)$
Theo Bunhiacốpxki thì:
$\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  = \sqrt {{h_a}} \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{h_a}} }} + \sqrt {{h_b}} \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {{h_b}} }} + \sqrt {{h_c}} \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt {{h_c}} }} \\
                               \leqslant \sqrt {\left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{h_a}} }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {{h_b}} }} + \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt {{h_c}} }}} \right)}  = \sqrt {{h_a} + {h_b} + {h_c}} $
mà $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}ab\sin C \Rightarrow {h_a} = b\sin C$, ${h_b} = c\sin A$, ${h_c} = a\sin B$
$ \Rightarrow \sqrt {{h_a} + {h_b} + {h_c}}  = \sqrt {\left( {a\sin B + b\sin C + c\sin A} \right)}  = \sqrt {\frac{{ab}}{{2R}} + \frac{{bc}}{{2R}} + \frac{{ca}}{{2R}}} $
$ \Rightarrow \sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  \leqslant \sqrt {\frac{{ab}}{{2R}} + \frac{{bc}}{{2R}} + \frac{{ca}}{{2R}}}  \leqslant \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}}  \Rightarrow $ Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}
  a = b = c  \\
  x = y = z  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \Delta ABC$đều và M là tâm đường tròn nội tiếp$\Delta ABC$.

3. Bất đẳng thức Jensen:
Cho $f:{R^ + } \to R$ thỏa mãn $f(x) + f(y) \geqslant 2f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)$  $\forall x,y \in {R^ + }$. Khi đó với mọi  ${x_1},{x_2},....,{x_n} \in {R^ + }$ ta có bất đẳng thức sau:
                          $f({x_1}) + f({x_2}) + ...... + f({x_n}) \geqslant nf\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}} \right)$

-Bất đẳng thức Jensen thật sự là một công cụ chuyên dùng cho chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Tuy không phải là một bất đẳng thức chặt nhưng nếu thấy có những dấu hiệu của BĐT Jensen, chúng ta nên dùng ngay.
 
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi$\Delta ABC$ ta có
                      $\sin A + \sin B + \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Xét $f(x) = \sin x$ với $x \in \left( {0,\pi } \right)$ $ \Rightarrow f(x)$ là hàm lồi. Theo Jensen ta có:
$f(A) + f(B) + f(C) \leqslant 3f\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$đều ta có:
           $\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \sqrt 3 $
Lời giải:
Xét $f(x) = \tan x$ với$x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$
$\begin{array}
(1) \Leftrightarrow {a^2}({a^2} - bc) + {b^2}({b^2} - ca) + {c^2}({c^2} - ab) \geqslant 0  \\
\Leftrightarrow \left[ {{a^2} + {{(b + c)}^2}} \right]{(b - c)^2} + \left[ {{b^2} + {{(c + a)}^2}} \right]{(c - a)^2} + \left[ {{c^2} + {{(a + b)}^2}} \right]{(a - b)^2} \geqslant 0  \\
\end{array} $ là hàm lồi. Theo Jensen ta có:
$f\left( {\frac{A}{2}} \right) + f\left( {\frac{B}{2}} \right) + f\left( {\frac{C}{2}} \right) \geqslant 3f\left( {\frac{{\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}}}{3}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{6} = \sqrt 3  \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ta có:
$\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} + \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \frac{3}{2} + \sqrt 3 $
Lời giải:
Xét $f(x) = \sin x + \tan x$ với $ \Rightarrow $là hàm lồi. Theo Jensen ta có:

$f\left( {\frac{A}{2}} \right) + f\left( {\frac{B}{2}} \right) + f\left( {\frac{C}{2}} \right) \geqslant 3f\left( {\frac{{\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}}}{3}} \right)$$ = 3\left( {\tan \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{3}{2} + \sqrt 3  \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

4. Bất đẳng thức Chebyshev:
Với 2 dãy số thực đơn điệu cùng chiều ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ và ${b_1},{b_2},...,{b_n}$  ta có:
             ${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \geqslant \frac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)$

Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
               $\frac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} \geqslant \frac{\pi }{3}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a \leqslant b \leqslant c \Leftrightarrow A \leqslant B \leqslant C$

Theo Chebyshev thì
$\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right) \leqslant \frac{{aA + bB + cC}}{3}$
$ \Rightarrow \frac{{aA + bB + cC}}{3} \geqslant \frac{{A + B + C}}{3} = \frac{\pi }{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
              $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\cos A + \cos B + \cos C} \leqslant \frac{\tan A\tan B\tan C}{3}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử$A \geqslant B \geqslant C$
               $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  \tan A \geqslant \tan B \geqslant \tan C  \\
  \cos A \leqslant \cos B \leqslant \cos C  \\
\end{array}  \right.$
Theo Chebyshev ta có:
$ \Leftrightarrow \frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} \leqslant \frac{{\tan A + \tan B + \tan C}}{3}$
Mà $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C$$ \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
$2\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) \geqslant \frac{3}{2}\frac{{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a \leqslant b \leqslant c$
                    $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  \sin A \leqslant \sin B \leqslant \sin C  \\
  \cos A \geqslant \cos B \geqslant \cos C  \\
\end{array}  \right.$
Theo Chebyshev ta có:
$\left( {\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{3}} \right)\left( {\frac{{\cos A + \cos B + \cos C}}{3}} \right) \geqslant \frac{{\sin A\cos A + \sin B\cos B + \sin C\cos C}}{3}$
$ \Leftrightarrow 2\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) \geqslant \frac{3}{2}\frac{{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} \Rightarrow $ Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

BÀI TẬP:
Bài 1.

CMR với mọi tam giác ABC ta có:
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Theo BĐT Cô-si  ta có:
$\frac{{\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
Mặt khác:
$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} = \frac{{c{\text{os}}\frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
$ = \frac{{\frac{1}{4}(\sin A + \sin B + \sin C)}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}{{2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
                 $ \geqslant \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
Suy ra:
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right)$
$ \geqslant \frac{9}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
$ = \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}}}$  (1)
Mà ta cũng có:
$\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} \geqslant 3\sqrt 3 $
$ \Rightarrow \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}}} \geqslant \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}(2)$
Từ (1),(2) :
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
$ \Rightarrow $ đpcm.

Bài 2.
Cho $\Delta ABC$ nhọn .CMR:
              $\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right)\left( {\operatorname{t} a{\text{nA}} + \tan B + \tan C} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
 Vì $\Delta ABC$ nhọn nên $\cos A,\cos B,\cos C,\operatorname{t} {\text{anA}},\tan B,\tan C$ đều dương.
Theo AM-GM ta có:
$\begin{array}
  \frac{{\cos A + \cos B + \cos C}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
  \operatorname{t} a{\text{nA}} + \tan B + \tan C = \operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C = \frac{{\sin A\sin B\sin C}}{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
\end{array} $
$ = \frac{{\frac{1}{4}(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}}{{\cos A\cos B\cos C}} = \frac{{\sin A\cos A + \sin B\cos b + \sin C\cos C}}{{2\cos A\cos B\cos C}}$
$ \geqslant \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin A\cos A\sin B\cos B\sin C\cos C}}}}{{2\cos A\cos B\cos C}}$
Suy ra:
$\begin{array}
  (\cos A + \cos B + \cos C)(\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C)  \\
   \geqslant \frac{9}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\cos A\cos B\cos C\sin A\cos A\sin B\cos B\sin C\cos C}}}}{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
   = \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C}}(1)  \\
\end{array} $
Mặt khác:
$\begin{array}
  \tan {\text{A}}\tan B\tan C \geqslant 3\sqrt 3   \\
   \Rightarrow \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C}} \geqslant \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}(2)  \\
\end{array} $
Từ (1),(2) suy ra:
$(\cos A + \cos B + \cos C)(\tan {\text{A}}\tan B\tan C) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$  $ \Rightarrow $ đpcm.

Bài 4.
Cho tam giác ABC bất kì .CMR:
$\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} \geqslant 4 - \frac{{2r}}{R}$
Lời giải:
Ta có S=$\frac{{abc}}{{4R}} = pr = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} $
$\begin{array}
   \Rightarrow \frac{{2r}}{R} = \frac{{8{S^2}}}{{pabc}} = \frac{{{a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + c{a^2} - {a^3} - {b^3} - {c^3} - 2abc}}{{abc}}  \\
   \Rightarrow 4 - \frac{{2r}}{R} = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} + 6 - (\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c}) \leqslant \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}}  \\
\end{array} $
Suy ra đpcm

Bài 5.
Cho tam tam giác ABC.CMR
$(\frac{a}{{\cos A}} + \frac{b}{{\cos B}} - c)(\frac{b}{{\cos b}} + \frac{c}{{\cos C}} - a)(\frac{c}{{\cos C}} + \frac{a}{{\cos A}} - b) \geqslant 27abc$
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\begin{array}
  (\frac{{\sin C}}{{\cos A\cos B}} - \sin C)(\frac{{\sin A}}{{\cos B\cos C}} - \sin A)(\frac{{\sin B}}{{\cos C\cos A}} - \sin B) \geqslant 27\sin A\sin B\sin C  \\
   \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}}.\frac{{1 - \cos B\cos C}}{{\cos B\cos C}}.\frac{{1 - \cos C\cos A}}{{\cos C\cos A}} \geqslant 27  \\
\end{array} $
Đặt x = tanA/2,y = tanB/2,z = tanC/2, khi đó ta có
$\cos A = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}},\cos B = \frac{{1 - {y^2}}}{{1 + {y^2}}},\cos C = \frac{{1 - {z^2}}}{{1 + {z^2}}}$
Và $\tan A = \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}},\tan B = \frac{{2y}}{{1 - {y^2}}},\tan C = \frac{{2z}}{{1 - {z^2}}}$
Khi đó :$\frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}} = \frac{{2({x^2} + {y^2})}}{{(1 - {x^2})(1 - {y^2})}}$ mặt khác :${x^2} + {y^2} \geqslant 2xy$ nên:
$\frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}} \geqslant \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}}.\frac{{2y}}{{1 - {y^2}}} = \tan A\tan B$    (1)
Tương tự ta có:
$\begin{array}
  \frac{{1 - \cos B\cos C}}{{\cos B\cos C}} \geqslant \tan B\tan C  \\
  \frac{{1 - \cos C\cos A}}{{\cos C\cos A}} \geqslant \tan C\tan A  \\
\end{array} $
Nhân vế theo vế (1) (2) và (3) ta được đpcm

Chat chit và chém gió
  • Saori Hara: ak đâu h thầy giáo cho ôn đề đại học cmnr 10/20/2014 11:24:10 PM
  • tuanthanh31121997: thê thì học tich phân rồi nhi nưa 10/20/2014 11:24:29 PM
  • Saori Hara: nhưng chưa hk đến nguyên phân vs tích phân 10/20/2014 11:24:32 PM
  • Saori Hara: ko hiểu ông ấy dậy kiêu gì 10/20/2014 11:24:48 PM
  • tuanthanh31121997: nản thế ồn đề đại học mà chưa học tich phân bó tay vs ông thày này haizz 10/20/2014 11:25:04 PM
  • Saori Hara: ak ko 10/20/2014 11:25:17 PM
  • phan.nhnhi: Bình chọn cho thành viên tiêu biểu nhất tuần này có lẽ là anh Phan VĂn Tèo nhỉ 10/20/2014 11:25:25 PM
  • tuanthanh31121997: hả??? 10/20/2014 11:25:38 PM
  • Saori Hara: chỉ là loại đề tương tự thôi 10/20/2014 11:25:41 PM
  • Saori Hara: chứ không có tích phân 10/20/2014 11:25:54 PM
  • tuanthanh31121997: à tức là ra theo kiểu học gì ra đó hả 10/20/2014 11:26:06 PM
  • Saori Hara: đa số toàn la các bài khó hơn 10/20/2014 11:26:16 PM
  • tuanthanh31121997: laughing) thích nhất là làm hệ 10/20/2014 11:26:38 PM
  • Saori Hara: ko biết hết phần loga là ông ấy cho làm đề luôn 10/20/2014 11:26:51 PM
  • tuanthanh31121997: thầy dạy dị vãi 10/20/2014 11:27:18 PM
  • Saori Hara: mà tích phân củng có 1 điểm trong đề đai hk ông nhĩ 10/20/2014 11:29:02 PM
  • tuanthanh31121997: hầu như năm nào cũng có 10/20/2014 11:29:22 PM
  • Saori Hara: phần đó khó hay dể vậy ông 10/20/2014 11:29:26 PM
  • tuanthanh31121997: ko phải tích phân thì cũng ứng dụng tich phân 10/20/2014 11:29:38 PM
  • tuanthanh31121997: phân đó học giỏi lương giác vs gải pt là ok 10/20/2014 11:30:01 PM
  • phan.nhnhi: 22 10/20/2014 11:30:16 PM
  • phan.nhnhi: ha mắt 10/20/2014 11:30:20 PM
  • tuanthanh31121997: 22 10/20/2014 11:30:24 PM
  • phan.nhnhi: hoa mắt 10/20/2014 11:30:24 PM
  • Saori Hara: uk chắc là củng ngắn thôi nhĩ 10/20/2014 11:30:34 PM
  • tuanthanh31121997: ko nó lắm ct lắm 10/20/2014 11:30:49 PM
  • Saori Hara: thầy tôi dạy hay lắm 10/20/2014 11:30:52 PM
  • tuanthanh31121997: tich phân đk cái lăm công thức 10/20/2014 11:31:17 PM
  • Saori Hara: lắm ct cho đến luc nào thi rồi dạy cho nó nhớ ha há 10/20/2014 11:31:26 PM
  • tuanthanh31121997: thầy tôi cung thuộc dạng bá đạo 10/20/2014 11:31:34 PM
  • tuanthanh31121997: làm lắm là quen 10/20/2014 11:31:44 PM
  • Saori Hara: uk cả lớp 10 ông ấy cho hk toàn hệ pt vs bpt 10/20/2014 11:32:26 PM
  • Saori Hara: mà bây h có nhớ cái shit gì đâu big_grin 10/20/2014 11:32:49 PM
  • tuanthanh31121997: bỏ bpt hehe học hpt tôt vs măt phẳng tôt kiếm 9 thôi ko ham 10 haha 10/20/2014 11:33:31 PM
  • Saori Hara: hình tọa độ ắ 10/20/2014 11:33:55 PM
  • tuanthanh31121997: uk 10/20/2014 11:34:07 PM
  • Saori Hara: cái đó chỉ đk cái dài dòng 10/20/2014 11:34:27 PM
  • Saori Hara: hay tính toán sai 10/20/2014 11:34:59 PM
  • tuanthanh31121997: uk dôt phần đó lăm chăc phải bỏ ra 1 thang cay 10/20/2014 11:35:23 PM
  • nelkezo044: 222222 10/20/2014 11:35:45 PM
  • tuanthanh31121997: 333 10/20/2014 11:36:01 PM
  • Saori Hara: 2 nữa đên rồi 10/20/2014 11:36:06 PM
  • Saori Hara: đi ngủ thôi mai thi giữ kì 10/20/2014 11:36:22 PM
  • tuanthanh31121997: câp 3 có cả thi giưa kì nưa à 10/20/2014 11:36:42 PM
  • Saori Hara: thi cho có hình thức 10/20/2014 11:36:57 PM
  • Saori Hara: mọi năm có thi đâu 10/20/2014 11:37:03 PM
  • tuanthanh31121997: nha tui ko có 10/20/2014 11:37:08 PM
  • Saori Hara: năm nay nó dở chứng ra đó chứ 10/20/2014 11:37:28 PM
  • tuanthanh31121997: khoan bạn ctrai hay cgais thê 10/20/2014 11:38:13 PM
  • Saori Hara: đề kiểu 5 diểm dể và 6 điểm khó 10/20/2014 11:38:14 PM
  • Saori Hara: trai 10/20/2014 11:38:20 PM
  • tuanthanh31121997: tương gái rolling_on_the_floor 10/20/2014 11:38:34 PM
  • Saori Hara: @@ 10/20/2014 11:38:40 PM
  • tuanthanh31121997: hehe ngủ di mai mà đi thi 10/20/2014 11:39:02 PM
  • Saori Hara: ok 10/20/2014 11:39:07 PM
  • Saori Hara: đi ngủ 10/20/2014 11:39:10 PM
  • tuanthanh31121997: g9 10/20/2014 11:39:45 PM
  • vlcmvui: có ai k giúp em bài toán với 10/21/2014 12:52:44 AM
  • vlcmvui: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127711/ky-hieu-x-la-phan-nguyen-cua-x-tinh-tong-a-1-2-3-4-2-3-4-5-4-5-6-7-n-n-1-n-2-n-3 10/21/2014 12:52:49 AM
  • Lã Phụng Tiên: mọi người ơi chiều thi rồilaughing 10/21/2014 9:50:00 AM
  • thanhtamkute508: moi nguoi oi giup mk bai nay voi 10/21/2014 10:57:19 AM
  • thanhtamkute508: tu các chữ số 123456 có thể lập dc bao nhieu số tu nhiên co 3 chu số va nho hon 526 10/21/2014 10:58:10 AM
  • misschpro: happy 10/21/2014 11:06:56 AM
  • thanhtamkute508: ban oi giup t vs 10/21/2014 11:44:13 AM
  • anchi_nguyn: big_grin 10/21/2014 12:14:21 PM
  • Sát thủ: big_grin 10/21/2014 12:15:21 PM
  • Saori Hara: crying 10/21/2014 12:16:27 PM
  • Saori Hara: sáng nay thi mà sai mất mấy bài đắng quá 10/21/2014 12:16:53 PM
  • thanhtamkute508: bạn oi 10/21/2014 12:17:00 PM
  • thanhtamkute508: co ai k giup t vs 10/21/2014 12:17:06 PM
  • Saori Hara: up lên đi 10/21/2014 12:17:14 PM
  • thanhtamkute508: ok 10/21/2014 12:17:34 PM
  • Nel Kezo: rolling_on_the_floor 10/21/2014 12:17:50 PM
  • thanhtamkute508: tu cac chu so 123456 co the lap duoc bao nhieu chu so co 3 chu so va nho hon 526 10/21/2014 12:18:13 PM
  • Saori Hara: big_grin 10/21/2014 12:18:45 PM
  • thanhtamkute508: giup vs 10/21/2014 12:18:59 PM
  • thanhtamkute508: chieu t can rui 10/21/2014 12:19:04 PM
  • Saori Hara: chia làm 2 trường hợp nha 10/21/2014 12:19:10 PM
  • Nel Kezo: em là tv ms ạ 10/21/2014 12:19:52 PM
  • thanhtamkute508: co mk kp luon di 10/21/2014 12:19:52 PM
  • thanhtamkute508: v ak 10/21/2014 12:20:00 PM
  • Saori Hara: trường hợp 1 là a nhỏ hơn 5 10/21/2014 12:20:13 PM
  • Saori Hara: trường hợp 2 là a=5 10/21/2014 12:20:23 PM
  • thanhtamkute508: tiep tuc di b 10/21/2014 12:20:52 PM
  • Saori Hara: trường hợp 1 tự tính nha 10/21/2014 12:21:08 PM
  • Saori Hara: trường hợp 2 thì 10/21/2014 12:21:24 PM
  • thanhtamkute508: uk 10/21/2014 12:21:43 PM
  • thanhtamkute508: tom lai b noi luon kp di 10/21/2014 12:21:54 PM
  • Saori Hara: a cos cách chon b có 2 cách chọn c có 6 cách chọn 10/21/2014 12:22:00 PM
  • thanhtamkute508: to lm ra rui 10/21/2014 12:22:00 PM
  • Saori Hara: link đâu 10/21/2014 12:22:21 PM
  • Saori Hara: kq hả 10/21/2014 12:22:40 PM
  • Saori Hara: 4.6.6+1.2.6 thế thôi 10/21/2014 12:23:07 PM
  • Saori Hara: thôi t ăn cơm đây\ 10/21/2014 12:23:35 PM
  • Nel Kezo: wave 10/21/2014 12:50:27 PM
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥: @@ 10/21/2014 12:54:34 PM
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥: nick mới hả 10/21/2014 12:54:40 PM
  • thanhtamkute508: co ai k 10/21/2014 1:10:22 PM
  • SNHC: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127709/giup-e 10/21/2014 4:59:48 PM
  • hieugiapbat: có ai ko 10/21/2014 5:42:13 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Angel
  • devilphuong96
  • Tiểu sa nhi
  • tqmaries34
  • ankhatruongnguyen
  • bontiton96
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • °•☾๖ۣۜDe๖ۣۜViL☽•°
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • kto138
  • Sỏi Bự
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • ★.★Logarit★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • Sát thủ
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • SNHC
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • Saori Hara
  • ndanh999
  • xuka.love.nobita.4ever
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Nel Kezo