SỬ DỤNG BĐT CỔ ĐIỂN ĐỂ CHỨNG MINH BĐT LƯỢNG GIÁC


Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về 4 bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng của chúng trong giải bất đẳng thức lượng giác. Các bất đẳng thức bao gồm:
1. Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
3. Bất đẳng thức Jensen
4. Bất đẳng thức Chebyshev

1. Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):
Với mọi số thực không âm ${a_1},{a_2},....,{a_n}$ ta luôn có:
              $\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \geqslant \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$

Ví dụ 1:
Cho A,B,C là 3 đỉnh của 1 tam giác nhọn. CMR:
            $\tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3 $
Lời giải:
Vì $\tan \left( {A + B} \right) =  - \tan C \Leftrightarrow \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A.\tan B}} =  - \tan C$
$ \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C = \tan A.\tan B.\tan C$
Tam giác ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC dương.
Theo Cauchy ta có:
            $\tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt[3]{{\tan A.\tan B.\tan C}} = 3\sqrt[3]{{\tan A + \tan B + \tan C}}$
            $ \Rightarrow {\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)^2} \geqslant 27\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)$
    $ \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3 $
Đẳng thức xảy ra$ \Leftrightarrow A = B = C \Leftrightarrow \Delta ABC$đều.

Ví dụ 2 :
Cho $\Delta ABC$ nhọn. CMR: $\cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3 $
Lời giải:
Ta luôn có:
         $\begin{array}
  \cot \left( {A + B} \right) =  - \cot C  \\
   \Leftrightarrow \frac{{\cot A.\cot B - 1}}{{\cot A + \cot B}} =  - \cot C  \\
   \Leftrightarrow \cot A.\cot B + \cot B.\cot C + \cot C.\cot A = 1  \\
\end{array} $
Khi đó:
         ${\left( {\cot A - \cot B} \right)^2} + {\left( {\cot B - \cot C} \right)^2} + {\left( {\cot C - \cot A} \right)^2} \geqslant 0$
    $ \Leftrightarrow {\left( {\cot A + \cot B + \cot C} \right)^2} \geqslant 3\left( {\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A} \right) = 3$
    $ \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3 $
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ nhọn ta  có:
$\sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos C\cos A}}{{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}}}} \\
                           \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Ta có:  $\frac{{\cos A}}{{2\cos \frac{A}{2}}} = \sin \frac{A}{2}\cot \frac{A}{2}$
$ \Rightarrow \frac{{\frac{3}{4}\cos A\cos B}}{{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}} = \left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}} \right)\left( {\frac{3}{4}\cot A\cot B} \right)$
Theo Cauchy:
$\frac{{\frac{3}{4}\cos A\cos B}}{{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}} \leqslant {\left( {\frac{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \frac{3}{4}\cot A\cot B}}{2}} \right)^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \frac{3}{4}\cot A\cot B} \right)$
Tương tự ta có:
$\sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \frac{3}{4}\cot B\cot C} \right)$
$S = pr \Rightarrow \frac{8}{3}{\left( {\frac{S}{{2r}}} \right)^2} = \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{6}$
Cộng theo vế ta được:
$\sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos C\cos A}}{{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}}}} $
$ \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \\                          + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A} \right)$
$ = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$    $ \Rightarrow $ Đpcm.

2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
Với 2 bộ số ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ và ${b_1},{b_2},...,{b_n}$ ta luôn có:
             ${\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \leqslant \left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + ... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + ... + {b_n}^2} \right)$
Nhận xét:
-Nếu như với bất đẳng thức Cauchy, ta luôn phải nhớ điều kiện của các biến là phải không âm thì đối với bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có thể áp dụng cho các biến là số thực.
-Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacốpxki là 2 bất đẳng thức tỏ ra rất hiệu quả khi dùng để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Ta sẽ xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1:
CMR với mọi $a,b,\alpha $ ta có:
$\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$  
Lời giải:
Ta có: $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha  + \left( {a + b} \right)\sin \alpha \cos \alpha  + ab{\cos ^2}\alpha $
            $ = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} + \frac{{\left( {a + b} \right)}}{2}\sin 2\alpha  + ab\frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}$
            $ = \frac{1}{2}\left( {1 + ab + \left( {a + b} \right)\sin 2\alpha  + \left( {ab - 1} \right)\cos 2\alpha } \right)$    (1)
Theo Bunhiacốpxki ta có:
        $A\sin x + B\cos x \leqslant \sqrt {{A^2} + {B^2}} $       (2)
Áp dụng (2) ta có:
        $\left( {a + b} \right)\sin 2\alpha  + \left( {ab - 1} \right)\cos 2\alpha  \leqslant \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {ab - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} $       (3)
Thay (3) vào (1) ta được:
        $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant \frac{1}{2}\left( {1 + ab + \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} } \right)$     (4)
Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi a,b:
        $\frac{1}{2}\left( {1 + ab + \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$     (5)
Thật vậy:
         (5)$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} + \frac{{ab}}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant 1 + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4} + \frac{{ab}}{2}$
              $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant \frac{{{a^2} + {b^2} + 2}}{2}$
              $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant \frac{{\left( {{a^2} + 1} \right) + \left( {{b^2} + 1} \right)}}{2}$       (6)
Theo Cauchy thì (6) hiển nhiên đúng$ \Rightarrow $ (5) đúng với mọi a,b.
Từ (1) và (5) : với mọi $a,b,\alpha $ ta có: $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$
Đẳng thức xảy ra khi ở (1) và (6) dấu bằng đồng thời xảy ra
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {a^2} = {b^2}  \\
  \frac{{a + b}}{{\sin 2\alpha }} = \frac{{ab - 1}}{{\cos 2\alpha }}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \left| a \right| = \left| b \right|  \\
  \tan \alpha  = \frac{{a + b}}{{ab - 1}}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \left| a \right| = \left| b \right|  \\
  \alpha  = \frac{1}{2}\arctan \frac{{a + b}}{{ab - 1}} + k\frac{\pi }{2}  \\
\end{array}  \right.$ 

Ví dụ 2:
CMR với mọi $\Delta ABC$ ta có:
   $\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  \leqslant \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} $   
với x,y,z là khoảng cách từ điểm M bất kì nằm bên trong $\Delta ABC$ tới 3 cạnh AB, BC, CA của tam giác.
Lời giải:
Ta có:
         $\begin{array}
  {S_{ABC}} = {S_{MAB}} + {S_{MBC}} + {S_{MCA}}  \\
   \Leftrightarrow \frac{{{S_{MAB}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{MBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{MCA}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1  \\
   \Leftrightarrow \frac{z}{{{h_c}}} + \frac{y}{{{h_b}}} + \frac{x}{{{h_a}}} = 1  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow {h_a} + {h_b} + {h_c} = \left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right)\left( {\frac{z}{{{h_c}}} + \frac{y}{{{h_b}}} + \frac{x}{{{h_a}}}} \right)$
Theo Bunhiacốpxki thì:
$\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  = \sqrt {{h_a}} \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{h_a}} }} + \sqrt {{h_b}} \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {{h_b}} }} + \sqrt {{h_c}} \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt {{h_c}} }} \\
                               \leqslant \sqrt {\left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{h_a}} }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {{h_b}} }} + \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt {{h_c}} }}} \right)}  = \sqrt {{h_a} + {h_b} + {h_c}} $
mà $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}ab\sin C \Rightarrow {h_a} = b\sin C$, ${h_b} = c\sin A$, ${h_c} = a\sin B$
$ \Rightarrow \sqrt {{h_a} + {h_b} + {h_c}}  = \sqrt {\left( {a\sin B + b\sin C + c\sin A} \right)}  = \sqrt {\frac{{ab}}{{2R}} + \frac{{bc}}{{2R}} + \frac{{ca}}{{2R}}} $
$ \Rightarrow \sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  \leqslant \sqrt {\frac{{ab}}{{2R}} + \frac{{bc}}{{2R}} + \frac{{ca}}{{2R}}}  \leqslant \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}}  \Rightarrow $ Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}
  a = b = c  \\
  x = y = z  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \Delta ABC$đều và M là tâm đường tròn nội tiếp$\Delta ABC$.

3. Bất đẳng thức Jensen:
Cho $f:{R^ + } \to R$ thỏa mãn $f(x) + f(y) \geqslant 2f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)$  $\forall x,y \in {R^ + }$. Khi đó với mọi  ${x_1},{x_2},....,{x_n} \in {R^ + }$ ta có bất đẳng thức sau:
                          $f({x_1}) + f({x_2}) + ...... + f({x_n}) \geqslant nf\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}} \right)$

-Bất đẳng thức Jensen thật sự là một công cụ chuyên dùng cho chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Tuy không phải là một bất đẳng thức chặt nhưng nếu thấy có những dấu hiệu của BĐT Jensen, chúng ta nên dùng ngay.
 
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi$\Delta ABC$ ta có
                      $\sin A + \sin B + \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Xét $f(x) = \sin x$ với $x \in \left( {0,\pi } \right)$ $ \Rightarrow f(x)$ là hàm lồi. Theo Jensen ta có:
$f(A) + f(B) + f(C) \leqslant 3f\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$đều ta có:
           $\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \sqrt 3 $
Lời giải:
Xét $f(x) = \tan x$ với$x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$
$\begin{array}
(1) \Leftrightarrow {a^2}({a^2} - bc) + {b^2}({b^2} - ca) + {c^2}({c^2} - ab) \geqslant 0  \\
\Leftrightarrow \left[ {{a^2} + {{(b + c)}^2}} \right]{(b - c)^2} + \left[ {{b^2} + {{(c + a)}^2}} \right]{(c - a)^2} + \left[ {{c^2} + {{(a + b)}^2}} \right]{(a - b)^2} \geqslant 0  \\
\end{array} $ là hàm lồi. Theo Jensen ta có:
$f\left( {\frac{A}{2}} \right) + f\left( {\frac{B}{2}} \right) + f\left( {\frac{C}{2}} \right) \geqslant 3f\left( {\frac{{\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}}}{3}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{6} = \sqrt 3  \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ta có:
$\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} + \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \frac{3}{2} + \sqrt 3 $
Lời giải:
Xét $f(x) = \sin x + \tan x$ với $ \Rightarrow $là hàm lồi. Theo Jensen ta có:

$f\left( {\frac{A}{2}} \right) + f\left( {\frac{B}{2}} \right) + f\left( {\frac{C}{2}} \right) \geqslant 3f\left( {\frac{{\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}}}{3}} \right)$$ = 3\left( {\tan \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{3}{2} + \sqrt 3  \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

4. Bất đẳng thức Chebyshev:
Với 2 dãy số thực đơn điệu cùng chiều ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ và ${b_1},{b_2},...,{b_n}$  ta có:
             ${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \geqslant \frac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)$

Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
               $\frac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} \geqslant \frac{\pi }{3}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a \leqslant b \leqslant c \Leftrightarrow A \leqslant B \leqslant C$

Theo Chebyshev thì
$\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right) \leqslant \frac{{aA + bB + cC}}{3}$
$ \Rightarrow \frac{{aA + bB + cC}}{3} \geqslant \frac{{A + B + C}}{3} = \frac{\pi }{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
              $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\cos A + \cos B + \cos C} \leqslant \frac{\tan A\tan B\tan C}{3}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử$A \geqslant B \geqslant C$
               $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  \tan A \geqslant \tan B \geqslant \tan C  \\
  \cos A \leqslant \cos B \leqslant \cos C  \\
\end{array}  \right.$
Theo Chebyshev ta có:
$ \Leftrightarrow \frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} \leqslant \frac{{\tan A + \tan B + \tan C}}{3}$
Mà $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C$$ \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
$2\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) \geqslant \frac{3}{2}\frac{{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a \leqslant b \leqslant c$
                    $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  \sin A \leqslant \sin B \leqslant \sin C  \\
  \cos A \geqslant \cos B \geqslant \cos C  \\
\end{array}  \right.$
Theo Chebyshev ta có:
$\left( {\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{3}} \right)\left( {\frac{{\cos A + \cos B + \cos C}}{3}} \right) \geqslant \frac{{\sin A\cos A + \sin B\cos B + \sin C\cos C}}{3}$
$ \Leftrightarrow 2\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) \geqslant \frac{3}{2}\frac{{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} \Rightarrow $ Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

BÀI TẬP:
Bài 1.

CMR với mọi tam giác ABC ta có:
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Theo BĐT Cô-si  ta có:
$\frac{{\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
Mặt khác:
$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} = \frac{{c{\text{os}}\frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
$ = \frac{{\frac{1}{4}(\sin A + \sin B + \sin C)}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}{{2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
                 $ \geqslant \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
Suy ra:
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right)$
$ \geqslant \frac{9}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
$ = \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}}}$  (1)
Mà ta cũng có:
$\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} \geqslant 3\sqrt 3 $
$ \Rightarrow \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}}} \geqslant \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}(2)$
Từ (1),(2) :
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
$ \Rightarrow $ đpcm.

Bài 2.
Cho $\Delta ABC$ nhọn .CMR:
              $\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right)\left( {\operatorname{t} a{\text{nA}} + \tan B + \tan C} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
 Vì $\Delta ABC$ nhọn nên $\cos A,\cos B,\cos C,\operatorname{t} {\text{anA}},\tan B,\tan C$ đều dương.
Theo AM-GM ta có:
$\begin{array}
  \frac{{\cos A + \cos B + \cos C}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
  \operatorname{t} a{\text{nA}} + \tan B + \tan C = \operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C = \frac{{\sin A\sin B\sin C}}{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
\end{array} $
$ = \frac{{\frac{1}{4}(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}}{{\cos A\cos B\cos C}} = \frac{{\sin A\cos A + \sin B\cos b + \sin C\cos C}}{{2\cos A\cos B\cos C}}$
$ \geqslant \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin A\cos A\sin B\cos B\sin C\cos C}}}}{{2\cos A\cos B\cos C}}$
Suy ra:
$\begin{array}
  (\cos A + \cos B + \cos C)(\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C)  \\
   \geqslant \frac{9}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\cos A\cos B\cos C\sin A\cos A\sin B\cos B\sin C\cos C}}}}{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
   = \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C}}(1)  \\
\end{array} $
Mặt khác:
$\begin{array}
  \tan {\text{A}}\tan B\tan C \geqslant 3\sqrt 3   \\
   \Rightarrow \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C}} \geqslant \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}(2)  \\
\end{array} $
Từ (1),(2) suy ra:
$(\cos A + \cos B + \cos C)(\tan {\text{A}}\tan B\tan C) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$  $ \Rightarrow $ đpcm.

Bài 4.
Cho tam giác ABC bất kì .CMR:
$\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} \geqslant 4 - \frac{{2r}}{R}$
Lời giải:
Ta có S=$\frac{{abc}}{{4R}} = pr = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} $
$\begin{array}
   \Rightarrow \frac{{2r}}{R} = \frac{{8{S^2}}}{{pabc}} = \frac{{{a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + c{a^2} - {a^3} - {b^3} - {c^3} - 2abc}}{{abc}}  \\
   \Rightarrow 4 - \frac{{2r}}{R} = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} + 6 - (\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c}) \leqslant \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}}  \\
\end{array} $
Suy ra đpcm

Bài 5.
Cho tam tam giác ABC.CMR
$(\frac{a}{{\cos A}} + \frac{b}{{\cos B}} - c)(\frac{b}{{\cos b}} + \frac{c}{{\cos C}} - a)(\frac{c}{{\cos C}} + \frac{a}{{\cos A}} - b) \geqslant 27abc$
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\begin{array}
  (\frac{{\sin C}}{{\cos A\cos B}} - \sin C)(\frac{{\sin A}}{{\cos B\cos C}} - \sin A)(\frac{{\sin B}}{{\cos C\cos A}} - \sin B) \geqslant 27\sin A\sin B\sin C  \\
   \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}}.\frac{{1 - \cos B\cos C}}{{\cos B\cos C}}.\frac{{1 - \cos C\cos A}}{{\cos C\cos A}} \geqslant 27  \\
\end{array} $
Đặt x = tanA/2,y = tanB/2,z = tanC/2, khi đó ta có
$\cos A = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}},\cos B = \frac{{1 - {y^2}}}{{1 + {y^2}}},\cos C = \frac{{1 - {z^2}}}{{1 + {z^2}}}$
Và $\tan A = \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}},\tan B = \frac{{2y}}{{1 - {y^2}}},\tan C = \frac{{2z}}{{1 - {z^2}}}$
Khi đó :$\frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}} = \frac{{2({x^2} + {y^2})}}{{(1 - {x^2})(1 - {y^2})}}$ mặt khác :${x^2} + {y^2} \geqslant 2xy$ nên:
$\frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}} \geqslant \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}}.\frac{{2y}}{{1 - {y^2}}} = \tan A\tan B$    (1)
Tương tự ta có:
$\begin{array}
  \frac{{1 - \cos B\cos C}}{{\cos B\cos C}} \geqslant \tan B\tan C  \\
  \frac{{1 - \cos C\cos A}}{{\cos C\cos A}} \geqslant \tan C\tan A  \\
\end{array} $
Nhân vế theo vế (1) (2) và (3) ta được đpcm

hay quá!! ^_^ –  Confusion 09-04-16 01:03 PM
Chat chit và chém gió
  • Thanh Nga: rolling_on_the_floor) 11/12/2018 10:06:45 PM
  • Thanh Nga: Tại sao lại là lỗi of me^^ 11/12/2018 10:06:57 PM
  • hoangduong: happy buồn của t 11/12/2018 10:07:06 PM
  • Thanh Nga: rolling_on_the_floor hay lắm 11/12/2018 10:07:25 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): e gọi cj Nhug cko a r , bớt buồn cko ko khí htn đỡ căng thẳng 11/12/2018 10:07:29 PM
  • hoangduong: thôi e 11/12/2018 10:07:37 PM
  • Thanh Nga: rolling_on_the_floor) 11/12/2018 10:07:38 PM
  • hoangduong: laughing 11/12/2018 10:07:41 PM
  • hoangduong: mà a kp dương 11/12/2018 10:07:46 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): e là e lỡ r 11/12/2018 10:07:46 PM
  • hoangduong: laughing 11/12/2018 10:07:51 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): thôi xong :v 11/12/2018 10:07:54 PM
  • buikimtien291102: thấy mn ns ch giống team của mk 11/12/2018 10:08:07 PM
  • hoangduong: chúc mừng e 11/12/2018 10:08:08 PM
  • Thanh Nga: T bé qua fb huy động team 2k vô htn cho sôi nổi ha 11/12/2018 10:08:12 PM
  • buikimtien291102: nhớ 11/12/2018 10:08:14 PM
  • buikimtien291102: đi viết tus 11/12/2018 10:08:20 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): e á 11/12/2018 10:08:22 PM
  • buikimtien291102: pai 11/12/2018 10:08:22 PM
  • buikimtien291102: happy 11/12/2018 10:08:25 PM
  • hoangduong: đồng tâm trạng ha 11/12/2018 10:08:26 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): nô nô nô @ e đg sống ẩn ... 11/12/2018 10:08:36 PM
  • Thanh Nga: Team of you là năm nào z 11/12/2018 10:08:38 PM
  • Thanh Nga: rolling_on_the_floor 11/12/2018 10:08:45 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): straight_face h vô là có chiến tranh lạnh hầy 11/12/2018 10:09:12 PM
  • hoangduong: kimtien c ta có cùng team k 11/12/2018 10:09:18 PM
  • Thanh Nga: Chắc k phải mấy thag 97 96 đâu nhỉlaughing 11/12/2018 10:09:24 PM
  • hoangduong: laughing 11/12/2018 10:09:41 PM
  • Thanh Nga: Cj là cj kết mấy thanh niên 98 97 96 lắm. Ms vô htn buổi đầu bị dập tới tập bởi tụi này 11/12/2018 10:10:25 PM
  • hoangduong: laughing 11/12/2018 10:10:51 PM
  • Thanh Nga: Uây. Có đến hơn 10 ng onl lận. Máy bạn ms hw nay k thấy đâubig_grin 11/12/2018 10:12:21 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): sad 11/12/2018 10:13:43 PM
  • hoangduong: happy giá quay lại 1 năm nhỉ 11/12/2018 10:14:40 PM
  • .....: ukm cũng muốn thế 11/12/2018 10:14:58 PM
  • .....: lúc đó vui 11/12/2018 10:15:01 PM
  • .....: có ng bên cạnh nữa 11/12/2018 10:15:10 PM
  • ngoc822825: đâu hết rùi 11/12/2018 10:15:16 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): ước chỉ là ước th :v nếu thành sự thật thì cn ng đã chẳng die 11/12/2018 10:15:43 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): 2 ơi , 2 đâu r =.= 11/12/2018 10:16:00 PM
  • hoangduong: yeb quãng thời gian đẹp 11/12/2018 10:16:07 PM
  • hoangduong: happy 11/12/2018 10:16:12 PM
  • hoangduong: quá khứ rồi 11/12/2018 10:16:20 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): coffee để nó qua đi 11/12/2018 10:17:00 PM
  • Thanh Nga: năm ngoái cái thời điểm lúc nào cũng có ng sad 11/12/2018 10:17:37 PM
  • hoangduong: happy buồn 11/12/2018 10:17:58 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): trah vô ns còn bj ăn kí bơ cơ mà happy 11/12/2018 10:18:06 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): h thì , có 1 ng on là như gặp đc bụt laughing 11/12/2018 10:18:17 PM
  • hoangduong: laughingtha hồ nói 11/12/2018 10:18:26 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): và ko ai care laughing 11/12/2018 10:18:39 PM
  • .....: có care mà 11/12/2018 10:19:12 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): chắc đc dưới 2 ng =.= 11/12/2018 10:19:51 PM
  • Thanh Nga: https://appear.in/huyết-lệ etr vô link này coi 11/12/2018 10:20:08 PM
  • Thanh Nga: k nhầm đc 1 2 ng rolling_on_the_floor 11/12/2018 10:20:14 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): lag ... vô = niềm tin r 11/12/2018 10:22:16 PM
  • Thanh Nga: rolling_on_the_floor 11/12/2018 10:22:23 PM
  • .....: kakaka 11/12/2018 10:22:28 PM
  • Thanh Nga: cj lâu lắm cũng k vô app 11/12/2018 10:22:34 PM
  • hoangduong: happy 11/12/2018 10:22:35 PM
  • .....: e đùa thôi 11/12/2018 10:22:36 PM
  • .....: chị hát thảo nghe đi 11/12/2018 10:22:50 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): e còn k vô đc @@ s nghe 11/12/2018 10:23:11 PM
  • Thanh Nga: rolling_on_the_floor) 11/12/2018 10:24:07 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): 2 , fb on miết mà k thèm hát huh :v bữa nào hát đi 2 11/12/2018 10:24:43 PM
  • Thanh Nga: 2 cả ngày nay có vô fb mấy đâu 11/12/2018 10:25:29 PM
  • Thanh Nga: ^^ 11/12/2018 10:25:36 PM
  • .....: lâu thấy niu ko chị 11/12/2018 10:25:56 PM
  • Thanh Nga: rolling_on_the_floor hw cj ms ns vs bé T xong 11/12/2018 10:26:10 PM
  • Thanh Nga: nhớ mà k thấy nó đâu 11/12/2018 10:26:22 PM
  • .....: ukm chị 11/12/2018 10:26:29 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): à ừm e qên 11/12/2018 10:26:42 PM
  • Thanh Nga: đừng ns e quên luôn EG đó of cj nhé T 11/12/2018 10:27:13 PM
  • Thanh Nga: broken_heart 11/12/2018 10:27:23 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): hả ? 11/12/2018 10:27:27 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): EG là j ? 11/12/2018 10:27:37 PM
  • Thanh Nga: em gái 11/12/2018 10:27:44 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): 2 đg ns e à ? 11/12/2018 10:27:58 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): hơ ... sắp bj nta đá r nên não load k kịp 11/12/2018 10:29:04 PM
  • Thanh Nga: @@' 11/12/2018 10:29:15 PM
  • Thanh Nga: ôi trời 11/12/2018 10:29:18 PM
  • .....: ai dám đá e 11/12/2018 10:29:21 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): hả ? 11/12/2018 10:29:30 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): à 11/12/2018 10:29:33 PM
  • Thanh Nga: EG = em gái = bé Niu đó 11/12/2018 10:29:34 PM
  • Thanh Nga: ^^ 11/12/2018 10:29:37 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): à , hiểu r 11/12/2018 10:29:41 PM
  • Thanh Nga: em là eg sau 11/12/2018 10:29:42 PM
  • Thanh Nga: k phải EG trc 11/12/2018 10:29:47 PM
  • Thanh Nga: laughing 11/12/2018 10:29:49 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): à hiểu tiếp r 11/12/2018 10:29:52 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): straight_face đau não qá @@ 11/12/2018 10:30:00 PM
  • Thanh Nga: rolling_on_the_floor)' 11/12/2018 10:30:04 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): haha ... 11/12/2018 10:30:11 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): th , aB , 2 nnmđ 11/12/2018 10:32:42 PM
  • .....: ukm chào e 11/12/2018 10:33:05 PM
  • .....: nn nha 11/12/2018 10:33:07 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS): vg 11/12/2018 10:33:13 PM
  • Thanh Nga: pp, em nn 11/12/2018 10:33:19 PM
  • .....: e off đây 11/12/2018 10:34:39 PM
  • .....: chị nn mđ nha 11/12/2018 10:34:42 PM
  • Thanh Nga: ukm. pp e. nnmđ 11/12/2018 10:36:46 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo9119* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • ☼SunShine❤️
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Thanh Nga
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜ➻❥Sang(๖ۣۜTS)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Miya Ishikawa
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • miumiu
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • Mây của trời cứ để gió cuốn đi
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004
  • honhutlinh
  • let02hb
  • vohieutrung99