SỬ DỤNG BĐT CỔ ĐIỂN ĐỂ CHỨNG MINH BĐT LƯỢNG GIÁC


Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về 4 bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng của chúng trong giải bất đẳng thức lượng giác. Các bất đẳng thức bao gồm:
1. Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
3. Bất đẳng thức Jensen
4. Bất đẳng thức Chebyshev

1. Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):
Với mọi số thực không âm ${a_1},{a_2},....,{a_n}$ ta luôn có:
              $\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \geqslant \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$

Ví dụ 1:
Cho A,B,C là 3 đỉnh của 1 tam giác nhọn. CMR:
            $\tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3 $
Lời giải:
Vì $\tan \left( {A + B} \right) =  - \tan C \Leftrightarrow \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A.\tan B}} =  - \tan C$
$ \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C = \tan A.\tan B.\tan C$
Tam giác ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC dương.
Theo Cauchy ta có:
            $\tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt[3]{{\tan A.\tan B.\tan C}} = 3\sqrt[3]{{\tan A + \tan B + \tan C}}$
            $ \Rightarrow {\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)^2} \geqslant 27\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)$
    $ \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3 $
Đẳng thức xảy ra$ \Leftrightarrow A = B = C \Leftrightarrow \Delta ABC$đều.

Ví dụ 2 :
Cho $\Delta ABC$ nhọn. CMR: $\cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3 $
Lời giải:
Ta luôn có:
         $\begin{array}
  \cot \left( {A + B} \right) =  - \cot C  \\
   \Leftrightarrow \frac{{\cot A.\cot B - 1}}{{\cot A + \cot B}} =  - \cot C  \\
   \Leftrightarrow \cot A.\cot B + \cot B.\cot C + \cot C.\cot A = 1  \\
\end{array} $
Khi đó:
         ${\left( {\cot A - \cot B} \right)^2} + {\left( {\cot B - \cot C} \right)^2} + {\left( {\cot C - \cot A} \right)^2} \geqslant 0$
    $ \Leftrightarrow {\left( {\cot A + \cot B + \cot C} \right)^2} \geqslant 3\left( {\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A} \right) = 3$
    $ \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3 $
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ nhọn ta  có:
$\sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos C\cos A}}{{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}}}} \\
                           \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Ta có:  $\frac{{\cos A}}{{2\cos \frac{A}{2}}} = \sin \frac{A}{2}\cot \frac{A}{2}$
$ \Rightarrow \frac{{\frac{3}{4}\cos A\cos B}}{{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}} = \left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}} \right)\left( {\frac{3}{4}\cot A\cot B} \right)$
Theo Cauchy:
$\frac{{\frac{3}{4}\cos A\cos B}}{{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}} \leqslant {\left( {\frac{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \frac{3}{4}\cot A\cot B}}{2}} \right)^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \frac{3}{4}\cot A\cot B} \right)$
Tương tự ta có:
$\sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \frac{3}{4}\cot B\cot C} \right)$
$S = pr \Rightarrow \frac{8}{3}{\left( {\frac{S}{{2r}}} \right)^2} = \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{6}$
Cộng theo vế ta được:
$\sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos C\cos A}}{{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}}}} $
$ \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \\                          + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A} \right)$
$ = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$    $ \Rightarrow $ Đpcm.

2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
Với 2 bộ số ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ và ${b_1},{b_2},...,{b_n}$ ta luôn có:
             ${\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \leqslant \left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + ... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + ... + {b_n}^2} \right)$
Nhận xét:
-Nếu như với bất đẳng thức Cauchy, ta luôn phải nhớ điều kiện của các biến là phải không âm thì đối với bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có thể áp dụng cho các biến là số thực.
-Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacốpxki là 2 bất đẳng thức tỏ ra rất hiệu quả khi dùng để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Ta sẽ xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1:
CMR với mọi $a,b,\alpha $ ta có:
$\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$  
Lời giải:
Ta có: $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha  + \left( {a + b} \right)\sin \alpha \cos \alpha  + ab{\cos ^2}\alpha $
            $ = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} + \frac{{\left( {a + b} \right)}}{2}\sin 2\alpha  + ab\frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}$
            $ = \frac{1}{2}\left( {1 + ab + \left( {a + b} \right)\sin 2\alpha  + \left( {ab - 1} \right)\cos 2\alpha } \right)$    (1)
Theo Bunhiacốpxki ta có:
        $A\sin x + B\cos x \leqslant \sqrt {{A^2} + {B^2}} $       (2)
Áp dụng (2) ta có:
        $\left( {a + b} \right)\sin 2\alpha  + \left( {ab - 1} \right)\cos 2\alpha  \leqslant \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {ab - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} $       (3)
Thay (3) vào (1) ta được:
        $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant \frac{1}{2}\left( {1 + ab + \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} } \right)$     (4)
Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi a,b:
        $\frac{1}{2}\left( {1 + ab + \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$     (5)
Thật vậy:
         (5)$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} + \frac{{ab}}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant 1 + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4} + \frac{{ab}}{2}$
              $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant \frac{{{a^2} + {b^2} + 2}}{2}$
              $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant \frac{{\left( {{a^2} + 1} \right) + \left( {{b^2} + 1} \right)}}{2}$       (6)
Theo Cauchy thì (6) hiển nhiên đúng$ \Rightarrow $ (5) đúng với mọi a,b.
Từ (1) và (5) : với mọi $a,b,\alpha $ ta có: $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$
Đẳng thức xảy ra khi ở (1) và (6) dấu bằng đồng thời xảy ra
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {a^2} = {b^2}  \\
  \frac{{a + b}}{{\sin 2\alpha }} = \frac{{ab - 1}}{{\cos 2\alpha }}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \left| a \right| = \left| b \right|  \\
  \tan \alpha  = \frac{{a + b}}{{ab - 1}}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \left| a \right| = \left| b \right|  \\
  \alpha  = \frac{1}{2}\arctan \frac{{a + b}}{{ab - 1}} + k\frac{\pi }{2}  \\
\end{array}  \right.$ 

Ví dụ 2:
CMR với mọi $\Delta ABC$ ta có:
   $\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  \leqslant \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} $   
với x,y,z là khoảng cách từ điểm M bất kì nằm bên trong $\Delta ABC$ tới 3 cạnh AB, BC, CA của tam giác.
Lời giải:
Ta có:
         $\begin{array}
  {S_{ABC}} = {S_{MAB}} + {S_{MBC}} + {S_{MCA}}  \\
   \Leftrightarrow \frac{{{S_{MAB}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{MBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{MCA}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1  \\
   \Leftrightarrow \frac{z}{{{h_c}}} + \frac{y}{{{h_b}}} + \frac{x}{{{h_a}}} = 1  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow {h_a} + {h_b} + {h_c} = \left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right)\left( {\frac{z}{{{h_c}}} + \frac{y}{{{h_b}}} + \frac{x}{{{h_a}}}} \right)$
Theo Bunhiacốpxki thì:
$\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  = \sqrt {{h_a}} \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{h_a}} }} + \sqrt {{h_b}} \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {{h_b}} }} + \sqrt {{h_c}} \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt {{h_c}} }} \\
                               \leqslant \sqrt {\left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{h_a}} }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {{h_b}} }} + \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt {{h_c}} }}} \right)}  = \sqrt {{h_a} + {h_b} + {h_c}} $
mà $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}ab\sin C \Rightarrow {h_a} = b\sin C$, ${h_b} = c\sin A$, ${h_c} = a\sin B$
$ \Rightarrow \sqrt {{h_a} + {h_b} + {h_c}}  = \sqrt {\left( {a\sin B + b\sin C + c\sin A} \right)}  = \sqrt {\frac{{ab}}{{2R}} + \frac{{bc}}{{2R}} + \frac{{ca}}{{2R}}} $
$ \Rightarrow \sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  \leqslant \sqrt {\frac{{ab}}{{2R}} + \frac{{bc}}{{2R}} + \frac{{ca}}{{2R}}}  \leqslant \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}}  \Rightarrow $ Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}
  a = b = c  \\
  x = y = z  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \Delta ABC$đều và M là tâm đường tròn nội tiếp$\Delta ABC$.

3. Bất đẳng thức Jensen:
Cho $f:{R^ + } \to R$ thỏa mãn $f(x) + f(y) \geqslant 2f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)$  $\forall x,y \in {R^ + }$. Khi đó với mọi  ${x_1},{x_2},....,{x_n} \in {R^ + }$ ta có bất đẳng thức sau:
                          $f({x_1}) + f({x_2}) + ...... + f({x_n}) \geqslant nf\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}} \right)$

-Bất đẳng thức Jensen thật sự là một công cụ chuyên dùng cho chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Tuy không phải là một bất đẳng thức chặt nhưng nếu thấy có những dấu hiệu của BĐT Jensen, chúng ta nên dùng ngay.
 
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi$\Delta ABC$ ta có
                      $\sin A + \sin B + \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Xét $f(x) = \sin x$ với $x \in \left( {0,\pi } \right)$ $ \Rightarrow f(x)$ là hàm lồi. Theo Jensen ta có:
$f(A) + f(B) + f(C) \leqslant 3f\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$đều ta có:
           $\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \sqrt 3 $
Lời giải:
Xét $f(x) = \tan x$ với$x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$
$\begin{array}
(1) \Leftrightarrow {a^2}({a^2} - bc) + {b^2}({b^2} - ca) + {c^2}({c^2} - ab) \geqslant 0  \\
\Leftrightarrow \left[ {{a^2} + {{(b + c)}^2}} \right]{(b - c)^2} + \left[ {{b^2} + {{(c + a)}^2}} \right]{(c - a)^2} + \left[ {{c^2} + {{(a + b)}^2}} \right]{(a - b)^2} \geqslant 0  \\
\end{array} $ là hàm lồi. Theo Jensen ta có:
$f\left( {\frac{A}{2}} \right) + f\left( {\frac{B}{2}} \right) + f\left( {\frac{C}{2}} \right) \geqslant 3f\left( {\frac{{\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}}}{3}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{6} = \sqrt 3  \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ta có:
$\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} + \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \frac{3}{2} + \sqrt 3 $
Lời giải:
Xét $f(x) = \sin x + \tan x$ với $ \Rightarrow $là hàm lồi. Theo Jensen ta có:

$f\left( {\frac{A}{2}} \right) + f\left( {\frac{B}{2}} \right) + f\left( {\frac{C}{2}} \right) \geqslant 3f\left( {\frac{{\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}}}{3}} \right)$$ = 3\left( {\tan \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{3}{2} + \sqrt 3  \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

4. Bất đẳng thức Chebyshev:
Với 2 dãy số thực đơn điệu cùng chiều ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ và ${b_1},{b_2},...,{b_n}$  ta có:
             ${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \geqslant \frac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)$

Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
               $\frac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} \geqslant \frac{\pi }{3}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a \leqslant b \leqslant c \Leftrightarrow A \leqslant B \leqslant C$

Theo Chebyshev thì
$\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right) \leqslant \frac{{aA + bB + cC}}{3}$
$ \Rightarrow \frac{{aA + bB + cC}}{3} \geqslant \frac{{A + B + C}}{3} = \frac{\pi }{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
              $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\cos A + \cos B + \cos C} \leqslant \frac{\tan A\tan B\tan C}{3}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử$A \geqslant B \geqslant C$
               $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  \tan A \geqslant \tan B \geqslant \tan C  \\
  \cos A \leqslant \cos B \leqslant \cos C  \\
\end{array}  \right.$
Theo Chebyshev ta có:
$ \Leftrightarrow \frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} \leqslant \frac{{\tan A + \tan B + \tan C}}{3}$
Mà $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C$$ \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
$2\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) \geqslant \frac{3}{2}\frac{{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a \leqslant b \leqslant c$
                    $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  \sin A \leqslant \sin B \leqslant \sin C  \\
  \cos A \geqslant \cos B \geqslant \cos C  \\
\end{array}  \right.$
Theo Chebyshev ta có:
$\left( {\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{3}} \right)\left( {\frac{{\cos A + \cos B + \cos C}}{3}} \right) \geqslant \frac{{\sin A\cos A + \sin B\cos B + \sin C\cos C}}{3}$
$ \Leftrightarrow 2\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) \geqslant \frac{3}{2}\frac{{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} \Rightarrow $ Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

BÀI TẬP:
Bài 1.

CMR với mọi tam giác ABC ta có:
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Theo BĐT Cô-si  ta có:
$\frac{{\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
Mặt khác:
$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} = \frac{{c{\text{os}}\frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
$ = \frac{{\frac{1}{4}(\sin A + \sin B + \sin C)}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}{{2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
                 $ \geqslant \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
Suy ra:
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right)$
$ \geqslant \frac{9}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
$ = \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}}}$  (1)
Mà ta cũng có:
$\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} \geqslant 3\sqrt 3 $
$ \Rightarrow \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}}} \geqslant \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}(2)$
Từ (1),(2) :
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
$ \Rightarrow $ đpcm.

Bài 2.
Cho $\Delta ABC$ nhọn .CMR:
              $\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right)\left( {\operatorname{t} a{\text{nA}} + \tan B + \tan C} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
 Vì $\Delta ABC$ nhọn nên $\cos A,\cos B,\cos C,\operatorname{t} {\text{anA}},\tan B,\tan C$ đều dương.
Theo AM-GM ta có:
$\begin{array}
  \frac{{\cos A + \cos B + \cos C}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
  \operatorname{t} a{\text{nA}} + \tan B + \tan C = \operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C = \frac{{\sin A\sin B\sin C}}{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
\end{array} $
$ = \frac{{\frac{1}{4}(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}}{{\cos A\cos B\cos C}} = \frac{{\sin A\cos A + \sin B\cos b + \sin C\cos C}}{{2\cos A\cos B\cos C}}$
$ \geqslant \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin A\cos A\sin B\cos B\sin C\cos C}}}}{{2\cos A\cos B\cos C}}$
Suy ra:
$\begin{array}
  (\cos A + \cos B + \cos C)(\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C)  \\
   \geqslant \frac{9}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\cos A\cos B\cos C\sin A\cos A\sin B\cos B\sin C\cos C}}}}{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
   = \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C}}(1)  \\
\end{array} $
Mặt khác:
$\begin{array}
  \tan {\text{A}}\tan B\tan C \geqslant 3\sqrt 3   \\
   \Rightarrow \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C}} \geqslant \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}(2)  \\
\end{array} $
Từ (1),(2) suy ra:
$(\cos A + \cos B + \cos C)(\tan {\text{A}}\tan B\tan C) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$  $ \Rightarrow $ đpcm.

Bài 4.
Cho tam giác ABC bất kì .CMR:
$\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} \geqslant 4 - \frac{{2r}}{R}$
Lời giải:
Ta có S=$\frac{{abc}}{{4R}} = pr = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} $
$\begin{array}
   \Rightarrow \frac{{2r}}{R} = \frac{{8{S^2}}}{{pabc}} = \frac{{{a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + c{a^2} - {a^3} - {b^3} - {c^3} - 2abc}}{{abc}}  \\
   \Rightarrow 4 - \frac{{2r}}{R} = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} + 6 - (\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c}) \leqslant \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}}  \\
\end{array} $
Suy ra đpcm

Bài 5.
Cho tam tam giác ABC.CMR
$(\frac{a}{{\cos A}} + \frac{b}{{\cos B}} - c)(\frac{b}{{\cos b}} + \frac{c}{{\cos C}} - a)(\frac{c}{{\cos C}} + \frac{a}{{\cos A}} - b) \geqslant 27abc$
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\begin{array}
  (\frac{{\sin C}}{{\cos A\cos B}} - \sin C)(\frac{{\sin A}}{{\cos B\cos C}} - \sin A)(\frac{{\sin B}}{{\cos C\cos A}} - \sin B) \geqslant 27\sin A\sin B\sin C  \\
   \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}}.\frac{{1 - \cos B\cos C}}{{\cos B\cos C}}.\frac{{1 - \cos C\cos A}}{{\cos C\cos A}} \geqslant 27  \\
\end{array} $
Đặt x = tanA/2,y = tanB/2,z = tanC/2, khi đó ta có
$\cos A = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}},\cos B = \frac{{1 - {y^2}}}{{1 + {y^2}}},\cos C = \frac{{1 - {z^2}}}{{1 + {z^2}}}$
Và $\tan A = \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}},\tan B = \frac{{2y}}{{1 - {y^2}}},\tan C = \frac{{2z}}{{1 - {z^2}}}$
Khi đó :$\frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}} = \frac{{2({x^2} + {y^2})}}{{(1 - {x^2})(1 - {y^2})}}$ mặt khác :${x^2} + {y^2} \geqslant 2xy$ nên:
$\frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}} \geqslant \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}}.\frac{{2y}}{{1 - {y^2}}} = \tan A\tan B$    (1)
Tương tự ta có:
$\begin{array}
  \frac{{1 - \cos B\cos C}}{{\cos B\cos C}} \geqslant \tan B\tan C  \\
  \frac{{1 - \cos C\cos A}}{{\cos C\cos A}} \geqslant \tan C\tan A  \\
\end{array} $
Nhân vế theo vế (1) (2) và (3) ta được đpcm

hay quá!! ^_^ –  Confusion 09-04-16 01:03 PM
Chat chit và chém gió
  • Băng Băng: crying 8/25/2016 11:25:45 PM
  • Băng Băng: crying 8/25/2016 11:25:46 PM
  • Băng Băng: crying 8/25/2016 11:25:47 PM
  • Băng Băng: crying 8/25/2016 11:25:48 PM
  • Băng Băng: crying 8/25/2016 11:25:49 PM
  • Băng Băng: crying 8/25/2016 11:25:50 PM
  • Băng Băng: crying 8/25/2016 11:25:51 PM
  • Băng Băng: crying 8/25/2016 11:25:52 PM
  • Băng Băng: crying 8/25/2016 11:25:53 PM
  • gphong: crying 8/25/2016 11:26:08 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: hú Phong đệ 8/25/2016 11:26:50 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: Phương 8/25/2016 11:26:56 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: bà chưa ngủ ak 8/25/2016 11:27:00 PM
  • Băng Băng: chưa 8/25/2016 11:27:50 PM
  • Băng Băng: ko ngủ cx nên 8/25/2016 11:27:57 PM
  • Băng Băng: mà này 8/25/2016 11:28:00 PM
  • Băng Băng: hôm qua tui ngủ muộn quá nên sáng ko dậy đc 8/25/2016 11:28:17 PM
  • Băng Băng: muộn học bảo vệ ko cho vào 8/25/2016 11:28:35 PM
  • Băng Băng: tiết 2 ms mò mặt vô 8/25/2016 11:28:48 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: uầy 8/25/2016 11:28:52 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: kinh nhể 8/25/2016 11:28:55 PM
  • Băng Băng: 3 rưỡi ms ngủ 8/25/2016 11:29:10 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: laughing mất tiết có đấy 8/25/2016 11:29:10 PM
  • Băng Băng: về bị chửi toe tua 8/25/2016 11:29:21 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: khuya thế 8/25/2016 11:29:58 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: thê sh nay ngủ sớm đi 8/25/2016 11:30:08 PM
  • Băng Băng: ko muốn ngủ sao ngủ 8/25/2016 11:30:39 PM
  • Kaito kid: laughing 8/25/2016 11:31:09 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: thì cứ nằm nhắm mắt để đấy big_grin 8/25/2016 11:31:10 PM
  • Băng Băng: tìm đến rượu để giải quên nhưng nỗi buồn không thể nguôi ngoai hơn được mà cứ say rồi lại tỉnh. 8/25/2016 11:32:21 PM
  • Kaito kid: laughing 8/25/2016 11:32:47 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: straight_face 8/25/2016 11:33:00 PM
  • Băng Băng: cười j tk kia 8/25/2016 11:33:01 PM
  • Băng Băng: ngủ đi 8/25/2016 11:33:04 PM
  • Kaito kid: laughing 8/25/2016 11:33:40 PM
  • Kaito kid: tìm đến rượu để giải quên nhưng nỗi buồn không thể nguôi ngoai hơn được mà cứ say rồi lại tỉnh. 8/25/2016 11:33:52 PM
  • Băng Băng: copy đó 8/25/2016 11:34:44 PM
  • Băng Băng: đang soạn bài tự tình của hồ xuân hương 8/25/2016 11:34:58 PM
  • Băng Băng: rolling_on_the_floor 8/25/2016 11:35:03 PM
  • Kaito kid: laughing 8/25/2016 11:35:39 PM
  • Kaito kid: soạn cơ ak 8/25/2016 11:35:43 PM
  • Kaito kid: tui k soạn văn 8/25/2016 11:35:48 PM
  • Băng Băng: uk 8/25/2016 11:37:09 PM
  • Băng Băng: bắt soạn 8/25/2016 11:37:14 PM
  • Băng Băng: ko là cho đứng cửa lp 8/25/2016 11:37:22 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: tui soạn oi big_grin 8/25/2016 11:37:25 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: k soạn cũng die 8/25/2016 11:37:32 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: big_grin 8/25/2016 11:37:36 PM
  • Băng Băng: winking 8/25/2016 11:37:41 PM
  • Băng Băng: hoàng 8/25/2016 11:37:55 PM
  • Kaito kid: laughing 8/25/2016 11:38:05 PM
  • Kaito kid: tui k soạn 3 bài rồi 8/25/2016 11:38:12 PM
  • Kaito kid: kt bằng k 8/25/2016 11:38:17 PM
  • Băng Băng: cho em đi vs 8/25/2016 11:38:23 PM
  • Kaito kid: đi đâu 8/25/2016 11:38:31 PM
  • Kaito kid: laughing 8/25/2016 11:38:36 PM
  • Băng Băng: straight_face 8/25/2016 11:38:40 PM
  • Băng Băng: đẹch 8/25/2016 11:38:43 PM
  • Kaito kid: ns ms nhớ mai kt 1 tiết văn 8/25/2016 11:39:11 PM
  • Kaito kid: thinking 8/25/2016 11:39:16 PM
  • Băng Băng: ko qt 8/25/2016 11:39:20 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: laughing 8/25/2016 11:39:25 PM
  • Kaito kid: laughing 8/25/2016 11:39:27 PM
  • Băng Băng: văn thì ktra xin giấy rồi lm 8/25/2016 11:39:33 PM
  • Băng Băng: rolling_on_the_floor 8/25/2016 11:39:39 PM
  • nguyenngoctrangan.06.06: mọi người đi học rồi á feeling_beat_up 8/25/2016 11:39:41 PM
  • Băng Băng: uk 8/25/2016 11:39:49 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: laughing 8/25/2016 11:39:50 PM
  • Kaito kid: laughing 8/25/2016 11:40:09 PM
  • Kaito kid: lm s nhỉ 8/25/2016 11:40:18 PM
  • nguyenngoctrangan.06.06: tự dưng ở chỗ mình ungs 5/9 mới đi cơparty 8/25/2016 11:40:29 PM
  • Băng Băng: in tài liệu mai đến chép' 8/25/2016 11:40:36 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: thế sướng big_grin 8/25/2016 11:40:45 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: ms học kt cái j 8/25/2016 11:40:52 PM
  • Kaito kid: laughing 8/25/2016 11:41:04 PM
  • Kaito kid: bài viết số 1 8/25/2016 11:41:09 PM
  • Kaito kid: mà cn chưa mua sgk văn 8/25/2016 11:41:22 PM
  • Băng Băng: sao phải mua 8/25/2016 11:41:59 PM
  • Kaito kid: laughing 8/25/2016 11:42:07 PM
  • Kaito kid: chăm chỉ , mua để học 8/25/2016 11:42:16 PM
  • Băng Băng: tui đi hk mua mỗi sách toán lí hoá sinh anh 8/25/2016 11:42:19 PM
  • Kaito kid: laughing 8/25/2016 11:42:28 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: laughing 8/25/2016 11:42:40 PM
  • Kaito kid: yawn 8/25/2016 11:43:36 PM
  • Băng Băng: ngủ đây 8/25/2016 11:44:29 PM
  • Băng Băng: tạm bt mấy con chó 8/25/2016 11:44:36 PM
  • Băng Băng: wave 8/25/2016 11:44:41 PM
  • Kaito kid: pp la sát 8/25/2016 11:44:43 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: bà nói ai đó 8/25/2016 11:44:45 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: đấm cho h 8/25/2016 11:44:51 PM
  • Băng Băng: big_grin 8/25/2016 11:44:51 PM
  • Băng Băng: wave 8/25/2016 11:45:08 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: wave bà nhá 8/25/2016 11:45:16 PM
  • ๖ۣۜSnowღ: nn 8/25/2016 11:45:17 PM
  • Kaito kid: mơ ác mộng nhé 8/25/2016 11:45:47 PM
  • Kaito kid: laughing 8/25/2016 11:45:53 PM
  • Ruanyu Jian: big_grin 8/26/2016 12:14:22 AM
  • ❦Nắng❦: ngủ hết rồi 8/26/2016 12:30:05 AM
  • ❦Nắng❦: crying onl muộn nên chả có ai cả 8/26/2016 12:30:19 AM
  • ❦Nắng❦: sad buồn ghê cơ 8/26/2016 12:30:30 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ღ๖ۣۜKhờღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • ღ๖ۣۜLouisa'sღ๖ۣۜLãnh
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • NO NAME
  • nguyenhuuminh22
  • =.=
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • Hoàng Yến
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Táo Dễ thương
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ♥≧◉◡◉≦ ๖ۣۜTùng ๖ۣۜSầu ๑۩۞۩๑♥
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • ♎ ๖ۣۜPhạm ๖ۣۜLý ♎
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Vũ Phong
  • thanhhuyen218969
  • ﺸ♠♣Dương Yến Linh♥♦ﺸ
  • Time to move
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • ko tên ko tuổi
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Chụy Mưn Xưn Trai ^^
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Khoảng lặng
  • chinh923
  • phanthilanphuong2011
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hoài Thư
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • Sakura
  • caigihu123
  • FuYu
  • Tôi Tên "NHÁI"
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • kientrung9a
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • (⌚_⌚) ๖ۣۜTaø●ω●๖ۣۜKhinh (⌚_⌚)
  • milodatnguyen
  • Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Hoàng Yến
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Love killer
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • ๖ۣۜSnowღ
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • ۞♠ξ__Judal__ζ♣۞
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • Kemulator
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • amthambenem661
  • ♥♥ Quỳnh'x HOa'ss ♥♥
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • trungpro
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜEvilღ ๖ۣۜShadow
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜGlosbeღ
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • gphong
  • phng_pepsi
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo