SỬ DỤNG BĐT CỔ ĐIỂN ĐỂ CHỨNG MINH BĐT LƯỢNG GIÁC


Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về 4 bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng của chúng trong giải bất đẳng thức lượng giác. Các bất đẳng thức bao gồm:
1. Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
3. Bất đẳng thức Jensen
4. Bất đẳng thức Chebyshev

1. Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):
Với mọi số thực không âm ${a_1},{a_2},....,{a_n}$ ta luôn có:
              $\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \geqslant \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$

Ví dụ 1:
Cho A,B,C là 3 đỉnh của 1 tam giác nhọn. CMR:
            $\tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3 $
Lời giải:
Vì $\tan \left( {A + B} \right) =  - \tan C \Leftrightarrow \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A.\tan B}} =  - \tan C$
$ \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C = \tan A.\tan B.\tan C$
Tam giác ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC dương.
Theo Cauchy ta có:
            $\tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt[3]{{\tan A.\tan B.\tan C}} = 3\sqrt[3]{{\tan A + \tan B + \tan C}}$
            $ \Rightarrow {\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)^2} \geqslant 27\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)$
    $ \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3 $
Đẳng thức xảy ra$ \Leftrightarrow A = B = C \Leftrightarrow \Delta ABC$đều.

Ví dụ 2 :
Cho $\Delta ABC$ nhọn. CMR: $\cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3 $
Lời giải:
Ta luôn có:
         $\begin{array}
  \cot \left( {A + B} \right) =  - \cot C  \\
   \Leftrightarrow \frac{{\cot A.\cot B - 1}}{{\cot A + \cot B}} =  - \cot C  \\
   \Leftrightarrow \cot A.\cot B + \cot B.\cot C + \cot C.\cot A = 1  \\
\end{array} $
Khi đó:
         ${\left( {\cot A - \cot B} \right)^2} + {\left( {\cot B - \cot C} \right)^2} + {\left( {\cot C - \cot A} \right)^2} \geqslant 0$
    $ \Leftrightarrow {\left( {\cot A + \cot B + \cot C} \right)^2} \geqslant 3\left( {\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A} \right) = 3$
    $ \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3 $
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ nhọn ta  có:
$\sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos C\cos A}}{{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}}}} \\
                           \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Ta có:  $\frac{{\cos A}}{{2\cos \frac{A}{2}}} = \sin \frac{A}{2}\cot \frac{A}{2}$
$ \Rightarrow \frac{{\frac{3}{4}\cos A\cos B}}{{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}} = \left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}} \right)\left( {\frac{3}{4}\cot A\cot B} \right)$
Theo Cauchy:
$\frac{{\frac{3}{4}\cos A\cos B}}{{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}} \leqslant {\left( {\frac{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \frac{3}{4}\cot A\cot B}}{2}} \right)^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \frac{3}{4}\cot A\cot B} \right)$
Tương tự ta có:
$\sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \frac{3}{4}\cot B\cot C} \right)$
$S = pr \Rightarrow \frac{8}{3}{\left( {\frac{S}{{2r}}} \right)^2} = \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{6}$
Cộng theo vế ta được:
$\sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}  + \sqrt {\frac{{\cos C\cos A}}{{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}}}} $
$ \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \\                          + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A} \right)$
$ = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$    $ \Rightarrow $ Đpcm.

2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
Với 2 bộ số ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ và ${b_1},{b_2},...,{b_n}$ ta luôn có:
             ${\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \leqslant \left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + ... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + ... + {b_n}^2} \right)$
Nhận xét:
-Nếu như với bất đẳng thức Cauchy, ta luôn phải nhớ điều kiện của các biến là phải không âm thì đối với bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có thể áp dụng cho các biến là số thực.
-Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacốpxki là 2 bất đẳng thức tỏ ra rất hiệu quả khi dùng để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Ta sẽ xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1:
CMR với mọi $a,b,\alpha $ ta có:
$\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$  
Lời giải:
Ta có: $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha  + \left( {a + b} \right)\sin \alpha \cos \alpha  + ab{\cos ^2}\alpha $
            $ = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} + \frac{{\left( {a + b} \right)}}{2}\sin 2\alpha  + ab\frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}$
            $ = \frac{1}{2}\left( {1 + ab + \left( {a + b} \right)\sin 2\alpha  + \left( {ab - 1} \right)\cos 2\alpha } \right)$    (1)
Theo Bunhiacốpxki ta có:
        $A\sin x + B\cos x \leqslant \sqrt {{A^2} + {B^2}} $       (2)
Áp dụng (2) ta có:
        $\left( {a + b} \right)\sin 2\alpha  + \left( {ab - 1} \right)\cos 2\alpha  \leqslant \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {ab - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} $       (3)
Thay (3) vào (1) ta được:
        $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant \frac{1}{2}\left( {1 + ab + \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} } \right)$     (4)
Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi a,b:
        $\frac{1}{2}\left( {1 + ab + \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$     (5)
Thật vậy:
         (5)$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} + \frac{{ab}}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant 1 + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4} + \frac{{ab}}{2}$
              $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant \frac{{{a^2} + {b^2} + 2}}{2}$
              $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}  \leqslant \frac{{\left( {{a^2} + 1} \right) + \left( {{b^2} + 1} \right)}}{2}$       (6)
Theo Cauchy thì (6) hiển nhiên đúng$ \Rightarrow $ (5) đúng với mọi a,b.
Từ (1) và (5) : với mọi $a,b,\alpha $ ta có: $\left( {\sin \alpha  + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + b\cos \alpha } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$
Đẳng thức xảy ra khi ở (1) và (6) dấu bằng đồng thời xảy ra
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {a^2} = {b^2}  \\
  \frac{{a + b}}{{\sin 2\alpha }} = \frac{{ab - 1}}{{\cos 2\alpha }}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \left| a \right| = \left| b \right|  \\
  \tan \alpha  = \frac{{a + b}}{{ab - 1}}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \left| a \right| = \left| b \right|  \\
  \alpha  = \frac{1}{2}\arctan \frac{{a + b}}{{ab - 1}} + k\frac{\pi }{2}  \\
\end{array}  \right.$ 

Ví dụ 2:
CMR với mọi $\Delta ABC$ ta có:
   $\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  \leqslant \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} $   
với x,y,z là khoảng cách từ điểm M bất kì nằm bên trong $\Delta ABC$ tới 3 cạnh AB, BC, CA của tam giác.
Lời giải:
Ta có:
         $\begin{array}
  {S_{ABC}} = {S_{MAB}} + {S_{MBC}} + {S_{MCA}}  \\
   \Leftrightarrow \frac{{{S_{MAB}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{MBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{MCA}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1  \\
   \Leftrightarrow \frac{z}{{{h_c}}} + \frac{y}{{{h_b}}} + \frac{x}{{{h_a}}} = 1  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow {h_a} + {h_b} + {h_c} = \left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right)\left( {\frac{z}{{{h_c}}} + \frac{y}{{{h_b}}} + \frac{x}{{{h_a}}}} \right)$
Theo Bunhiacốpxki thì:
$\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  = \sqrt {{h_a}} \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{h_a}} }} + \sqrt {{h_b}} \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {{h_b}} }} + \sqrt {{h_c}} \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt {{h_c}} }} \\
                               \leqslant \sqrt {\left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{h_a}} }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {{h_b}} }} + \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt {{h_c}} }}} \right)}  = \sqrt {{h_a} + {h_b} + {h_c}} $
mà $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}ab\sin C \Rightarrow {h_a} = b\sin C$, ${h_b} = c\sin A$, ${h_c} = a\sin B$
$ \Rightarrow \sqrt {{h_a} + {h_b} + {h_c}}  = \sqrt {\left( {a\sin B + b\sin C + c\sin A} \right)}  = \sqrt {\frac{{ab}}{{2R}} + \frac{{bc}}{{2R}} + \frac{{ca}}{{2R}}} $
$ \Rightarrow \sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z  \leqslant \sqrt {\frac{{ab}}{{2R}} + \frac{{bc}}{{2R}} + \frac{{ca}}{{2R}}}  \leqslant \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}}  \Rightarrow $ Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}
  a = b = c  \\
  x = y = z  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \Delta ABC$đều và M là tâm đường tròn nội tiếp$\Delta ABC$.

3. Bất đẳng thức Jensen:
Cho $f:{R^ + } \to R$ thỏa mãn $f(x) + f(y) \geqslant 2f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)$  $\forall x,y \in {R^ + }$. Khi đó với mọi  ${x_1},{x_2},....,{x_n} \in {R^ + }$ ta có bất đẳng thức sau:
                          $f({x_1}) + f({x_2}) + ...... + f({x_n}) \geqslant nf\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}} \right)$

-Bất đẳng thức Jensen thật sự là một công cụ chuyên dùng cho chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Tuy không phải là một bất đẳng thức chặt nhưng nếu thấy có những dấu hiệu của BĐT Jensen, chúng ta nên dùng ngay.
 
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi$\Delta ABC$ ta có
                      $\sin A + \sin B + \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Xét $f(x) = \sin x$ với $x \in \left( {0,\pi } \right)$ $ \Rightarrow f(x)$ là hàm lồi. Theo Jensen ta có:
$f(A) + f(B) + f(C) \leqslant 3f\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$đều ta có:
           $\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \sqrt 3 $
Lời giải:
Xét $f(x) = \tan x$ với$x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$
$\begin{array}
(1) \Leftrightarrow {a^2}({a^2} - bc) + {b^2}({b^2} - ca) + {c^2}({c^2} - ab) \geqslant 0  \\
\Leftrightarrow \left[ {{a^2} + {{(b + c)}^2}} \right]{(b - c)^2} + \left[ {{b^2} + {{(c + a)}^2}} \right]{(c - a)^2} + \left[ {{c^2} + {{(a + b)}^2}} \right]{(a - b)^2} \geqslant 0  \\
\end{array} $ là hàm lồi. Theo Jensen ta có:
$f\left( {\frac{A}{2}} \right) + f\left( {\frac{B}{2}} \right) + f\left( {\frac{C}{2}} \right) \geqslant 3f\left( {\frac{{\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}}}{3}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{6} = \sqrt 3  \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ta có:
$\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} + \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \frac{3}{2} + \sqrt 3 $
Lời giải:
Xét $f(x) = \sin x + \tan x$ với $ \Rightarrow $là hàm lồi. Theo Jensen ta có:

$f\left( {\frac{A}{2}} \right) + f\left( {\frac{B}{2}} \right) + f\left( {\frac{C}{2}} \right) \geqslant 3f\left( {\frac{{\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}}}{3}} \right)$$ = 3\left( {\tan \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{3}{2} + \sqrt 3  \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

4. Bất đẳng thức Chebyshev:
Với 2 dãy số thực đơn điệu cùng chiều ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ và ${b_1},{b_2},...,{b_n}$  ta có:
             ${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \geqslant \frac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)$

Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
               $\frac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} \geqslant \frac{\pi }{3}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a \leqslant b \leqslant c \Leftrightarrow A \leqslant B \leqslant C$

Theo Chebyshev thì
$\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right) \leqslant \frac{{aA + bB + cC}}{3}$
$ \Rightarrow \frac{{aA + bB + cC}}{3} \geqslant \frac{{A + B + C}}{3} = \frac{\pi }{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
              $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\cos A + \cos B + \cos C} \leqslant \frac{\tan A\tan B\tan C}{3}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử$A \geqslant B \geqslant C$
               $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  \tan A \geqslant \tan B \geqslant \tan C  \\
  \cos A \leqslant \cos B \leqslant \cos C  \\
\end{array}  \right.$
Theo Chebyshev ta có:
$ \Leftrightarrow \frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} \leqslant \frac{{\tan A + \tan B + \tan C}}{3}$
Mà $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C$$ \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
$2\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) \geqslant \frac{3}{2}\frac{{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a \leqslant b \leqslant c$
                    $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  \sin A \leqslant \sin B \leqslant \sin C  \\
  \cos A \geqslant \cos B \geqslant \cos C  \\
\end{array}  \right.$
Theo Chebyshev ta có:
$\left( {\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{3}} \right)\left( {\frac{{\cos A + \cos B + \cos C}}{3}} \right) \geqslant \frac{{\sin A\cos A + \sin B\cos B + \sin C\cos C}}{3}$
$ \Leftrightarrow 2\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) \geqslant \frac{3}{2}\frac{{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} \Rightarrow $ Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.

BÀI TẬP:
Bài 1.

CMR với mọi tam giác ABC ta có:
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Theo BĐT Cô-si  ta có:
$\frac{{\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
Mặt khác:
$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} = \frac{{c{\text{os}}\frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
$ = \frac{{\frac{1}{4}(\sin A + \sin B + \sin C)}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}{{2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
                 $ \geqslant \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
Suy ra:
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right)$
$ \geqslant \frac{9}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
$ = \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}}}$  (1)
Mà ta cũng có:
$\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} \geqslant 3\sqrt 3 $
$ \Rightarrow \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}}} \geqslant \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}(2)$
Từ (1),(2) :
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
$ \Rightarrow $ đpcm.

Bài 2.
Cho $\Delta ABC$ nhọn .CMR:
              $\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right)\left( {\operatorname{t} a{\text{nA}} + \tan B + \tan C} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
 Vì $\Delta ABC$ nhọn nên $\cos A,\cos B,\cos C,\operatorname{t} {\text{anA}},\tan B,\tan C$ đều dương.
Theo AM-GM ta có:
$\begin{array}
  \frac{{\cos A + \cos B + \cos C}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
  \operatorname{t} a{\text{nA}} + \tan B + \tan C = \operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C = \frac{{\sin A\sin B\sin C}}{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
\end{array} $
$ = \frac{{\frac{1}{4}(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}}{{\cos A\cos B\cos C}} = \frac{{\sin A\cos A + \sin B\cos b + \sin C\cos C}}{{2\cos A\cos B\cos C}}$
$ \geqslant \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin A\cos A\sin B\cos B\sin C\cos C}}}}{{2\cos A\cos B\cos C}}$
Suy ra:
$\begin{array}
  (\cos A + \cos B + \cos C)(\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C)  \\
   \geqslant \frac{9}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\cos A\cos B\cos C\sin A\cos A\sin B\cos B\sin C\cos C}}}}{{\cos A\cos B\cos C}}  \\
   = \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C}}(1)  \\
\end{array} $
Mặt khác:
$\begin{array}
  \tan {\text{A}}\tan B\tan C \geqslant 3\sqrt 3   \\
   \Rightarrow \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan C}} \geqslant \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}(2)  \\
\end{array} $
Từ (1),(2) suy ra:
$(\cos A + \cos B + \cos C)(\tan {\text{A}}\tan B\tan C) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$  $ \Rightarrow $ đpcm.

Bài 4.
Cho tam giác ABC bất kì .CMR:
$\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} \geqslant 4 - \frac{{2r}}{R}$
Lời giải:
Ta có S=$\frac{{abc}}{{4R}} = pr = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} $
$\begin{array}
   \Rightarrow \frac{{2r}}{R} = \frac{{8{S^2}}}{{pabc}} = \frac{{{a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + c{a^2} - {a^3} - {b^3} - {c^3} - 2abc}}{{abc}}  \\
   \Rightarrow 4 - \frac{{2r}}{R} = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} + 6 - (\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c}) \leqslant \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}}  \\
\end{array} $
Suy ra đpcm

Bài 5.
Cho tam tam giác ABC.CMR
$(\frac{a}{{\cos A}} + \frac{b}{{\cos B}} - c)(\frac{b}{{\cos b}} + \frac{c}{{\cos C}} - a)(\frac{c}{{\cos C}} + \frac{a}{{\cos A}} - b) \geqslant 27abc$
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\begin{array}
  (\frac{{\sin C}}{{\cos A\cos B}} - \sin C)(\frac{{\sin A}}{{\cos B\cos C}} - \sin A)(\frac{{\sin B}}{{\cos C\cos A}} - \sin B) \geqslant 27\sin A\sin B\sin C  \\
   \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}}.\frac{{1 - \cos B\cos C}}{{\cos B\cos C}}.\frac{{1 - \cos C\cos A}}{{\cos C\cos A}} \geqslant 27  \\
\end{array} $
Đặt x = tanA/2,y = tanB/2,z = tanC/2, khi đó ta có
$\cos A = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}},\cos B = \frac{{1 - {y^2}}}{{1 + {y^2}}},\cos C = \frac{{1 - {z^2}}}{{1 + {z^2}}}$
Và $\tan A = \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}},\tan B = \frac{{2y}}{{1 - {y^2}}},\tan C = \frac{{2z}}{{1 - {z^2}}}$
Khi đó :$\frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}} = \frac{{2({x^2} + {y^2})}}{{(1 - {x^2})(1 - {y^2})}}$ mặt khác :${x^2} + {y^2} \geqslant 2xy$ nên:
$\frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}} \geqslant \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}}.\frac{{2y}}{{1 - {y^2}}} = \tan A\tan B$    (1)
Tương tự ta có:
$\begin{array}
  \frac{{1 - \cos B\cos C}}{{\cos B\cos C}} \geqslant \tan B\tan C  \\
  \frac{{1 - \cos C\cos A}}{{\cos C\cos A}} \geqslant \tan C\tan A  \\
\end{array} $
Nhân vế theo vế (1) (2) và (3) ta được đpcm

Chat chit và chém gió
  • longthptngoquyenvmf: thánh trình bày cách vô nghiệm tôi xem nào 7/30/2015 4:29:13 PM
  • =.=: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%9A%284x%5E2-x%2B10%29%2B2x%3D3%282x%5E2-x%5E3%29%5E1%2F3%2B%E2%88%9A%289x%5E2-4x-4%29 7/30/2015 4:30:11 PM
  • =.=: vô đó mà xem 7/30/2015 4:30:17 PM
  • =.=: nghiệm thực 7/30/2015 4:30:22 PM
  • longthptngoquyenvmf: ờm 7/30/2015 4:31:09 PM
  • longthptngoquyenvmf: bảo có mà 7/30/2015 4:31:13 PM
  • =.=: đâu 7/30/2015 4:31:23 PM
  • =.=: vô nghệm mà 7/30/2015 4:31:28 PM
  • =.=: vô trang đó mà xem đi :3 7/30/2015 4:31:35 PM
  • longthptngoquyenvmf: có 2 nghiệm 7/30/2015 4:31:38 PM
  • longthptngoquyenvmf: thật đấy 7/30/2015 4:31:51 PM
  • =.=: nói 7/30/2015 4:32:00 PM
  • longthptngoquyenvmf: tớ bấm máy tính lại rồi mà 7/30/2015 4:32:04 PM
  • =.=: nghiệm bao nhiêu nào 7/30/2015 4:32:05 PM
  • =.=: máy tính = cái trang này ak 7/30/2015 4:32:14 PM
  • longthptngoquyenvmf: lấy máy tính ra 7/30/2015 4:32:15 PM
  • =.=: laughing 7/30/2015 4:32:17 PM
  • =.=: máy tính gì đó 7/30/2015 4:32:25 PM
  • =.=: vnpus 7/30/2015 4:32:27 PM
  • longthptngoquyenvmf: fx 570 é 7/30/2015 4:33:21 PM
  • longthptngoquyenvmf: es 7/30/2015 4:33:26 PM
  • =.=: đù 7/30/2015 4:33:38 PM
  • =.=: có nghiệm thật 7/30/2015 4:33:43 PM
  • =.=: sao vậy nhỉ?? 7/30/2015 4:33:47 PM
  • =.=: laughing 7/30/2015 4:34:58 PM
  • =.=: lúc nãy ghi đề bị nhầm 7/30/2015 4:35:07 PM
  • =.=: dấu + thành - 7/30/2015 4:35:11 PM
  • =.=: ơ đâu rồi 7/30/2015 4:36:07 PM
  • =.=: mà có tận 3 nghiệm luôn 7/30/2015 4:36:28 PM
  • longthptngoquyenvmf: này 7/30/2015 4:39:26 PM
  • =.=: triệu hồi sam 7/30/2015 4:40:17 PM
  • =.=: ê long 7/30/2015 4:40:24 PM
  • longthptngoquyenvmf: sao 7/30/2015 4:40:26 PM
  • longthptngoquyenvmf: mày ra đáp án chưa 7/30/2015 4:40:39 PM
  • =.=: làm ra chưa 7/30/2015 4:40:41 PM
  • =.=: chư crying 7/30/2015 4:40:45 PM
  • =.=: chưa crying 7/30/2015 4:40:48 PM
  • longthptngoquyenvmf: có nghiệm nào nguyên ko 7/30/2015 4:40:54 PM
  • =.=: ko 7/30/2015 4:40:58 PM
  • longthptngoquyenvmf: tao nghi bài này sai lắm 7/30/2015 4:41:03 PM
  • longthptngoquyenvmf: có nghiệm hữu tỉ ko 7/30/2015 4:41:10 PM
  • =.=: ko 7/30/2015 4:41:23 PM
  • =.=: nghiệm vô tỷ 7/30/2015 4:41:27 PM
  • longthptngoquyenvmf: toàn nghiệm vô tỉ ak 7/30/2015 4:41:35 PM
  • =.=: 3 ngiệm vô tye hết 7/30/2015 4:41:48 PM
  • longthptngoquyenvmf: thế chắc chắn phải có một cái phương trình bậc ba trở lên rồi 7/30/2015 4:42:25 PM
  • longthptngoquyenvmf: hay chị ấy viết sai đề thì hông đc đâu 7/30/2015 4:43:17 PM
  • =.=: ko 7/30/2015 4:43:31 PM
  • =.=: đề đúng đó 7/30/2015 4:43:35 PM
  • lamanha1.2000: cho e hỏi có ai 9 lên 10 ko ? 7/30/2015 4:44:09 PM
  • =.=:7/30/2015 4:45:44 PM
  • =.=: big_grin 7/30/2015 4:45:46 PM
  • longthptngoquyenvmf: thế ông tính làm ntn 7/30/2015 4:46:23 PM
  • longthptngoquyenvmf: có khi mn hok chưa đủ công cụ 7/30/2015 4:46:33 PM
  • =.=: bài này chắc sử dụng hàm số 7/30/2015 4:46:52 PM
  • longthptngoquyenvmf: cái nayf lp 9 tôi hok nhìu lắm đấy nhưng kiểu kiểu thế này thì chắc là ngoài phạm vi bao nhiêu thứ tôi đã hok rồi 7/30/2015 4:47:28 PM
  • longthptngoquyenvmf: í cậu là tính đơn điệu ak 7/30/2015 4:47:40 PM
  • longthptngoquyenvmf: ko đc đâu 7/30/2015 4:47:48 PM
  • longthptngoquyenvmf: nó ko tự nhiên 7/30/2015 4:47:57 PM
  • =.=: chịu 7/30/2015 4:48:35 PM
  • longthptngoquyenvmf: có khi lp 9 mới lên lp 10 mn chưa đủ công cụ cậu ak 7/30/2015 4:50:30 PM
  • longthptngoquyenvmf: à mà cậu ở đâu 7/30/2015 4:50:39 PM
  • Ruanyu Jian: .🌝 7/30/2015 4:55:28 PM
  • Ruanyu Jian: 🚡🚞🚝🚝🚕🚕🚗🚙🚡🚢🛄🚟🚜🚜🚡🚢🚣🚛🚛⛵⛵🚲🛄🛃🛂✈🚜🚝🚗🚙🚚🚚 7/30/2015 4:56:03 PM
  • mikunnareda: hi~ 7/30/2015 4:56:13 PM
  • Ruanyu Jian: 2 7/30/2015 4:56:21 PM
  • Ruanyu Jian: chao e 7/30/2015 4:56:27 PM
  • mikunnareda: ai học 11 k nh? 7/30/2015 4:56:34 PM
  • Ruanyu Jian: co nhieu r 7/30/2015 4:56:47 PM
  • Ruanyu Jian: co mhieu e 7/30/2015 4:56:55 PM
  • mikunnareda: oh~ 7/30/2015 4:56:59 PM
  • Ruanyu Jian: nhung h thi chua on 7/30/2015 4:57:12 PM
  • mikunnareda: ai giúp e cách làm toán tổ hợp, chỉnh hợp dc k ._. 7/30/2015 4:57:26 PM
  • Ruanyu Jian: e lop 11 ak 7/30/2015 4:57:30 PM
  • mikunnareda: mai kt mà ko biết 7/30/2015 4:57:35 PM
  • mikunnareda: vâng~ 7/30/2015 4:57:37 PM
  • Ruanyu Jian: ukm, toi e len nhieu nguoi hon 7/30/2015 4:58:14 PM
  • mikunnareda: big_grin 7/30/2015 4:58:18 PM
  • mikunnareda: Jian lớp mấy thế~ 7/30/2015 4:58:50 PM
  • Ruanyu Jian: e la boy hay girl 7/30/2015 4:58:56 PM
  • Ruanyu Jian: anh lop 13 7/30/2015 4:59:04 PM
  • =.=: triệu hồi sam 7/30/2015 4:59:30 PM
  • =.=: Sam Tats 7/30/2015 4:59:42 PM
  • longthptngoquyenvmf: sam đang onl 7/30/2015 4:59:54 PM
  • mikunnareda: oh 7/30/2015 5:00:04 PM
  • Sam Tats: có! 7/30/2015 5:00:06 PM
  • mikunnareda: trường nào v a? 7/30/2015 5:00:11 PM
  • longthptngoquyenvmf: kq thì có nhuwg pp mới là cái khó 7/30/2015 5:00:12 PM
  • =.=: thế thì ns làm gì @@ 7/30/2015 5:01:03 PM
  • Ruanyu Jian: truong nay noi tieng lam, e k pit dk dau 7/30/2015 5:01:05 PM
  • =.=: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/130311/moi-moi-nguoi-lam-bai-toan-nay-gia-tri-10000-vo-so-nha-thach-ai-lam-duoc-day-ha-ha 7/30/2015 5:01:24 PM
  • =.=: sam ơi 7/30/2015 5:01:42 PM
  • longthptngoquyenvmf: ukm 7/30/2015 5:01:51 PM
  • =.=: cái câu pt đề đúng ko đó 7/30/2015 5:01:54 PM
  • Ruanyu Jian: 1 bai de vay ma cung di thach 7/30/2015 5:02:03 PM
  • Sam Tats: đúng mà 7/30/2015 5:02:28 PM
  • =.=: crying 7/30/2015 5:02:40 PM
  • longthptngoquyenvmf: này 7/30/2015 5:03:38 PM
  • longthptngoquyenvmf: câu bđt ko cm đc cánh khác sao 7/30/2015 5:03:50 PM
  • longthptngoquyenvmf: ý tớ là tách ghép một cách thông minh í 7/30/2015 5:04:06 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ღKhờღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • Ruanyu Jian
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ***
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • ★.★.★.★.★.★.★
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Bí ẩn
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • =.=
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Magic
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Lăng Lăng của anh
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღLê Việt Tùngღ(vuacfhatinh)
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • impossitable111
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • giolangthang
  • Phùng Xuân Minh
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Kim Chi
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • nguyenngaa14
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • vongquayvocuc217
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Thỏ Kitty
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • anhvt93
  • Hunter Destroy
  • navybui22
  • longthptngoquyenvmf
  • lamanha1.2000
  • mikunnareda