SỬ
DỤNG BĐT CỔ ĐIỂN ĐỂ CHỨNG MINH BĐT LƯỢNG GIÁC
Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về 4 bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng của
chúng trong giải bất đẳng thức lượng giác. Các bất đẳng thức bao gồm:
1. Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
2. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
3. Bất đẳng thức Jensen
4. Bất đẳng thức Chebyshev
1. Bất đẳng thức
Cauchy (AM – GM):
Với mọi số thực không âm ${a_1},{a_2},....,{a_n}$ ta luôn có:
$\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \geqslant
\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$
Ví dụ 1:
Cho A,B,C là 3 đỉnh của 1 tam giác nhọn. CMR:
$\tan A +
\tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3 $
Lời giải:
Vì $\tan \left( {A + B} \right) = - \tan C \Leftrightarrow \frac{{\tan A
+ \tan B}}{{1 - \tan A.\tan B}} = - \tan C$
$ \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C = \tan A.\tan B.\tan C$
Tam giác ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC dương.
Theo Cauchy ta có:
$\tan A +
\tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt[3]{{\tan A.\tan B.\tan C}} = 3\sqrt[3]{{\tan A
+ \tan B + \tan C}}$
$
\Rightarrow {\left( {\tan A + \tan B + \tan C} \right)^2} \geqslant 27\left(
{\tan A + \tan B + \tan C} \right)$
$ \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3 $
Đẳng thức xảy ra$ \Leftrightarrow A = B = C \Leftrightarrow \Delta ABC$đều.
Ví dụ 2 :
Cho $\Delta ABC$ nhọn. CMR: $\cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3 $
Lời giải:
Ta luôn có:
$\begin{array}
\cot \left( {A + B} \right) = - \cot C \\
\Leftrightarrow \frac{{\cot A.\cot B - 1}}{{\cot A + \cot B}}
= - \cot C \\
\Leftrightarrow \cot A.\cot B + \cot B.\cot C + \cot C.\cot A =
1 \\
\end{array} $
Khi đó:
${\left( {\cot A - \cot B}
\right)^2} + {\left( {\cot B - \cot C} \right)^2} + {\left( {\cot C - \cot A}
\right)^2} \geqslant 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {\cot A + \cot B + \cot C}
\right)^2} \geqslant 3\left( {\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A}
\right) = 3$
$ \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3 $
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ nhọn ta có:
$\sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}} +
\sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}} + \sqrt
{\frac{{\cos C\cos A}}{{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}}}} \\
\leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin
\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) +
\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Ta có: $\frac{{\cos A}}{{2\cos \frac{A}{2}}} = \sin \frac{A}{2}\cot
\frac{A}{2}$
$ \Rightarrow \frac{{\frac{3}{4}\cos A\cos B}}{{4\cos \frac{A}{2}\cos
\frac{B}{2}}} = \left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}} \right)\left(
{\frac{3}{4}\cot A\cot B} \right)$
Theo Cauchy:
$\frac{{\frac{3}{4}\cos A\cos B}}{{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}
\leqslant {\left( {\frac{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \frac{3}{4}\cot
A\cot B}}{2}} \right)^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos
\frac{B}{2}}}} \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin
\frac{B}{2} + \frac{3}{4}\cot A\cot B} \right)$
Tương tự ta có:
$\sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}}
\leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} +
\frac{3}{4}\cot B\cot C} \right)$
$S = pr \Rightarrow \frac{8}{3}{\left( {\frac{S}{{2r}}} \right)^2} =
\frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{6}$
Cộng theo vế ta được:
$\sqrt {\frac{{\cos A\cos B}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}} +
\sqrt {\frac{{\cos B\cos C}}{{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}} + \sqrt
{\frac{{\cos C\cos A}}{{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}}}} $
$ \leqslant \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin
\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}
\\
+ \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\cot
A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A} \right)$
$ = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} + \sin
\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) +
\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $ \Rightarrow $ Đpcm.
2. Bất đẳng thức
Bunhiacốpxki:
Với 2 bộ số ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ và ${b_1},{b_2},...,{b_n}$ ta luôn có:
${\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \leqslant
\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + ... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 +
... + {b_n}^2} \right)$
Nhận xét:
-Nếu như với bất đẳng thức Cauchy, ta luôn phải nhớ điều kiện của các biến là
phải không âm thì đối với bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có thể áp dụng cho các
biến là số thực.
-Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacốpxki là 2 bất đẳng thức tỏ ra rất hiệu quả khi
dùng để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. Ta sẽ xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1:
CMR với mọi $a,b,\alpha $ ta có:
$\left( {\sin \alpha + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha +
b\cos \alpha } \right) \leqslant 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$
Lời giải:
Ta có: $\left( {\sin \alpha + a\cos \alpha } \right)\left( {\sin
\alpha + b\cos \alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha + \left( {a + b}
\right)\sin \alpha \cos \alpha + ab{\cos ^2}\alpha $
$ = \frac{{1
- \cos 2\alpha }}{2} + \frac{{\left( {a + b} \right)}}{2}\sin 2\alpha +
ab\frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}$
$ =
\frac{1}{2}\left( {1 + ab + \left( {a + b} \right)\sin 2\alpha + \left(
{ab - 1} \right)\cos 2\alpha } \right)$ (1)
Theo Bunhiacốpxki ta có:
$A\sin x + B\cos x \leqslant \sqrt
{{A^2} + {B^2}} $ (2)
Áp dụng (2) ta có:
$\left( {a + b} \right)\sin
2\alpha + \left( {ab - 1} \right)\cos 2\alpha \leqslant \sqrt
{{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {ab - 1} \right)}^2}} = \sqrt {\left(
{{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}
$ (3)
Thay (3) vào (1) ta được:
$\left( {\sin \alpha + a\cos
\alpha } \right)\left( {\sin \alpha + b\cos \alpha } \right) \leqslant
\frac{1}{2}\left( {1 + ab + \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1}
\right)} } \right)$ (4)
Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi a,b:
$\frac{1}{2}\left( {1 + ab + \sqrt
{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)} } \right) \leqslant 1 +
{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$ (5)
Thật vậy:
(5)$ \Leftrightarrow
\frac{1}{2} + \frac{{ab}}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\left( {{a^2} + 1}
\right)\left( {{b^2} + 1} \right)} \leqslant 1 + \frac{{{a^2} +
{b^2}}}{4} + \frac{{ab}}{2}$
$ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1}
\right)} \leqslant \frac{{{a^2} + {b^2} + 2}}{2}$
$ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1}
\right)} \leqslant \frac{{\left( {{a^2} + 1} \right) + \left( {{b^2} + 1}
\right)}}{2}$ (6)
Theo Cauchy thì (6) hiển nhiên đúng$ \Rightarrow $ (5) đúng với mọi a,b.
Từ (1) và (5) : với mọi $a,b,\alpha $ ta có: $\left( {\sin \alpha + a\cos
\alpha } \right)\left( {\sin \alpha + b\cos \alpha } \right) \leqslant 1
+ {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$
Đẳng thức xảy ra khi ở (1) và (6) dấu bằng đồng thời xảy ra
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{a^2} = {b^2} \\
\frac{{a + b}}{{\sin 2\alpha }} = \frac{{ab - 1}}{{\cos 2\alpha }}
\\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
\left| a \right| = \left| b \right| \\
\tan \alpha = \frac{{a + b}}{{ab - 1}} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
\left| a \right| = \left| b \right| \\
\alpha = \frac{1}{2}\arctan \frac{{a + b}}{{ab - 1}} + k\frac{\pi
}{2} \\
\end{array} \right.$
Ví dụ 2:
CMR với mọi $\Delta ABC$ ta có:
$\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \leqslant \sqrt
{\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} $
với x,y,z là khoảng cách từ điểm M bất kì nằm bên trong $\Delta ABC$ tới 3 cạnh
AB, BC, CA của tam giác.
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}
{S_{ABC}} = {S_{MAB}} + {S_{MBC}} + {S_{MCA}} \\
\Leftrightarrow \frac{{{S_{MAB}}}}{{{S_{ABC}}}} +
\frac{{{S_{MBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{MCA}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1 \\
\Leftrightarrow \frac{z}{{{h_c}}} + \frac{y}{{{h_b}}} +
\frac{x}{{{h_a}}} = 1 \\
\end{array} $
$ \Rightarrow {h_a} + {h_b} + {h_c} = \left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}}
\right)\left( {\frac{z}{{{h_c}}} + \frac{y}{{{h_b}}} + \frac{x}{{{h_a}}}}
\right)$
Theo Bunhiacốpxki thì:
$\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = \sqrt {{h_a}} \frac{{\sqrt x
}}{{\sqrt {{h_a}} }} + \sqrt {{h_b}} \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {{h_b}} }} +
\sqrt {{h_c}} \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt {{h_c}} }} \\
\leqslant \sqrt {\left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x
}}{{\sqrt {{h_a}} }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {{h_b}} }} + \frac{{\sqrt z
}}{{\sqrt {{h_c}} }}} \right)} = \sqrt {{h_a} + {h_b} + {h_c}} $
mà $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}ab\sin C \Rightarrow {h_a} = b\sin C$,
${h_b} = c\sin A$, ${h_c} = a\sin B$
$ \Rightarrow \sqrt {{h_a} + {h_b} + {h_c}} = \sqrt {\left( {a\sin B +
b\sin C + c\sin A} \right)} = \sqrt {\frac{{ab}}{{2R}} +
\frac{{bc}}{{2R}} + \frac{{ca}}{{2R}}} $
$ \Rightarrow \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \leqslant \sqrt
{\frac{{ab}}{{2R}} + \frac{{bc}}{{2R}} + \frac{{ca}}{{2R}}} \leqslant
\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} \Rightarrow $ Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}
a = b = c \\
x = y = z \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \Delta ABC$đều và M là tâm đường tròn
nội tiếp$\Delta ABC$.
3. Bất đẳng thức
Jensen:
Cho $f:{R^ + } \to R$ thỏa mãn $f(x) + f(y) \geqslant 2f\left( {\frac{{x +
y}}{2}} \right)$ $\forall x,y \in {R^ + }$. Khi đó với mọi
${x_1},{x_2},....,{x_n} \in {R^ + }$ ta có bất đẳng thức sau:
$f({x_1}) + f({x_2}) + ...... + f({x_n}) \geqslant nf\left( {\frac{{{x_1} +
{x_2} + ... + {x_n}}}{n}} \right)$
-Bất đẳng thức Jensen thật sự là một công cụ chuyên dùng cho chứng minh các bất
đẳng thức lượng giác. Tuy không phải là một bất đẳng thức chặt nhưng nếu thấy
có những dấu hiệu của BĐT Jensen, chúng ta nên dùng ngay.
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi$\Delta ABC$ ta có
$\sin A + \sin B + \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Xét $f(x) = \sin x$ với $x \in \left( {0,\pi } \right)$ $ \Rightarrow f(x)$ là
hàm lồi. Theo Jensen ta có:
$f(A) + f(B) + f(C) \leqslant 3f\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right) = 3\sin
\frac{\pi }{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$đều ta có:
$\tan \frac{A}{2}
+ \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \sqrt 3 $
Lời giải:
Xét $f(x) = \tan x$ với$x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$
$\begin{array}
(1) \Leftrightarrow {a^2}({a^2} - bc) + {b^2}({b^2} - ca) + {c^2}({c^2} - ab)
\geqslant 0 \\
\Leftrightarrow \left[ {{a^2} + {{(b + c)}^2}} \right]{(b - c)^2} + \left[
{{b^2} + {{(c + a)}^2}} \right]{(c - a)^2} + \left[ {{c^2} + {{(a + b)}^2}}
\right]{(a - b)^2} \geqslant 0 \\
\end{array} $ là hàm lồi. Theo Jensen ta có:
$f\left( {\frac{A}{2}} \right) + f\left( {\frac{B}{2}} \right) + f\left(
{\frac{C}{2}} \right) \geqslant 3f\left( {\frac{{\frac{A}{2} + \frac{B}{2} +
\frac{C}{2}}}{3}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 \Rightarrow
$Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ta có:
$\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} + \tan \frac{A}{2} +
\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \frac{3}{2} + \sqrt 3 $
Lời giải:
Xét $f(x) = \sin x + \tan x$ với $ \Rightarrow $là hàm lồi. Theo Jensen ta có:
$f\left( {\frac{A}{2}} \right) + f\left( {\frac{B}{2}} \right) + f\left(
{\frac{C}{2}} \right) \geqslant 3f\left( {\frac{{\frac{A}{2} + \frac{B}{2} +
\frac{C}{2}}}{3}} \right)$$ = 3\left( {\tan \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi
}{6}} \right) = \frac{3}{2} + \sqrt 3 \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.
4. Bất đẳng thức
Chebyshev:
Với 2 dãy số thực đơn điệu cùng chiều ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ và
${b_1},{b_2},...,{b_n}$ ta có:
${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \geqslant \frac{1}{n}\left( {{a_1}
+ {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)$
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
$\frac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} \geqslant \frac{\pi }{3}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a \leqslant b \leqslant c \Leftrightarrow A
\leqslant B \leqslant C$
Theo Chebyshev thì
$\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)\left( {\frac{{A + B + C}}{3}} \right)
\leqslant \frac{{aA + bB + cC}}{3}$
$ \Rightarrow \frac{{aA + bB + cC}}{3} \geqslant \frac{{A + B + C}}{3} =
\frac{\pi }{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$đều.
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
$\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\cos A + \cos B + \cos C} \leqslant \frac{\tan
A\tan B\tan C}{3}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử$A \geqslant B \geqslant C$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
\tan A \geqslant \tan B \geqslant \tan C \\
\cos A \leqslant \cos B \leqslant \cos C \\
\end{array} \right.$
Theo Chebyshev ta có:
$ \Leftrightarrow \frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}}
\leqslant \frac{{\tan A + \tan B + \tan C}}{3}$
Mà $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C$$ \Rightarrow $Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi $\Delta ABC$ ta có
$2\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) \geqslant \frac{3}{2}\frac{{\sin 2A
+ \sin 2B + \sin 2C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}}$
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a \leqslant b \leqslant c$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
\sin A \leqslant \sin B \leqslant \sin C \\
\cos A \geqslant \cos B \geqslant \cos C \\
\end{array} \right.$
Theo Chebyshev ta có:
$\left( {\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{3}} \right)\left( {\frac{{\cos A +
\cos B + \cos C}}{3}} \right) \geqslant \frac{{\sin A\cos A + \sin B\cos B +
\sin C\cos C}}{3}$
$ \Leftrightarrow 2\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) \geqslant
\frac{3}{2}\frac{{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}}
\Rightarrow $ Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều.
BÀI TẬP:
Bài 1.
CMR với mọi tam giác ABC ta có:
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left(
{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right) \geqslant
\frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Theo BĐT Cô-si ta có:
$\frac{{\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}}}{3} \geqslant
\sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
Mặt khác:
$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2}\cot
\frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} =
\frac{{c{\text{os}}\frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}{{\sin
\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}$
$ = \frac{{\frac{1}{4}(\sin A + \sin B + \sin C)}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin
\frac{C}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2} + \sin
\frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2} + \sin
\frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}{{2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin
\frac{C}{2}}}$
$
\geqslant \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin
\frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}\sin
\frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin
\frac{C}{2}}}$
Suy ra:
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left(
{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right)$
$ \geqslant \frac{9}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{A}{2}\sin
\frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}\sin
\frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}}}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin
\frac{C}{2}}}$
$ = \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot
\frac{C}{2}}}$ (1)
Mà ta cũng có:
$\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} \geqslant 3\sqrt 3 $
$ \Rightarrow \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot
\frac{C}{2}}} \geqslant \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3
}}{2}(2)$
Từ (1),(2) :
$\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\left(
{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right) \geqslant
\frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
$ \Rightarrow $ đpcm.
Bài 2.
Cho $\Delta ABC$ nhọn .CMR:
$\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right)\left( {\operatorname{t} a{\text{nA}}
+ \tan B + \tan C} \right) \geqslant \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Vì $\Delta ABC$ nhọn nên $\cos A,\cos B,\cos C,\operatorname{t}
{\text{anA}},\tan B,\tan C$ đều dương.
Theo AM-GM ta có:
$\begin{array}
\frac{{\cos A + \cos B + \cos C}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\cos A\cos
B\cos C}} \\
\operatorname{t} a{\text{nA}} + \tan B + \tan C = \operatorname{t}
a{\text{nA}}\tan B\tan C = \frac{{\sin A\sin B\sin C}}{{\cos A\cos B\cos
C}} \\
\end{array} $
$ = \frac{{\frac{1}{4}(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}}{{\cos A\cos B\cos C}} =
\frac{{\sin A\cos A + \sin B\cos b + \sin C\cos C}}{{2\cos A\cos B\cos C}}$
$ \geqslant \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\sin A\cos A\sin B\cos B\sin C\cos
C}}}}{{2\cos A\cos B\cos C}}$
Suy ra:
$\begin{array}
(\cos A + \cos B + \cos C)(\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan
C) \\
\geqslant \frac{9}{2}.\frac{{\sqrt[3]{{\cos A\cos B\cos C\sin
A\cos A\sin B\cos B\sin C\cos C}}}}{{\cos A\cos B\cos C}} \\
= \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\operatorname{t} a{\text{nA}}\tan B\tan
C}}(1) \\
\end{array} $
Mặt khác:
$\begin{array}
\tan {\text{A}}\tan B\tan C \geqslant 3\sqrt 3 \\
\Rightarrow \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{\operatorname{t}
a{\text{nA}}\tan B\tan C}} \geqslant \frac{9}{2}.\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }} =
\frac{{9\sqrt 3 }}{2}(2) \\
\end{array} $
Từ (1),(2) suy ra:
$(\cos A + \cos B + \cos C)(\tan {\text{A}}\tan B\tan C) \geqslant
\frac{{9\sqrt 3 }}{2}$ $ \Rightarrow $ đpcm.
Bài 4.
Cho tam giác ABC bất kì .CMR:
$\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} \geqslant 4 - \frac{{2r}}{R}$
Lời giải:
Ta có S=$\frac{{abc}}{{4R}} = pr = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} $
$\begin{array}
\Rightarrow \frac{{2r}}{R} = \frac{{8{S^2}}}{{pabc}} =
\frac{{{a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + c{a^2} - {a^3} - {b^3} -
{c^3} - 2abc}}{{abc}} \\
\Rightarrow 4 - \frac{{2r}}{R} = \frac{{{a^3} + {b^3} +
{c^3}}}{{abc}} + 6 - (\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} +
\frac{c}{a} + \frac{a}{c}) \leqslant \frac{{{a^3} + {b^3} +
{c^3}}}{{abc}} \\
\end{array} $
Suy ra đpcm
Bài 5.
Cho tam tam giác ABC.CMR
$(\frac{a}{{\cos A}} + \frac{b}{{\cos B}} - c)(\frac{b}{{\cos b}} +
\frac{c}{{\cos C}} - a)(\frac{c}{{\cos C}} + \frac{a}{{\cos A}} - b) \geqslant
27abc$
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\begin{array}
(\frac{{\sin C}}{{\cos A\cos B}} - \sin C)(\frac{{\sin A}}{{\cos B\cos
C}} - \sin A)(\frac{{\sin B}}{{\cos C\cos A}} - \sin B) \geqslant 27\sin A\sin
B\sin C \\
\Leftrightarrow \frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}}.\frac{{1
- \cos B\cos C}}{{\cos B\cos C}}.\frac{{1 - \cos C\cos A}}{{\cos C\cos A}}
\geqslant 27 \\
\end{array} $
Đặt x = tanA/2,y = tanB/2,z = tanC/2, khi đó ta có
$\cos A = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}},\cos B = \frac{{1 - {y^2}}}{{1 +
{y^2}}},\cos C = \frac{{1 - {z^2}}}{{1 + {z^2}}}$
Và $\tan A = \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}},\tan B = \frac{{2y}}{{1 - {y^2}}},\tan C
= \frac{{2z}}{{1 - {z^2}}}$
Khi đó :$\frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}} = \frac{{2({x^2} +
{y^2})}}{{(1 - {x^2})(1 - {y^2})}}$ mặt khác :${x^2} + {y^2} \geqslant 2xy$
nên:
$\frac{{1 - \cos A\cos B}}{{\cos A\cos B}} \geqslant \frac{{2x}}{{1 -
{x^2}}}.\frac{{2y}}{{1 - {y^2}}} = \tan A\tan B$ (1)
Tương tự ta có:
$\begin{array}
\frac{{1 - \cos B\cos C}}{{\cos B\cos C}} \geqslant \tan B\tan C
\\
\frac{{1 - \cos C\cos A}}{{\cos C\cos A}} \geqslant \tan C\tan A
\\
\end{array} $
Nhân vế theo vế (1) (2) và (3) ta được đpcm