TỔ HỢP, CHỈNH HỢP - CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG


I. LÝ THUYẾT
Chỉnh hợp:

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử; $n$$ \geqslant $1. Một chỉnh hợp chập $k$ các phần tử của $A$ là một cách sắp xếp $k$ phần tử khác nhau của $A$; $1 \leqslant k \leqslant n;\,\,k \in \mathbb{N}$.
Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử: $A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}$
Hoán vị:
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử; $n > 0$. Một hoán vị $n$ phần tử của $A$ là một chỉnh hợp chập $n$ các phần tử của $A$ (Hay một cách sắp xếp thứ tự các $n$ phần tử của $A$).
Số các hoán vị $n$ phần tử của $A$: ${P_n} = A_n^n = n!$
Tổ hợp:
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử; $n > 0$. Một tổ hợp chập $k$ các phần tử của $A$ là một tập hợp con của $A$ có $k$ phần tử ; $0 \leqslant k \leqslant n;\,\,k \in \mathbb{N}$.
Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử: $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!.(n - k)!}}$

Các công thức quan trọng của $P_n, C_n^k, A_n^k$
•    $C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{{P_k}}}$
•    $C_n^k = C_n^{n - k}$
•    $C_n^k = C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k - 1}$
•    $k.C_n^k = n.C_{n - 1}^{k - 1}\quad (1 \leqslant k \leqslant n;k \in \mathbb{N};n \in N;n > 1)$       
•    $k.(k - 1).C_n^k = n.(n - 1).C_{n - 2}^{k - 2};\quad \forall k;n \in \mathbb{N};2 \leqslant k \leqslant n$
•    $k.(k - 1)(k - 2).C_n^k = n.(n - 1)(n - 2).C_{n - 3}^{k - 3};\quad \forall k;n \in \mathbb{N};3 \leqslant k \leqslant n$
•    $\frac{1}{{k + 1}}.C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}.C_{n + 1}^{k + 1}\quad (\forall k \in \mathbb{N};0 \leqslant k \leqslant n;n \in {\mathbb{N}^*}$    
Nhị thức Newton
${(a + b)^n} = C_n^0.{a^n} + C_n^1.{a^{n - 1}}.b + C_n^2.{a^{n - 2}}.{b^2} + ... $
                                        $+ C_n^k.{a^{n - k}}.{b^k} + ... + C_n^n.{b^n}$$ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{a^{n - k}}.{b^k}} $$(\forall n \in {\mathbb{N}^*})$

Ta cũng có thể khai triển:
${(a + b)^n} = C_n^0.{b^n} + C_n^1.{b^{n - 1}}.a + C_n^2.{b^{n - 2}}.{a^2} + ... $
                                       $+ C_n^k.{b^{n - k}}.{a^k} + ... + C_n^n.{a^n}$$ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{a^k}.{b^{n - k}}} $ $(\forall n \in {\mathbb{N}^*})$
Một số đẳng thức rút ra từ nhị thức Newton:
$C_n^0 + C_n^1 + ..... + C_n^k + ..... + C_n^n = {2^n}\quad \forall n \in {\mathbb{N}^*}$
$C_n^0 - C_n^1 + ..... + {( - 1)^k}.C_n^k + ..... + {( - 1)^n}.C_n^n = \quad \forall n \in {\mathbb{N}^*}$
${(1 + x)^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {{x^k}.C_{2n}^k} $;     ${(1 - x)^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {{{( - 1)}^k}{x^k}.C_{2n}^k} $
${(1 + x)^{2n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {{x^k}.C_{2n + 1}^k} $; ${(1 - x)^{2n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {{{( - 1)}^k}{x^k}.C_{2n + 1}^k} $

II. BÀI TẬP
Phương pháp:

1.  Quan sát biểu thức cần tính để đưa ra nhị thức Newton thích hợp.
2.  Áp dụng các biến đổi tổ hợp, chỉnh hợp quen thuộc
3.  Xác định công thức tổng quát và chứng minh
4.  Sử dụng công cụ đạo hàm hoặc tích phân

Bài 1:
Rút gọn:  ${\operatorname{S} _k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + ... + {( - 1)^k}C_n^k;\quad 0 \leqslant k \leqslant n;\,\,\,\,k \in \mathbb{N};n \in {\mathbb{N}^*}$
Hướng dẫn:
Nếu $k<n$ thì ta có
${\operatorname{S} _k} = C_n^0 - (C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1) + (C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2) - (C_{n - 1}^2 + C_{n - 1}^3) + ... $
                               $+ {( - 1)^k}(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k);0 \leqslant k \leqslant n;\,\,\,\,k \in \mathbb{N};n \in {\mathbb{N}^*}$
Rút gọn suy ra: ${S_k} = {( - 1)^k}.C_{n - 1}^k$
Nếu $k = n$ thì ${\operatorname{S} _k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + ... + {( - 1)^n}C_n^n = 0$

Bài 2:
Tính S = $C_{4n}^1 + C_{4n}^3 + C_{4n}^4 + .... + C_{4n}^{2n - 1}$
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n - k}$ ta có:
$C_{4n}^1 = C_{4n}^{4n - 1};C_{4n}^3 = C_{4n}^{4n - 3};....;C_{4n}^{2n - 1} = C_{4n}^{2n + 1}$
Vì vậy $S =$ $C_{4n}^{4n - 1} + C_{4n}^{4n - 3} + .... + C_{4n}^{2n + 1}$
Suy ra
$2S = $$C_{4n}^1 + C_{4n}^3 + C_{4n}^4 + .... + C_{4n}^{2n - 1} + C_{4n}^{2n + 1} + ..... + C_{4n}^{4n - 1} = {2^{4n}} - C_{4n}^0 - C_{4n}^{4n}$
 $ \Rightarrow S = {2^{4n - 2}}$

Bài 3: 
Tính các tổng sau:

a. ${S_2} = C_n^0 + 2C_n^1 + 3C_n^2 + ... + (n + 1)C_n^n;\quad n \in \mathbb{N};n > 1$      
b. ${S_3} = C_n^2 + 2C_n^3 + 3C_n^4 + ... + (n - 1)C_n^n;\quad n \in {\mathbb{N}^*};n \geqslant 2$   
c. ${S_4} = n{.2^{n - 1}}.C_n^0 + (n - 1){.2^{n - 2}}.3.C_n^1 + (n - 2){.2^{n - 3}}{.3^2}.C_n^2 + ... + {3^{n - 1}}.C_n^{n - 1};\quad n \in \mathbb{N};n > 1$
d. ${S_5} = {4.5^3}.C_{2009}^0 + {5.5^4}.C_{2009}^1 + ... + {2013.5^{2012}}.C_{2009}^{2009}$
Hướng dẫn:
a.  ${S_2} = C_n^0 + 2C_n^1 + 3C_n^2 + ... + (n + 1)C_n^n;\quad n \in {\mathbb{N}^*}$    
$ \Rightarrow {S_2} = \sum\limits_{k = 0}^n {(k + 1).C_n^k = } \;0.C_n^0 + \sum\limits_{k = 1}^n {k.C_n^k}  + \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} $
$ \Rightarrow {S_2} = \sum\limits_k^n {n.C_{n - 1}^{k - 1}}  + \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} $
$\begin{array}
   \Rightarrow {S_2} = n{.2^{n - 1}} + {2^n}  \\
   \Rightarrow {S_2} = (n + 2){.2^{n - 1}};\quad \forall n \in \mathbb{N};n > 1  \\
\end{array} $
b. ${S_3} = C_n^2 + 2C_n^3 + 3C_n^4 + ... + (n - 1)C_n^n;\quad n \in {\mathbb{N}^*};n \geqslant 2$
$ \Rightarrow {S_3} = \sum\limits_{k = 2}^n {(k - 1).C_n^k = } \;\sum\limits_{k = 2}^n {k.C_n^k}  - \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k} $
$ \Rightarrow {S_3} = \;\sum\limits_{k = 1}^n {k.C_n^k}  - C_n^1 - \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k}  + C_n^0 + C_n^1$
$ \Rightarrow {S_3} = \sum\limits_{k = 1}^n {n.C_{n - 1}^{k - 1}}  - C_n^1 - \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k}  + C_n^0 + C_n^1$
$\begin{array}
   \Rightarrow {S_3} = n{.2^{n - 1}} - {2^n} + 1  \\
   \Rightarrow {S_3} = (n - 2){.2^{n - 1}} + 1;\quad \forall n \in \mathbb{N};n \geqslant 2  \\
\end{array} $
c. ${S_4} = n{.2^{n - 1}}.C_n^0 + (n - 1){.2^{n - 2}}.3.C_n^1 + (n - 2){.2^{n - 3}}{.3^2}.C_n^2 + ... + {3^{n - 1}}.C_n^{n - 1};\quad n \in {\mathbb{N}^*}$
$ \Rightarrow {S_4} = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {(n - k){{.2}^{n - k - 1}}{{.3}^k}.C_n^k = } \;\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{2^{n - k - 1}}{{.3}^k}.(n - k).C_n^{n - k}} $
$ \Rightarrow {S_4} = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{2^{n - k - 1}}{{.3}^k}.n.C_{n - 1}^{n - k - 1}} $
$\begin{array}
   \Rightarrow {S_4} = n({2^{n - 1}}{.3^0}.C_{n - 1}^{n - 1} + {2^{n - 2}}{.3^2}.C_{n - 1}^{n - 2} + ... + {2^0}{.3^{n - 1}}.C_{n - 1}^0)  \\
   \Rightarrow {S_4} = n.{(2 + 3)^{n - 1}}  \\
   \Rightarrow {S_4} = n{.5^{n - 1}};\quad \forall n \in \mathbb{N};n > 1  \\
\end{array} $
d. ${S_5} = {4.5^3}.C_{2009}^0 + {5.5^4}.C_{2009}^1 + ... + {2013.5^{2012}}.C_{2009}^{2009}$
$\begin{array}
   \Rightarrow {S_5} = \sum\limits_{k = 0}^{2009} {(k + 4){{.5}^{k + 3}}.C_{2009}^k}  = \sum\limits_{k = 0}^{2009} {k{{.5}^{k + 3}}.C_{2009}^k}  + \sum\limits_{k = 0}^{2009} {{{4.5}^{k + 3}}.C_{2009}^k}   \\
   \Rightarrow {S_5} = \sum\limits_{k = 0}^{2009} {{5^{k + 3}}.k.C_{2009}^k}  + \sum\limits_{k = 0}^{2009} {{{4.5}^{k + 3}}.C_{2009}^k}   \\
   \Rightarrow {S_5} = {5^{0 + 3}}.0.C_{2009}^0 + \sum\limits_{k = 1}^{2009} {{5^4}{{.5}^{k - 1}}.2009.C_{2008}^{k - 1}}  + \sum\limits_{k = 0}^{2009} {{{4.5}^3}{{.5}^k}.C_{2009}^k}   \\
   \Rightarrow {S_5} = {2009.5^4}.({5^0}C_{2008}^0 + {5^1}C_{2008}^1 + ... + {5^{2008}}C_{2008}^{2008}) +   \\
  \quad \quad \quad \quad  + {4.5^3}.({5^0}C_{2009}^0 + {5^1}C_{2009}^1 + ... + {5^{2009}}C_{2009}^{2009})  \\
   \Rightarrow {S_5} = {2009.5^4}{.6^{2008}} + {4.5^3}{.6^{2009}}  \\
   \Rightarrow {S_5} = {10069.5^3}{.6^{2008}}  \\
\end{array} $

Bài 4:
Tính $S = C_n^0 - 2C_n^1 + 3C_n^2 - ... + {( - 1)^n}.(n + 1)C_n^n;\quad n \in \mathbb{N}$
Hướng dẫn:
Ta sử dụng công cụ đạo hàm:
Xét đa thức $f(x) = x(1+x)^n =$ $C_n^0x + C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} + ... + C_n^n{x^{n + 1}};\quad n \in {\mathbb{N}^*}$  $D=R$
Ta có ${f^'}(x) = $$C_n^0 + C_n^1.2x + C_n^23{x^2} + ... + C_n^n.(n + 1){x^n} = {(1 + x)^n} + nx{(1 + x)^{n - 1}}$
$ \Rightarrow {f^'}( - 1) = $$C_n^0 - 2C_n^1 + 3C_n^2 - ... + {( - 1)^n}.(n + 1)C_n^n = {f^'}( - 1) = 0$

Lưu ý: Để tính các tổng
${S_1} = C_n^0 + 2aC_n^1 + 3{a^2}C_n^2 + ... + (n + 1){a^n}C_n^n;\quad $
${S_2} = C_{2n}^0 + 3{a^2}C_{2n}^2 + 5{a^4}C_{2n}^4 + ... + (2n + 1){a^{2n}}C_{2n}^{2n};\quad $
Ta xét đa thức $f(x) = x(1+x)^n$ và chứng tỏ rằng $S_1=f’(a)$;
Ta xét đa thức $g(x) = x(1+x)^{2n}$ và chứng tỏ rằng $2S_2=g’(a)+g’(-a); 2S3=g’(a)-g’(-a)$

Bài 5:
Tính $S = {1^2}C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {3^2}C_n^3 + ... + {n^2}C_n^n$.
Hướng dẫn:
Ta sử dụng công cụ đạo hàm:
${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
Đạo hàm 2 vế ta được
$n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2x + ... + C_n^n.n{x^{n - 1}}$
Nhân 2 vế với x
$nx{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1x + C_n^2.2{x^2} + ... + C_n^n.n{x^n}$
Đạo hàm 2 vế lần nữa ta được
$n{(1 + x)^{n - 1}} + n(n - 1)x{(1 + x)^{n - 2}} = C_n^1 + C_n^2{2^2}x + ... + C_n^n{n^2}{x^{n - 1}}$
Thế $x = 1$ ta được
$n{.2^{n - 1}} + n(n - 1){2^{n - 2}} = S$
Hay $S = n(n + 1){2^{n - 2}}$

Bài 6:
Tính  ${S_1} = C_n^0 + \frac{1}{2}.C_n^1 + \frac{1}{3}.C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 1}}.C_n^n\quad ;n \in {\mathbb{N}^*}$
Hướng dẫn:
Ta sử dụng công cụ tích phân:
Xét đa thức $f(x) = $${(1 + x)^n} = C_n^0 + x.C_n^1 + {x^2}.C_n^2 + ... + {x^n}.C_n^n\quad \forall x \in \mathbb{R};n \in {\mathbb{N}^*}$
Suy ra:  $\int\limits_0^1 {f(x)dx}  = $$C_n^0 + \frac{1}{2}.C_n^1 + \frac{1}{3}.C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 1}}.C_n^n = {S_1} $
$\Rightarrow {S_1} = \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1 \\
  0
\end{array} = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}} \right.$

Lưu ý: Để tính các tổng
$S = (b - a)C_n^0 + \frac{{{b^2} - {a^2}}}{2}.C_n^1 + \frac{{{b^3} - {a^3}}}{3}.C_n^2 + ... + \frac{{{b^{n + 1}} - {a^{n + 1}}}}{{n + 1}}.C_n^n\quad ;n \in {\mathbb{N}^*}$
Hãy chứng tỏ rằng $S = $$\int\limits_a^b {f(x)dx} ;\,\,f(x) = {(1 + x)^n}$

Bài 7:
$S = \frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 - ... + {( - 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n$
Hướng dẫn:
 $\int\limits_0^1 {x{{(1 - x)}^n}dx = \int\limits_0^1 {\left[ {C_o^nx - C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} - ... + C_n^n{x^{n + 1}}} \right]} } dx$
Tính $\int\limits_0^1 {x{{(1 - x)}^n}dx} $. Đặt $u = 1 - x \Rightarrow du =  - dx$, $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = 0 \Rightarrow u = 1} \\
  {x = 1 \Rightarrow u = 0}
\end{array}} \right.$.
$\int\limits_0^1 {x{{(1 - x)}^n}dx}  = \int\limits_0^1 {(1 - u){u^n}du = \left. {\frac{{{u^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|} _0^1 - \left. {\frac{{{u^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right|_0^1$
$= \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}$
$\begin{array}
  \int\limits_0^1 {\left[ {C_n^0x - C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} - ... + {{( - 1)}^n}C_n^n{x^{n + 1}}} \right]} dx  \\
   = \left. {\left[ {C_n^0\frac{{{x^2}}}{2} - C_n^1\frac{{{x^3}}}{3} + C_n^2\frac{{{x^4}}}{4} - ... + {{( - 1)}^n}C_n^n\frac{{{x^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right]} \right|_0^1  \\
   = \frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 - ... + {( - 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n  \\
   = S  \\
\end{array} $
Vậy $S = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}$

Các phương pháp đạo hàm và tích phân trong tổ hợp sẽ được trình bày chi tiết ở các chuyên đề:

-  Sử dụng công cụ đạo hàm trong giải toán tổ hợp

-  Sử dụng công cụ tích phân trong giải toán tổ hợp

BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1:

Tính tổng
a. ${S_1} = {1.2^0}.C_n^1 + {2.2^1}.C_n^2 + {3.2^2}.C_n^3 + ..... + n{.2^{n - 1}}.C_n^n\quad \forall n \in \mathbb{N};n > 1$
b. ${S_2} = 2.C_{2n + 1}^2 + 4.C_{2n + 1}^4 + ..... + 2n.C_{2n + 1}^{2n}$
c. ${S_3} = 2.C_{2n}^2 + 4.C_{2n}^4 + ..... + 2n.C_{2n}^{2n}$
Bài 2:
Cho $a > 0; $$n \in {\mathbb{N}^*}$. Hãy tính tổng
a. ${S_1} = 1.2.C_{n + 1}^1 + 3.4.{a^2}.C_{n + 1}^2 + ..... + (2n + 1)(2n + 2).{a^{2n}}.C_{n + 1}^{n + 1}$
b. ${S_2} = C_n^0 + 2a.C_n^1 + 3{a^2}.C_n^2 + ..... + (n + 1){a^n}.C_n^n$
c. ${S_3} = C_{2n}^0 + 3{a^2}.C_{2n}^2 + 5{a^4}.C_{2n}^4 + ..... + (2n + 1){a^{2n}}.C_{2n}^{2n}$
d. ${S_4} = 2a.C_{2n}^1 + 4{a^3}.C_{2n}^3 + 6{a^5}.C_{2n}^5 + ..... + 2n.{a^{2n - 1}}.C_{2n}^{2n - 1}$
Bài 3:
Tính $S = \frac{1}{3}C_n^0 + \frac{1}{4}C_n^1 + \frac{1}{5}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 3}}C_n^n$
Bài 4:
Tính tổng $S = \frac{1}{{n + 1}}C_n^0 - \frac{1}{n}C_n^1 + \frac{1}{{n - 1}}C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$
Bài 5:
Tính
$S = {2012.3^{2011}}C_{2012}^0 - {2011.3^{2010}}C_{2012}^1 + {2010.3^{2009}}C_{2012}^2 - ... + 2.3C_{2012}^{2010} - C_{2012}^{2011}$
Bài 6:
Tính tổng
a. ${S_1} = C_n^0 + \frac{1}{2}.C_n^1 + \frac{1}{3}.C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 1}}.C_n^n\quad ;n \in {\mathbb{N}^*}$
b. ${S_2} = \frac{{{2^2}}}{2}.C_n^1 + \frac{{{2^3}}}{3}.C_n^2 + \frac{{{2^4}}}{4}.C_n^3 + ... + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}.C_n^n\quad (n \in \mathbb{N};n > 1)$
c. ${S_3} = \frac{1}{2}.C_{2n}^1 + \frac{1}{4}.C_{2n}^3 + \frac{1}{6}.C_{2n}^5 + ... + \frac{1}{{2n}}.C_{2n}^{2n - 1}\quad (n \in \mathbb{N};n > 1)$
d. ${S_4} = 2.C_n^0 + \frac{{{3^2} - 1}}{2}.C_n^1 + \frac{{{3^3} - 1}}{3}.C_n^2 + \frac{{{3^4} - 1}}{4}.C_n^3 + ... + \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}.C_n^n\quad (n \in {\mathbb{N}^*})$
e. ${S_5} = {2^0}C_n^0 - \frac{{{2^2}}}{2}.C_n^1 + \frac{{{2^3}}}{3}.C_n^2 - \frac{{{2^4}}}{4}.C_n^3 + ... + {( - 1)^n}\frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}.C_n^n\quad (n \in {\mathbb{N}^*})$
f.  ${S_6} = \frac{{b - a}}{1}C_n^0 + \frac{{{b^2} - {a^2}}}{2}.C_n^1 + \frac{{{b^3} - {a^3}}}{3}.C_n^2 + ... + \frac{{{b^{n + 1}} - {a^{n + 1}}}}{{n + 1}}.C_n^n\quad (n \in {\mathbb{N}^*};a;b \in \mathbb{R})$

hay qua.. –  ntdragon9xhn 17-05-13 06:12 PM

Thẻ

Lượt xem

73379
Chat chit và chém gió
  • Vũ Dã Anh: ok ...để xemm .. 8/1/2015 12:24:25 AM
  • Ruanyu Jian: a tuong hom nay e di hoc giai rui 8/1/2015 12:24:32 AM
  • Ruanyu Jian: vay a moi k nko su mui 8/1/2015 12:24:50 AM
  • Ruanyu Jian: a ma bit thi noi no rui 8/1/2015 12:25:06 AM
  • Sam Tats: thầy nói bài này tự giải a @@ 8/1/2015 12:25:36 AM
  • Ruanyu Jian: uk 8/1/2015 12:25:44 AM
  • Ruanyu Jian: neu k jai dk thi noi a 8/1/2015 12:26:04 AM
  • Sam Tats: dạ happy 8/1/2015 12:26:37 AM
  • Ruanyu Jian: ak voi dk la khong ai lam dk 8/1/2015 12:26:40 AM
  • Ruanyu Jian: a di cong viec ti 8/1/2015 12:27:01 AM
  • Ruanyu Jian: xui quay lai 8/1/2015 12:27:10 AM
  • Ruanyu Jian: 2 dua nc nha 8/1/2015 12:27:20 AM
  • Sam Tats: happy 8/1/2015 12:27:21 AM
  • Sam Tats: Dã Anh: sao dòi bạn? 8/1/2015 12:27:45 AM
  • Vũ Dã Anh: đ X ngta ko cho dữ liệu gì à 8/1/2015 12:28:55 AM
  • Sam Tats: hông bạn 8/1/2015 12:29:26 AM
  • Vũ Dã Anh: đợi tý nha 8/1/2015 12:31:58 AM
  • Vũ Dã Anh: xem kết quả số đệp ko đã : )) 8/1/2015 12:32:07 AM
  • Sam Tats: ùm happy 8/1/2015 12:34:01 AM
  • Vũ Dã Anh: = )) hình như đề bài thiếu ...chứ thế kia sao ra đc 8/1/2015 12:37:29 AM
  • Vũ Dã Anh: chỗ dd X ý 8/1/2015 12:38:18 AM
  • Sam Tats: mình cũng thắc mắc với thầy như vậy, thầy mình nói ra được 8/1/2015 12:39:03 AM
  • Vũ Dã Anh: ôi chòi... 8/1/2015 12:39:37 AM
  • Vũ Dã Anh: t bó tay hoy...thử đi hỏi xem sai đề ko đã 8/1/2015 12:40:06 AM
  • Sam Tats: happy 8/1/2015 12:41:07 AM
  • ღKhờღ: big_grin 8/1/2015 12:49:20 AM
  • ღKhờღ: chào Sam chào Trang 8/1/2015 12:49:28 AM
  • Vũ Dã Anh: thôi..ngủ sớm đi nàng ...chứ mấy bài hách nào này chắc chết mất 8/1/2015 12:49:30 AM
  • ღKhờღ: ngủ hết chứ 2 cưng 8/1/2015 12:49:32 AM
  • ღKhờღ: ngủ hết chưa 2 cưng mà nhắn nhầm big_grin 8/1/2015 12:50:25 AM
  • Sam Tats: còn thức đây na2aaaa!!! 8/1/2015 12:50:47 AM
  • ღKhờღ: còn thức hử big_grin 8/1/2015 12:51:03 AM
  • Sam Tats: ùm happy 8/1/2015 12:51:42 AM
  • Vũ Dã Anh: : )) chào buổi sáng 8/1/2015 12:51:56 AM
  • Sam Tats: Khờ: thức khuya ghê ha 8/1/2015 12:52:10 AM
  • ღKhờღ: chào buổi sáng 8/1/2015 12:52:22 AM
  • Sam Tats: Dã Anh: chào buổi sáng 8/1/2015 12:52:30 AM
  • ღKhờღ: chúc 2 người buổi sáng tốt lành vui vẻ big_grin 8/1/2015 12:52:35 AM
  • ღKhờღ: có con em gái nó đang nhờ bài toán 8/1/2015 12:52:44 AM
  • ღKhờღ: làm cho nó rồi 8/1/2015 12:52:47 AM
  • ღKhờღ: mà cách k hay lắm 8/1/2015 12:52:50 AM
  • ღKhờღ: nó đang ở đài loan 8/1/2015 12:52:53 AM
  • Vũ Dã Anh: làm giúp e con toán đi rolling_on_the_floor 8/1/2015 12:53:07 AM
  • ღKhờღ: Biết lượng làm của 4 Ng nam bằng 5 Ng nữ . Có 1 công việc , 30 Ng nữ làm 60 ngày sẽ hoàn thành , nhưng việc phải làm 20 ngày làm xong, ngoai 30 Ng nữ ra Hỏi cần phái bao nhiêu Ng nam 8/1/2015 12:53:09 AM
  • Sam Tats: chài, xa dữ v 8/1/2015 12:53:13 AM
  • ღKhờღ: bên nó nó giả sử 4x=5y gì gì ý 8/1/2015 12:53:24 AM
  • Sam Tats: Khờ: giúp Anh giải bài hình kìa, mình bây h hông học hh phẳng nên quên hết dòi 8/1/2015 12:54:00 AM
  • ღKhờღ: anh làm được 48 mà nó đòi làm cách khác 8/1/2015 12:54:12 AM
  • ღKhờღ: crying 8/1/2015 12:54:13 AM
  • ღKhờღ: Trang hả 8/1/2015 12:54:31 AM
  • ღKhờღ: mai được k cưng crying 8/1/2015 12:54:37 AM
  • Vũ Dã Anh: yoo..! yes 8/1/2015 12:54:40 AM
  • ღKhờღ: 30 nữ làm 60 ngày thì làm được 1 30 nữ 1 ngày thì làm được 1/60 công việc số công việc còn lại mà nam phải làm là 1-1/3=2/3 công việc 1 nũ làm 20 ngày được số công việc là 1/3 : 30 =1/90 cv giả sử nếu như công việc còn lại nữ phải làm thì cần số nữ là 2/3 : 1/90=60(nữwinking mà 4 nam =5 nữ => số nam cần là 60:5x4=48 8/1/2015 12:55:25 AM
  • ღKhờღ: gải như này có được k 8/1/2015 12:55:31 AM
  • ღKhờღ: mà bên TQ sao nó học khác mình quá 8/1/2015 12:55:43 AM
  • Vũ Dã Anh: lớp mấy 8/1/2015 12:56:34 AM
  • Vũ Dã Anh: a quan hệ rộng ghíaa 8/1/2015 12:56:47 AM
  • Vũ Dã Anh: tàu khựa khác VN là đuungs r a 8/1/2015 12:57:42 AM
  • ღKhờღ: không nà 8/1/2015 12:58:16 AM
  • ღKhờღ: nó mới sang bên đó hơn 1 năm 8/1/2015 12:58:25 AM
  • Vũ Dã Anh: rolling_on_the_floor 8/1/2015 12:58:37 AM
  • Vũ Dã Anh: nhà ko có gì ngoài điều kiện 8/1/2015 12:58:56 AM
  • ღKhờღ: nỏ phải 8/1/2015 12:59:43 AM
  • ღKhờღ: em nó phải theo cha mẹ đi lằm ăn 8/1/2015 12:59:50 AM
  • ღKhờღ: em cứ nói ngất ngất 8/1/2015 1:00:01 AM
  • ღKhờღ: anh đấm vỡ mồm giờ laughing 8/1/2015 1:00:07 AM
  • Vũ Dã Anh: lớp? 8/1/2015 1:00:14 AM
  • ღKhờღ: 2 ng đang làm gì v 8/1/2015 1:00:19 AM
  • Vũ Dã Anh: sao đấm ... 8/1/2015 1:00:26 AM
  • ღKhờღ: nó đang học lớp 6 thì phải 8/1/2015 1:00:26 AM
  • ღKhờღ: sinh năm 2k 8/1/2015 1:00:35 AM
  • Sam Tats: làm bài tập 8/1/2015 1:01:40 AM
  • ღKhờღ: muộn r 8/1/2015 1:02:10 AM
  • ღKhờღ: ngủ đi 8/1/2015 1:02:12 AM
  • Vũ Dã Anh: 2k lớp 10 mà 8/1/2015 1:02:15 AM
  • ღKhờღ: Trang nữa 8/1/2015 1:02:15 AM
  • ღKhờღ: ngủ đi 8/1/2015 1:02:16 AM
  • ღKhờღ: giữ gìn nhan sắc big_grin 8/1/2015 1:02:24 AM
  • Vũ Dã Anh: bạn Sam hỏi bài mà ko biết làm rolling_on_the_floor 8/1/2015 1:02:32 AM
  • Vũ Dã Anh: nhan sắc có đâu mà gữi rolling_on_the_floor 8/1/2015 1:02:46 AM
  • Sam Tats: xấu sẵn dòi khỏi giữ 8/1/2015 1:02:50 AM
  • Sam Tats: Khờ không định ngủ à? 8/1/2015 1:03:38 AM
  • Vũ Dã Anh: sam : chuẩn girl :v 8/1/2015 1:04:25 AM
  • ღKhờღ: chắc 8/1/2015 1:04:49 AM
  • ღKhờღ: chắc Khờ ngủ giữ gìn nhan sắc đây clown 8/1/2015 1:05:03 AM
  • Sam Tats: Khờ ngủ ngon! happy 8/1/2015 1:05:52 AM
  • ღKhờღ: big_grin 8/1/2015 1:06:10 AM
  • ღKhờღ: mà tý nữa 8/1/2015 1:06:13 AM
  • ღKhờღ: big_grin 8/1/2015 1:06:14 AM
  • Vũ Dã Anh: chúng cậu ngủ ngon : )) G9 8/1/2015 1:06:15 AM
  • ღKhờღ: thử làm bài của trang xem đc k đã 8/1/2015 1:06:50 AM
  • ღKhờღ: big_grin 8/1/2015 1:06:51 AM
  • ღKhờღ: k được thì ngủ 8/1/2015 1:06:54 AM
  • Sam Tats: ùm, Khờ làm dc thì Sam khỏi làm ^^ 8/1/2015 1:08:55 AM
  • Sam Tats: Sam ngủ trước đây!!! Ai còn on cũng ngủ sớm ik nhé. Mn ngủ ngon happy 8/1/2015 1:12:16 AM
  • ღKhờღ: chắc Khờ cũng ngủ đây 8/1/2015 1:13:15 AM
  • ღKhờღ: big_grin 8/1/2015 1:13:16 AM
  • ღKhờღ: Chúc Sam ngủ ngon nhé 8/1/2015 1:13:21 AM
  • ღKhờღ: Chúc Trang ngủ ngon nhé 8/1/2015 1:13:28 AM
  • ღKhờღ: wave 8/1/2015 1:13:34 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ღKhờღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • Ruanyu Jian
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ***
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • ★.★.★.★.★.★.★
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Bí ẩn
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • =.=
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Magic
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Bạch Lăng Lăng
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღLê Việt Tùngღ(vuacfhatinh)
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Kim Chi
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • nguyenngaa14
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Thỏ Kitty
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • anhvt93
  • Hunter Destroy
  • navybui22