TỔ HỢP, CHỈNH HỢP - CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG


I. LÝ THUYẾT
Chỉnh hợp:

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử; $n$$ \geqslant $1. Một chỉnh hợp chập $k$ các phần tử của $A$ là một cách sắp xếp $k$ phần tử khác nhau của $A$; $1 \leqslant k \leqslant n;\,\,k \in \mathbb{N}$.
Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử: $A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}$
Hoán vị:
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử; $n > 0$. Một hoán vị $n$ phần tử của $A$ là một chỉnh hợp chập $n$ các phần tử của $A$ (Hay một cách sắp xếp thứ tự các $n$ phần tử của $A$).
Số các hoán vị $n$ phần tử của $A$: ${P_n} = A_n^n = n!$
Tổ hợp:
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử; $n > 0$. Một tổ hợp chập $k$ các phần tử của $A$ là một tập hợp con của $A$ có $k$ phần tử ; $0 \leqslant k \leqslant n;\,\,k \in \mathbb{N}$.
Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử: $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!.(n - k)!}}$

Các công thức quan trọng của $P_n, C_n^k, A_n^k$
•    $C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{{P_k}}}$
•    $C_n^k = C_n^{n - k}$
•    $C_n^k = C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k - 1}$
•    $k.C_n^k = n.C_{n - 1}^{k - 1}\quad (1 \leqslant k \leqslant n;k \in \mathbb{N};n \in N;n > 1)$       
•    $k.(k - 1).C_n^k = n.(n - 1).C_{n - 2}^{k - 2};\quad \forall k;n \in \mathbb{N};2 \leqslant k \leqslant n$
•    $k.(k - 1)(k - 2).C_n^k = n.(n - 1)(n - 2).C_{n - 3}^{k - 3};\quad \forall k;n \in \mathbb{N};3 \leqslant k \leqslant n$
•    $\frac{1}{{k + 1}}.C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}.C_{n + 1}^{k + 1}\quad (\forall k \in \mathbb{N};0 \leqslant k \leqslant n;n \in {\mathbb{N}^*}$    
Nhị thức Newton
${(a + b)^n} = C_n^0.{a^n} + C_n^1.{a^{n - 1}}.b + C_n^2.{a^{n - 2}}.{b^2} + ... $
                                        $+ C_n^k.{a^{n - k}}.{b^k} + ... + C_n^n.{b^n}$$ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{a^{n - k}}.{b^k}} $$(\forall n \in {\mathbb{N}^*})$

Ta cũng có thể khai triển:
${(a + b)^n} = C_n^0.{b^n} + C_n^1.{b^{n - 1}}.a + C_n^2.{b^{n - 2}}.{a^2} + ... $
                                       $+ C_n^k.{b^{n - k}}.{a^k} + ... + C_n^n.{a^n}$$ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{a^k}.{b^{n - k}}} $ $(\forall n \in {\mathbb{N}^*})$
Một số đẳng thức rút ra từ nhị thức Newton:
$C_n^0 + C_n^1 + ..... + C_n^k + ..... + C_n^n = {2^n}\quad \forall n \in {\mathbb{N}^*}$
$C_n^0 - C_n^1 + ..... + {( - 1)^k}.C_n^k + ..... + {( - 1)^n}.C_n^n = \quad \forall n \in {\mathbb{N}^*}$
${(1 + x)^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {{x^k}.C_{2n}^k} $;     ${(1 - x)^{2n}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {{{( - 1)}^k}{x^k}.C_{2n}^k} $
${(1 + x)^{2n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {{x^k}.C_{2n + 1}^k} $; ${(1 - x)^{2n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {{{( - 1)}^k}{x^k}.C_{2n + 1}^k} $

II. BÀI TẬP
Phương pháp:

1.  Quan sát biểu thức cần tính để đưa ra nhị thức Newton thích hợp.
2.  Áp dụng các biến đổi tổ hợp, chỉnh hợp quen thuộc
3.  Xác định công thức tổng quát và chứng minh
4.  Sử dụng công cụ đạo hàm hoặc tích phân

Bài 1:
Rút gọn:  ${\operatorname{S} _k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + ... + {( - 1)^k}C_n^k;\quad 0 \leqslant k \leqslant n;\,\,\,\,k \in \mathbb{N};n \in {\mathbb{N}^*}$
Hướng dẫn:
Nếu $k<n$ thì ta có
${\operatorname{S} _k} = C_n^0 - (C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1) + (C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2) - (C_{n - 1}^2 + C_{n - 1}^3) + ... $
                               $+ {( - 1)^k}(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k);0 \leqslant k \leqslant n;\,\,\,\,k \in \mathbb{N};n \in {\mathbb{N}^*}$
Rút gọn suy ra: ${S_k} = {( - 1)^k}.C_{n - 1}^k$
Nếu $k = n$ thì ${\operatorname{S} _k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + ... + {( - 1)^n}C_n^n = 0$

Bài 2:
Tính S = $C_{4n}^1 + C_{4n}^3 + C_{4n}^4 + .... + C_{4n}^{2n - 1}$
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n - k}$ ta có:
$C_{4n}^1 = C_{4n}^{4n - 1};C_{4n}^3 = C_{4n}^{4n - 3};....;C_{4n}^{2n - 1} = C_{4n}^{2n + 1}$
Vì vậy $S =$ $C_{4n}^{4n - 1} + C_{4n}^{4n - 3} + .... + C_{4n}^{2n + 1}$
Suy ra
$2S = $$C_{4n}^1 + C_{4n}^3 + C_{4n}^4 + .... + C_{4n}^{2n - 1} + C_{4n}^{2n + 1} + ..... + C_{4n}^{4n - 1} = {2^{4n}} - C_{4n}^0 - C_{4n}^{4n}$
 $ \Rightarrow S = {2^{4n - 2}}$

Bài 3: 
Tính các tổng sau:

a. ${S_2} = C_n^0 + 2C_n^1 + 3C_n^2 + ... + (n + 1)C_n^n;\quad n \in \mathbb{N};n > 1$      
b. ${S_3} = C_n^2 + 2C_n^3 + 3C_n^4 + ... + (n - 1)C_n^n;\quad n \in {\mathbb{N}^*};n \geqslant 2$   
c. ${S_4} = n{.2^{n - 1}}.C_n^0 + (n - 1){.2^{n - 2}}.3.C_n^1 + (n - 2){.2^{n - 3}}{.3^2}.C_n^2 + ... + {3^{n - 1}}.C_n^{n - 1};\quad n \in \mathbb{N};n > 1$
d. ${S_5} = {4.5^3}.C_{2009}^0 + {5.5^4}.C_{2009}^1 + ... + {2013.5^{2012}}.C_{2009}^{2009}$
Hướng dẫn:
a.  ${S_2} = C_n^0 + 2C_n^1 + 3C_n^2 + ... + (n + 1)C_n^n;\quad n \in {\mathbb{N}^*}$    
$ \Rightarrow {S_2} = \sum\limits_{k = 0}^n {(k + 1).C_n^k = } \;0.C_n^0 + \sum\limits_{k = 1}^n {k.C_n^k}  + \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} $
$ \Rightarrow {S_2} = \sum\limits_k^n {n.C_{n - 1}^{k - 1}}  + \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} $
$\begin{array}
   \Rightarrow {S_2} = n{.2^{n - 1}} + {2^n}  \\
   \Rightarrow {S_2} = (n + 2){.2^{n - 1}};\quad \forall n \in \mathbb{N};n > 1  \\
\end{array} $
b. ${S_3} = C_n^2 + 2C_n^3 + 3C_n^4 + ... + (n - 1)C_n^n;\quad n \in {\mathbb{N}^*};n \geqslant 2$
$ \Rightarrow {S_3} = \sum\limits_{k = 2}^n {(k - 1).C_n^k = } \;\sum\limits_{k = 2}^n {k.C_n^k}  - \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k} $
$ \Rightarrow {S_3} = \;\sum\limits_{k = 1}^n {k.C_n^k}  - C_n^1 - \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k}  + C_n^0 + C_n^1$
$ \Rightarrow {S_3} = \sum\limits_{k = 1}^n {n.C_{n - 1}^{k - 1}}  - C_n^1 - \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k}  + C_n^0 + C_n^1$
$\begin{array}
   \Rightarrow {S_3} = n{.2^{n - 1}} - {2^n} + 1  \\
   \Rightarrow {S_3} = (n - 2){.2^{n - 1}} + 1;\quad \forall n \in \mathbb{N};n \geqslant 2  \\
\end{array} $
c. ${S_4} = n{.2^{n - 1}}.C_n^0 + (n - 1){.2^{n - 2}}.3.C_n^1 + (n - 2){.2^{n - 3}}{.3^2}.C_n^2 + ... + {3^{n - 1}}.C_n^{n - 1};\quad n \in {\mathbb{N}^*}$
$ \Rightarrow {S_4} = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {(n - k){{.2}^{n - k - 1}}{{.3}^k}.C_n^k = } \;\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{2^{n - k - 1}}{{.3}^k}.(n - k).C_n^{n - k}} $
$ \Rightarrow {S_4} = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{2^{n - k - 1}}{{.3}^k}.n.C_{n - 1}^{n - k - 1}} $
$\begin{array}
   \Rightarrow {S_4} = n({2^{n - 1}}{.3^0}.C_{n - 1}^{n - 1} + {2^{n - 2}}{.3^2}.C_{n - 1}^{n - 2} + ... + {2^0}{.3^{n - 1}}.C_{n - 1}^0)  \\
   \Rightarrow {S_4} = n.{(2 + 3)^{n - 1}}  \\
   \Rightarrow {S_4} = n{.5^{n - 1}};\quad \forall n \in \mathbb{N};n > 1  \\
\end{array} $
d. ${S_5} = {4.5^3}.C_{2009}^0 + {5.5^4}.C_{2009}^1 + ... + {2013.5^{2012}}.C_{2009}^{2009}$
$\begin{array}
   \Rightarrow {S_5} = \sum\limits_{k = 0}^{2009} {(k + 4){{.5}^{k + 3}}.C_{2009}^k}  = \sum\limits_{k = 0}^{2009} {k{{.5}^{k + 3}}.C_{2009}^k}  + \sum\limits_{k = 0}^{2009} {{{4.5}^{k + 3}}.C_{2009}^k}   \\
   \Rightarrow {S_5} = \sum\limits_{k = 0}^{2009} {{5^{k + 3}}.k.C_{2009}^k}  + \sum\limits_{k = 0}^{2009} {{{4.5}^{k + 3}}.C_{2009}^k}   \\
   \Rightarrow {S_5} = {5^{0 + 3}}.0.C_{2009}^0 + \sum\limits_{k = 1}^{2009} {{5^4}{{.5}^{k - 1}}.2009.C_{2008}^{k - 1}}  + \sum\limits_{k = 0}^{2009} {{{4.5}^3}{{.5}^k}.C_{2009}^k}   \\
   \Rightarrow {S_5} = {2009.5^4}.({5^0}C_{2008}^0 + {5^1}C_{2008}^1 + ... + {5^{2008}}C_{2008}^{2008}) +   \\
  \quad \quad \quad \quad  + {4.5^3}.({5^0}C_{2009}^0 + {5^1}C_{2009}^1 + ... + {5^{2009}}C_{2009}^{2009})  \\
   \Rightarrow {S_5} = {2009.5^4}{.6^{2008}} + {4.5^3}{.6^{2009}}  \\
   \Rightarrow {S_5} = {10069.5^3}{.6^{2008}}  \\
\end{array} $

Bài 4:
Tính $S = C_n^0 - 2C_n^1 + 3C_n^2 - ... + {( - 1)^n}.(n + 1)C_n^n;\quad n \in \mathbb{N}$
Hướng dẫn:
Ta sử dụng công cụ đạo hàm:
Xét đa thức $f(x) = x(1+x)^n =$ $C_n^0x + C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} + ... + C_n^n{x^{n + 1}};\quad n \in {\mathbb{N}^*}$  $D=R$
Ta có ${f^'}(x) = $$C_n^0 + C_n^1.2x + C_n^23{x^2} + ... + C_n^n.(n + 1){x^n} = {(1 + x)^n} + nx{(1 + x)^{n - 1}}$
$ \Rightarrow {f^'}( - 1) = $$C_n^0 - 2C_n^1 + 3C_n^2 - ... + {( - 1)^n}.(n + 1)C_n^n = {f^'}( - 1) = 0$

Lưu ý: Để tính các tổng
${S_1} = C_n^0 + 2aC_n^1 + 3{a^2}C_n^2 + ... + (n + 1){a^n}C_n^n;\quad $
${S_2} = C_{2n}^0 + 3{a^2}C_{2n}^2 + 5{a^4}C_{2n}^4 + ... + (2n + 1){a^{2n}}C_{2n}^{2n};\quad $
Ta xét đa thức $f(x) = x(1+x)^n$ và chứng tỏ rằng $S_1=f’(a)$;
Ta xét đa thức $g(x) = x(1+x)^{2n}$ và chứng tỏ rằng $2S_2=g’(a)+g’(-a); 2S3=g’(a)-g’(-a)$

Bài 5:
Tính $S = {1^2}C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {3^2}C_n^3 + ... + {n^2}C_n^n$.
Hướng dẫn:
Ta sử dụng công cụ đạo hàm:
${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
Đạo hàm 2 vế ta được
$n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2x + ... + C_n^n.n{x^{n - 1}}$
Nhân 2 vế với x
$nx{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1x + C_n^2.2{x^2} + ... + C_n^n.n{x^n}$
Đạo hàm 2 vế lần nữa ta được
$n{(1 + x)^{n - 1}} + n(n - 1)x{(1 + x)^{n - 2}} = C_n^1 + C_n^2{2^2}x + ... + C_n^n{n^2}{x^{n - 1}}$
Thế $x = 1$ ta được
$n{.2^{n - 1}} + n(n - 1){2^{n - 2}} = S$
Hay $S = n(n + 1){2^{n - 2}}$

Bài 6:
Tính  ${S_1} = C_n^0 + \frac{1}{2}.C_n^1 + \frac{1}{3}.C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 1}}.C_n^n\quad ;n \in {\mathbb{N}^*}$
Hướng dẫn:
Ta sử dụng công cụ tích phân:
Xét đa thức $f(x) = $${(1 + x)^n} = C_n^0 + x.C_n^1 + {x^2}.C_n^2 + ... + {x^n}.C_n^n\quad \forall x \in \mathbb{R};n \in {\mathbb{N}^*}$
Suy ra:  $\int\limits_0^1 {f(x)dx}  = $$C_n^0 + \frac{1}{2}.C_n^1 + \frac{1}{3}.C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 1}}.C_n^n = {S_1} $
$\Rightarrow {S_1} = \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1 \\
  0
\end{array} = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}} \right.$

Lưu ý: Để tính các tổng
$S = (b - a)C_n^0 + \frac{{{b^2} - {a^2}}}{2}.C_n^1 + \frac{{{b^3} - {a^3}}}{3}.C_n^2 + ... + \frac{{{b^{n + 1}} - {a^{n + 1}}}}{{n + 1}}.C_n^n\quad ;n \in {\mathbb{N}^*}$
Hãy chứng tỏ rằng $S = $$\int\limits_a^b {f(x)dx} ;\,\,f(x) = {(1 + x)^n}$

Bài 7:
$S = \frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 - ... + {( - 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n$
Hướng dẫn:
 $\int\limits_0^1 {x{{(1 - x)}^n}dx = \int\limits_0^1 {\left[ {C_o^nx - C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} - ... + C_n^n{x^{n + 1}}} \right]} } dx$
Tính $\int\limits_0^1 {x{{(1 - x)}^n}dx} $. Đặt $u = 1 - x \Rightarrow du =  - dx$, $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = 0 \Rightarrow u = 1} \\
  {x = 1 \Rightarrow u = 0}
\end{array}} \right.$.
$\int\limits_0^1 {x{{(1 - x)}^n}dx}  = \int\limits_0^1 {(1 - u){u^n}du = \left. {\frac{{{u^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|} _0^1 - \left. {\frac{{{u^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right|_0^1$
$= \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}$
$\begin{array}
  \int\limits_0^1 {\left[ {C_n^0x - C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} - ... + {{( - 1)}^n}C_n^n{x^{n + 1}}} \right]} dx  \\
   = \left. {\left[ {C_n^0\frac{{{x^2}}}{2} - C_n^1\frac{{{x^3}}}{3} + C_n^2\frac{{{x^4}}}{4} - ... + {{( - 1)}^n}C_n^n\frac{{{x^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right]} \right|_0^1  \\
   = \frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 - ... + {( - 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n  \\
   = S  \\
\end{array} $
Vậy $S = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}$

Các phương pháp đạo hàm và tích phân trong tổ hợp sẽ được trình bày chi tiết ở các chuyên đề:

-  Sử dụng công cụ đạo hàm trong giải toán tổ hợp

-  Sử dụng công cụ tích phân trong giải toán tổ hợp

BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1:

Tính tổng
a. ${S_1} = {1.2^0}.C_n^1 + {2.2^1}.C_n^2 + {3.2^2}.C_n^3 + ..... + n{.2^{n - 1}}.C_n^n\quad \forall n \in \mathbb{N};n > 1$
b. ${S_2} = 2.C_{2n + 1}^2 + 4.C_{2n + 1}^4 + ..... + 2n.C_{2n + 1}^{2n}$
c. ${S_3} = 2.C_{2n}^2 + 4.C_{2n}^4 + ..... + 2n.C_{2n}^{2n}$
Bài 2:
Cho $a > 0; $$n \in {\mathbb{N}^*}$. Hãy tính tổng
a. ${S_1} = 1.2.C_{n + 1}^1 + 3.4.{a^2}.C_{n + 1}^2 + ..... + (2n + 1)(2n + 2).{a^{2n}}.C_{n + 1}^{n + 1}$
b. ${S_2} = C_n^0 + 2a.C_n^1 + 3{a^2}.C_n^2 + ..... + (n + 1){a^n}.C_n^n$
c. ${S_3} = C_{2n}^0 + 3{a^2}.C_{2n}^2 + 5{a^4}.C_{2n}^4 + ..... + (2n + 1){a^{2n}}.C_{2n}^{2n}$
d. ${S_4} = 2a.C_{2n}^1 + 4{a^3}.C_{2n}^3 + 6{a^5}.C_{2n}^5 + ..... + 2n.{a^{2n - 1}}.C_{2n}^{2n - 1}$
Bài 3:
Tính $S = \frac{1}{3}C_n^0 + \frac{1}{4}C_n^1 + \frac{1}{5}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 3}}C_n^n$
Bài 4:
Tính tổng $S = \frac{1}{{n + 1}}C_n^0 - \frac{1}{n}C_n^1 + \frac{1}{{n - 1}}C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$
Bài 5:
Tính
$S = {2012.3^{2011}}C_{2012}^0 - {2011.3^{2010}}C_{2012}^1 + {2010.3^{2009}}C_{2012}^2 - ... + 2.3C_{2012}^{2010} - C_{2012}^{2011}$
Bài 6:
Tính tổng
a. ${S_1} = C_n^0 + \frac{1}{2}.C_n^1 + \frac{1}{3}.C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 1}}.C_n^n\quad ;n \in {\mathbb{N}^*}$
b. ${S_2} = \frac{{{2^2}}}{2}.C_n^1 + \frac{{{2^3}}}{3}.C_n^2 + \frac{{{2^4}}}{4}.C_n^3 + ... + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}.C_n^n\quad (n \in \mathbb{N};n > 1)$
c. ${S_3} = \frac{1}{2}.C_{2n}^1 + \frac{1}{4}.C_{2n}^3 + \frac{1}{6}.C_{2n}^5 + ... + \frac{1}{{2n}}.C_{2n}^{2n - 1}\quad (n \in \mathbb{N};n > 1)$
d. ${S_4} = 2.C_n^0 + \frac{{{3^2} - 1}}{2}.C_n^1 + \frac{{{3^3} - 1}}{3}.C_n^2 + \frac{{{3^4} - 1}}{4}.C_n^3 + ... + \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}.C_n^n\quad (n \in {\mathbb{N}^*})$
e. ${S_5} = {2^0}C_n^0 - \frac{{{2^2}}}{2}.C_n^1 + \frac{{{2^3}}}{3}.C_n^2 - \frac{{{2^4}}}{4}.C_n^3 + ... + {( - 1)^n}\frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}.C_n^n\quad (n \in {\mathbb{N}^*})$
f.  ${S_6} = \frac{{b - a}}{1}C_n^0 + \frac{{{b^2} - {a^2}}}{2}.C_n^1 + \frac{{{b^3} - {a^3}}}{3}.C_n^2 + ... + \frac{{{b^{n + 1}} - {a^{n + 1}}}}{{n + 1}}.C_n^n\quad (n \in {\mathbb{N}^*};a;b \in \mathbb{R})$

hay qua.. –  ntdragon9xhn 17-05-13 06:12 PM

Thẻ

Lượt xem

31774
Chat chit và chém gió
  • Windy: tát người ta k tiếc tay mà lại còn,,, 8/1/2014 11:51:32 PM
  • Min Tồ: cơ mà ko thấy người đâu 8/1/2014 11:51:35 PM
  • Windy: ồ ồ 8/1/2014 11:51:39 PM
  • Min Tồ: lày nhá 8/1/2014 11:51:43 PM
  • Windy: phải xin phép nữa á 8/1/2014 11:51:48 PM
  • Min Tồ: đc c tát là có phúc nữa đấy 8/1/2014 11:51:55 PM
  • Min Tồ: tay ngọc tay ngà 8/1/2014 11:52:01 PM
  • Min Tồ: cool 8/1/2014 11:52:02 PM
  • Windy: ờ hờ hờ 8/1/2014 11:52:09 PM
  • Windy: thế mà sao e cảm nhận thấy 8/1/2014 11:52:20 PM
  • Windy: nó thô thô thế nào írolling_on_the_floor 8/1/2014 11:52:30 PM
  • Min Tồ: hẳn là thô ngay cả khi chưa có diễm phúc chạm nhẹ vào nó 8/1/2014 11:53:10 PM
  • Min Tồ: oh_go_on 8/1/2014 11:53:17 PM
  • Windy: :3 8/1/2014 11:53:25 PM
  • jea¤¤student: xàm 8/1/2014 11:53:55 PM
  • Min Tồ: chắc xàm nerd 8/1/2014 11:54:37 PM
  • Min Tồ: mà jea này 8/1/2014 11:54:41 PM
  • Min Tồ: t đc phép ns r chứ 8/1/2014 11:54:52 PM
  • Min Tồ: lúc này chưa có cảm hứng để im 8/1/2014 11:55:11 PM
  • Windy: yawn 8/1/2014 11:56:22 PM
  • Min Tồ: em không tồn tại crying crying crying 8/1/2014 11:56:38 PM
  • Windy: ??/ 8/1/2014 11:57:19 PM
  • Min Tồ: chị.... crying 8/1/2014 11:57:50 PM
  • Windy: là thao?chị? 8/1/2014 11:58:04 PM
  • Min Tồ: c yêu anh Soobin crying 8/1/2014 11:58:09 PM
  • Windy: :3 8/1/2014 11:58:16 PM
  • Windy: e yêu roai bóng rổ 8/1/2014 11:58:29 PM
  • Windy: í hí hí 8/1/2014 11:58:32 PM
  • Min Tồ: anh ý hát hay lắm lắm í 8/1/2014 11:58:37 PM
  • Min Tồ: crying 8/1/2014 11:58:38 PM
  • Min Tồ: bóng rổ à laughing 8/1/2014 11:58:47 PM
  • Min Tồ: chắc 8/1/2014 11:58:49 PM
  • Min Tồ: chị 8/1/2014 11:58:52 PM
  • Min Tồ: đứng chưa đến vai họ 8/1/2014 11:59:00 PM
  • Min Tồ: rolling_on_the_floor 8/1/2014 11:59:03 PM
  • Min Tồ: chắc đến eo thôi 8/1/2014 11:59:09 PM
  • Min Tồ: -_- 8/1/2014 11:59:12 PM
  • Windy: e cũng có khác j đâu ==' 8/1/2014 11:59:17 PM
  • Windy: mà sao 8/1/2014 11:59:19 PM
  • Windy: tự dưng 8/1/2014 11:59:22 PM
  • Windy: chị nhắc chiều cao làm chi 8/1/2014 11:59:29 PM
  • Windy: tụt hết cả cảm xúc 8/1/2014 11:59:37 PM
  • Windy: -_- 8/1/2014 11:59:40 PM
  • Min Tồ: hế hế 8/1/2014 11:59:43 PM
  • Min Tồ: kệ chứ 8/1/2014 11:59:49 PM
  • Min Tồ: c vẫn tự tin lắm cool 8/1/2014 11:59:55 PM
  • Min Tồ: nc vs cnó 8/1/2014 11:59:59 PM
  • Min Tồ: chả ai 8/2/2014 12:00:00 AM
  • Min Tồ: dám 8/2/2014 12:00:01 AM
  • Min Tồ: vênh mặt vs mình 8/2/2014 12:00:06 AM
  • Min Tồ: cool 8/2/2014 12:00:08 AM
  • Min Tồ: c toàn vênh mặt lên nc thôi 8/2/2014 12:00:14 AM
  • Windy: chuẩnlaughing 8/2/2014 12:00:17 AM
  • Windy: cơ mà 8/2/2014 12:00:34 AM
  • Windy: dạo này 8/2/2014 12:00:37 AM
  • Windy: e hơi bị cuồn mấy a chơi bóng rổ nhá 8/2/2014 12:00:51 AM
  • Windy: bị cuồng mất r 8/2/2014 12:00:57 AM
  • Min Tồ: ừ thì cuồng sad 8/2/2014 12:01:01 AM
  • Windy: blushing 8/2/2014 12:01:02 AM
  • Min Tồ: c chả ham hố 8/2/2014 12:01:07 AM
  • Windy: yawn 8/2/2014 12:01:45 AM
  • Windy: hầy 8/2/2014 12:01:48 AM
  • Min Tồ: say you love me 8/2/2014 12:02:13 AM
  • Min Tồ: i love to be love 8/2/2014 12:02:19 AM
  • Min Tồ: nhố nhố 8/2/2014 12:02:22 AM
  • Min Tồ: e buồn ngụ à 8/2/2014 12:02:27 AM
  • Windy: vâng 8/2/2014 12:02:34 AM
  • Windy: dạo này 8/2/2014 12:02:36 AM
  • Windy: e k thể cưỡng lại nổi sức hút từ... 8/2/2014 12:02:55 AM
  • Windy: thế nên 8/2/2014 12:03:00 AM
  • Windy: yawn 8/2/2014 12:03:05 AM
  • Min Tồ: haiz 8/2/2014 12:03:15 AM
  • Min Tồ: vỗ vai thông cảm 8/2/2014 12:03:22 AM
  • Min Tồ: thế e ngủ đo,hơn 12h r 8/2/2014 12:03:30 AM
  • Min Tồ: lát c ngủ sau :/ 8/2/2014 12:03:37 AM
  • Windy: vâng 8/2/2014 12:03:53 AM
  • Windy: chị nhớ lát ngủ đó 8/2/2014 12:04:01 AM
  • Min Tồ: everything oke 8/2/2014 12:04:07 AM
  • Min Tồ: à ừ 8/2/2014 12:04:09 AM
  • Windy: ngủ muộn hoài 8/2/2014 12:04:12 AM
  • Min Tồ: c sẽ ngủ 8/2/2014 12:04:12 AM
  • Min Tồ: mai c phải học mà 8/2/2014 12:04:15 AM
  • Min Tồ: big_grin 8/2/2014 12:04:17 AM
  • Min Tồ: k ngủ sao sống 8/2/2014 12:04:22 AM
  • Windy: big_grin 8/2/2014 12:04:26 AM
  • Windy: túc tị ngủ ngoăn 8/2/2014 12:04:54 AM
  • Windy: big_hug 8/2/2014 12:05:05 AM
  • Min Tồ: tị là cái gì -_- bị nhịu hồi nào đấy 8/2/2014 12:05:38 AM
  • Min Tồ: bỏ lại sau lưng tất cả 8/2/2014 12:05:49 AM
  • Windy: e ngủ đây 8/2/2014 12:06:19 AM
  • Windy: bye c 8/2/2014 12:06:22 AM
  • Min Tồ: ừ 8/2/2014 12:07:09 AM
  • Min Tồ: ngủ ngoan e 8/2/2014 12:07:13 AM
  • Min Tồ: big_hug 8/2/2014 12:07:17 AM
  • Min Tồ: con hâm lại lủi thủi 1 mình -_- 8/2/2014 12:12:04 AM
  • Min Tồ: ________giờ hoàng đạo. ngủ nào người còn onl ____________ 8/2/2014 12:56:57 AM
  • ♥ckcủacongáiMAFIA♥: có ai onl ko 8/2/2014 7:48:38 AM
  • Trần Lê Minh Đức: có ai không 8/2/2014 11:23:44 AM
  • Trần Lê Minh Đức: hỏi phương trình lượng giác tí 8/2/2014 11:23:56 AM
  • Trần Lê Minh Đức: 3/cosx + tan^2 x = 9 giải thế nào ...? 8/2/2014 11:24:35 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Đỗ Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Bảo Bảo ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • trymybest123456789
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • jea¤¤student
  • Death
  • devilphuong96
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • hoang10a5.bc
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • kto138
  • Mưa Mong Manh
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Windy
  • kuzulies
  • ♥♥Hoàng Huy♥♥
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • meobeopupu
  • trangdangkute2002