SỐ PHỨC - MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CĂN BẢN


I.    LÝ THUYẾT

1.Khái niệm:
Số phức là một biểu thức có dạng $a + bi$ với $a,b \in \mathbb{R},\;{i^2} = - 1$
Kí hiệu : $z = a + bi$ với $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo, $i$ là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức được kí hiệu : $\mathbb{C}$
Lưu ý :
Mỗi số thực $a$ đều được xem là $1$ số phức với phần ảo $b=0$
Số phức có phần thực $a=0$ được gọi là số thuần ảo .
Số $0$ vừa là số thực vừa là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau :
Cho $z=a+bi$ và $z’=a’+b’i$ thì       $z = z' \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  a = a' \\
  b = b' \\
\end{gathered}  \right.$
3.Biểu diễn hình học của số phức :
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm $M(a;b)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
4. Phép cộng và phép trừ các số phức :
Cho $2$ số phức $z=a+bi$ và $z’=a’+b’i$ thì
$z+z’=(a+a’) + (b+b’)i$ và $z-z’=(a-a’) + (b-b’)i$
5.Phép nhân số phức :
Cho $2$ số phức $z=a+bi$ và $z’=a’+b’i$ thì
 $z.z’=(aa’-bb’)+ (ab’+a’b)i$
6.Số phức liên hợp :
Cho số phức $z=a+bi.$ Số phức $\overline z $$=a-bi$ được gọi là số phức liên hợp của số phức $z$
7. Mô đun của số phức :
Cho $z=a+bi$ thì $\left| z \right|$ là mô đun của số phức $z$ đó là số thực không âm được xác định như sau :
•    Nếu $M(a;b)$ biểu diễn số phức $z =a+bi$ thì $\left| z \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
•    Nếu $z=a+bi$ thì $\left| z \right| = \sqrt {z.\overline z }  = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
8.Phép chia số phức khác 0:
Cho số phức $z=a+bi$ thì số phức nghịch đảo của số phức $z$ là ${z^{ - 1}}$được xác định như sau
${z^{ - 1}} = \frac{1}{z} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}$

Chú ý : Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức cũng có đầy đủ các tính chất giao hoán, phân phối , kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.

Các dạng bài tập căn bản:
•    Tính phần thực, phần ảo của biểu thức phức
•    Tính modun, liên hợp của số phức
•    Tính toán trên các biểu thức phức
Lưu ý : Ta tính toán trong số phức như tính trong tập số thực.
Khi gặp $i^2$ thì ta thay bởi $-1$, và khi thực hiện phép chia thì ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức :
Phương pháp :
Biến đổi số phức về dạng $z= a+ bi$ từ đó xác định được phần thực $a$, phần ảo $b$.

Bài 1:
Tìm phần thực và phần ảo của số phức $z = \frac{{(3 + 2i)(\overline {2 + 5i)} }}{{{{(4 + 3i)}^2}}} - {(3 + i)^3}$
Hướng dẫn:
Tính liên hợp của $2+5i$ là $2-5i$ rồi nhân với $3+2i$, ta được $16-11i$
Khai triển bình phương của $4+3i$, được $7+24i$
Nhân tử và mẫu với $7-24i$, được $\frac{-152-461i}{25}$
Khai triển $(3+i)^3$, được $18+26i$
Thực hiện phép trừ, kết quả cuối cùng là :
$Re(z) = \frac{-602}{25} , Im(z) = \frac{-696}{25}$

Bài 2:
Tìm phần thực và phần ảo của các số phức z biết :
a. $z = {\left( { - i} \right)^{2009}}$
b. $\overline z  = {\left( {\sqrt 2  + i} \right)^2}{\left( {1 - \sqrt 2 i} \right)^2}$
c.$z$ thỏa mãn điều kiện : $\left( {2 - 3i} \right)z + \left( {4 + i} \right)\overline z  =  - {\left( {1 + 3i} \right)^2}$
d. $z$ thỏa mãn điều kiện : ${\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z$
Hướng dẫn:
a. $z = {\left( {1 - i} \right)^{2009}} = {\left( {1 - i} \right)^{2008}}\left( {1 - i} \right) = {\left[ {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right]^{1004}}\left( {1 - i} \right) = {2^{1004}} - {2^{1004}}i \\\Rightarrow a = {2^{1004}};\;b =  - {2^{1004}}$
b. $\overline z  = 5 + \sqrt 2 \,i \Rightarrow z = 5 - \sqrt 2 \;i$
c. Gọi z = a + bi $\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi$
Thay vào đẳng thức đã cho tìm được  $a = -2 , b = 5 $
d. $z = \frac{{8 + i}}{{2i + 1}} = 2 - 3i \Rightarrow a = 2;\;b =  - 3$

Bài 3:
Cho số phức $z = a + bi$$\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$. Hỏi các số sau đây là số thực hay số ảo:
a) ${z^2} - {\left( {\bar z} \right)^2}$                                                  b) $\frac{{{z^2} + {{\left( {\bar z} \right)}^2}}}{{1 + z\bar z}}$
Hướng dẫn:
a) ${z^2} - {\left( {\bar z} \right)^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} - {\left( {a - bi} \right)^2} = 4abi$ là số ảo
b) $\frac{{{z^2} + {{\left( {\bar z} \right)}^2}}}{{1 + z\bar z}} = \frac{{{{\left( {a + bi} \right)}^2} + {{\left( {a - bi} \right)}^2}}}{{1 + \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right)}} = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{1 + {a^2} + {b^2}}}$ là số thực

Bài 4:
Tìm phần thực và phần ảo của số phức $z = {\left( {1 + i} \right)^n}$, biết $n \in \mathbb{N}$và thỏa mãn phương trình ${\log _4}\left( {n - 3} \right) + {\log _4}\left( {n + 9} \right) = 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện : $3 < n \in \mathbb{N}$
Giải phương trình ${\log _4}\left( {n - 3} \right) + {\log _4}\left( {n + 9} \right) = 3$ được $n = 7$
Tìm được $z = {\left( {1 + i} \right)^7} = {\left( {1 + i} \right)^6}\left( {1 + i} \right) = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^3}\left( {1 + i} \right) = 8 - 8i$

Bài tập tự giải:
Bài 1:
Tìm phần ảo của số phức $z$, biết: $\bar z = {(\sqrt 2  + i)^2}(1 - \sqrt 2 i)$.
Bài 2:
Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a)  $(4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i)$      
b)  $\frac{{\sqrt 3  - i}}{{1 + i}} - \frac{{\sqrt 2  + i}}{i}$

Loại 2 : Tính môđun, liên hợp của số phức :
Phương pháp :
Biến đổi số phức $z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi$
Biến đổi số phức về dạng $z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $

Bài 1:
Tìm môđun của số phức $z = 1 + 4i + {\left( {1 - i} \right)^3}$
Hướng dẫn:
Vì ${\left( {1 - i} \right)^3} = {1^3} - 3i + 3{i^2} - {i^3} = 1 - 3i - 3 + i =  - 2 - 2i$
Suy ra: $z =  - 1 + 2i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 $

Bài 2:
a.Tìm $\left| z \right|$ biết $z = 1 + 4i + {\left( {1 - i} \right)^3}$
b.Tìm $\left| {\overline z  + iz} \right|$ biết $\overline z  = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 - i}}$
Hướng dẫn:
a. $z =  - 1 + 2i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt 5 $
b.
$\begin{gathered}
  \overline z  = \frac{{ - 8}}{{1 - i}} =  - 4 - 4i \\
   \Rightarrow \overline z  + iz =  - 8 - 8i \\
   \Rightarrow \left| {\overline z  + iz} \right| = 8\sqrt 2 \\
\end{gathered} $

Bài 3:
Tìm $\overline z $ biết $z = \left( {1 + i} \right)\left( {3 - 2i} \right) + \frac{1}{{3 + 2i}}$
Hướng dẫn:
$z = \frac{{68}}{{13}} - \frac{{11}}{{13}}i \Rightarrow \overline z  = \frac{{68}}{{13}} + \frac{{11}}{{13}}i$

Bài tập tự giải:
Bài 1:
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 2 - 4i} \right|\, = \,\sqrt 5 $. Tìm số phức $z$ có modun lớn nhất
Bài 2:
Tính $\left| z \right|$, biết rằng:                       
a) $z = {\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)^3}$                             b)  $z = \frac{1}{{1 + i}} + \frac{1}{{1 - i}}$
c)  ${\left( {\sqrt 3  + i} \right)^3} - {\left( {\sqrt 3  - i} \right)^3}$            d)  $\frac{{{{\left( {\sqrt 3  + i} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt 3  - i} \right)}^2}}}$
Bài 3 :
Tìm liên hợp của các số phức
a. $z = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}\left( {\sqrt 2  - i} \right)}}{{\left( {\sqrt 2  + i} \right){{\left( {1 - i} \right)}^2}}}$                 b. $z = \frac{1}{{2i}} + \frac{3}{i} + \frac{6}{{5i}}$
c. $z = \left( {2 - 1} \right)\left( {1 + 2i} \right)\left( {3 - 4i} \right)$            d. $z = \frac{{\left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)\left( {2 - 4i} \right)}}{{2 + 3i}}$

Dạng 3. Tính toán trên các biểu thức phức
Phương pháp :
Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức

Bài 1:
Cho số phức $z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i$. Tính các số phức:
a.${\left( {\overline z } \right)^3}$
b.$1 + z + {z^2}$
Hướng dẫn:
a.${\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z  = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$
b.$1 + z + {z^2} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i$

Bài 2:
Tính tổng $1 + i + {i^2} + {i^3} + ...... + {i^{2009}}$
Hướng dẫn:
Ta có $1 - {i^{2010}} = \left( {1 - i} \right)\left( {1 + i + {i^2} + {i^3} + .... + {i^{2009}}} \right)$
Mà $1 - {i^{2010}} = 1 - {\left( {{i^2}} \right)^{1005}} = 1 - {\left( { - 1} \right)^{1005}} = 1 + 1 = 2$
$ \Rightarrow 1 + i + {i^2} + {i^3} + {i^4} + ..... + {i^{2009}} = \frac{2}{{1 - i}}$
Vậy $1 + i + {i^2} + {i^3} + .... + {i^{2009}} = \frac{2}{{1 - i}} = 1 + i$

Bài 3:
Cho $z = \frac{{1 - i}}{{1 + i}}$ . Hãy tính ${z^{2010}}$
Hướng dẫn:
$z = \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{{{{\left( {1 - i} \right)}^2}}}{{1 - {i^2}}} =  - i \Rightarrow {z^{2010}} = {\left( { - i} \right)^{2010}} = {\left[ {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right]^{1005}} =  - 1$

Bài 4:
Tính số phức :
a.$z = {\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8}$
b. $z = {\left( {1 + i} \right)^{15}}$
Hướng dẫn:
a. $\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}}}{{1 - {i^2}}} = i \Rightarrow \frac{{1 - i}}{{1 + i}} =  - i$
$ \Rightarrow z = {i^{16}} + {\left( { - i} \right)^8} = {\left( {{i^2}} \right)^8} - {\left[ {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right]^4} = 2$
b.
$\begin{gathered}
  {\left( {1 + i} \right)^2} = 2i \Rightarrow {\left( {1 + i} \right)^{14}} = {\left( {2i} \right)^{14}} = {\left[ {{{\left( {2i} \right)}^2}} \right]^7} =  - 128 \\
   \Rightarrow z = {\left( {1 + i} \right)^{15}} = {\left( {1 + i} \right)^{14}}\left( {1 + i} \right) =  - 128 - 128i \\
\end{gathered} $

Bài tập tự giải:
Bài 1 :
Thực hiện các phép tính :
$a.\frac{{4 - 3i}}{{1 + i}} + \frac{{1 + i}}{{4 - 3i}}$                                   b.$\frac{{\overline {7 - 2i} }}{{8 - 6i}}$
c. $\frac{{\left( {3 - 2i} \right)\left[ {\left( {4 + 3i} \right) - \left( {1 + 2i} \right)} \right]}}{{5 - 4i}}$           d. $2 - 5i + \frac{{1 + \sqrt 2 i}}{{2 + \sqrt 3 i}}$
Bài 2:
Rút gọn biểu thức sau:     
$a.\quad {(1 + i)^{25}}       b.\quad {\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 i}}{{1 - i}}} \right)^{20}}     c.\quad {\left( {1 - \frac{{\sqrt 3  - i}}{2}} \right)^{24}}.$
Bài 3:
Rút gọn biểu thức sau:     
a) ${\left( {\frac{{1 + 2\sqrt 3 }}{{1 - i}}} \right)^{20}}$           b) $\frac{{{{\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)}^{15}}}}{{{{\left( {1 - i} \right)}^{^{20}}}}}$+ $\frac{{{{\left( { - 1 - i\sqrt 3 } \right)}^{15}}}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^{20}}}}$

Thẻ

Lượt xem

45033
Chat chit và chém gió
  • Kanton: laughing 8/20/2017 2:31:48 AM
  • Kanton: à 8/20/2017 2:31:58 AM
  • Kanton: bà khi nào hk đó 8/20/2017 2:32:02 AM
  • Kanton: Hương chạy đâu r e? 8/20/2017 2:32:08 AM
  • Kanton: thinking 8/20/2017 2:32:11 AM
  • Lost: còn ai ko ? 8/20/2017 2:32:36 AM
  • ๖ۣۜSadღ: t 8/20/2017 2:32:49 AM
  • Lost: sr bà , nãy cúp điênk 8/20/2017 2:32:49 AM
  • ๖ۣۜSadღ: k s laughing 8/20/2017 2:32:55 AM
  • Lost: thôi, h t phải out 8/20/2017 2:33:00 AM
  • ๖ۣۜSadღ: thuj happy t ngu bmr 8/20/2017 2:33:05 AM
  • ๖ۣۜSadღ: uk 8/20/2017 2:33:07 AM
  • Lost: có việc 8/20/2017 2:33:08 AM
  • ๖ۣۜSadღ: z Bye ô 8/20/2017 2:33:09 AM
  • Lost: ừ, bye 8/20/2017 2:33:23 AM
  • Lost: ngủ ngon wave 8/20/2017 2:33:29 AM
  • Kanton: ... 8/20/2017 2:33:53 AM
  • Lost: bye a Huy 8/20/2017 2:33:59 AM
  • Kanton: nó lên chỉ để chào bà nhung 8/20/2017 2:34:01 AM
  • Kanton: laughing 8/20/2017 2:34:03 AM
  • Lost: :v 8/20/2017 2:34:05 AM
  • Kanton: chào Phúc 8/20/2017 2:34:07 AM
  • Kanton: laughing 8/20/2017 2:34:09 AM
  • Lost: h e mắc đi công chuyện 8/20/2017 2:34:11 AM
  • Kanton:8/20/2017 2:34:15 AM
  • Kanton: kcc cứ đi đi 8/20/2017 2:34:18 AM
  • Kanton: ... 8/20/2017 2:35:02 AM
  • Kanton: còn ai kov? 8/20/2017 2:35:05 AM
  • Kanton: -_- 8/20/2017 2:35:07 AM
  • ๖ۣۜSadღ: y big_grin 8/20/2017 2:35:44 AM
  • ๖ۣۜSadღ: t 8/20/2017 2:35:48 AM
  • Kanton: ... 8/20/2017 2:36:02 AM
  • Kanton: thôi xong 8/20/2017 2:36:06 AM
  • ๖ۣۜSadღ: s thế laughing 8/20/2017 2:36:11 AM
  • Kanton: còn 2 đứa thôi á 8/20/2017 2:36:14 AM
  • ๖ۣۜSadღ: chắc z t k bit 8/20/2017 2:36:19 AM
  • Kanton: mọi bữa còn bà Nga 8/20/2017 2:36:42 AM
  • Kanton: bh bả đi hk mất r 8/20/2017 2:36:48 AM
  • Kanton: sad 8/20/2017 2:36:49 AM
  • emily: e nè 8/20/2017 2:36:53 AM
  • Kanton: e làm gì bh ms trồi lên v? 8/20/2017 2:37:02 AM
  • Kanton: thinking 8/20/2017 2:37:04 AM
  • ๖ۣۜSadღ: laughing 8/20/2017 2:37:13 AM
  • emily: e k làm gì hết 8/20/2017 2:37:18 AM
  • Kanton: sao bh ms lên tiếng 8/20/2017 2:37:30 AM
  • Kanton: not_worthy 8/20/2017 2:37:35 AM
  • emily: ko 8/20/2017 2:37:46 AM
  • emily: happy 8/20/2017 2:37:56 AM
  • Kanton: à 8/20/2017 2:38:11 AM
  • Kanton: e ko đi sh à 8/20/2017 2:38:16 AM
  • Nguyễn Thành Long: . 8/20/2017 2:38:20 AM
  • emily: sao ạ? 8/20/2017 2:38:35 AM
  • Nguyễn Thành Long: rolling_on_the_floor 8/20/2017 2:38:37 AM
  • Kanton: . 8/20/2017 2:38:48 AM
  • emily: cười chi vậy? 8/20/2017 2:38:55 AM
  • ๖ۣۜSadღ: laughing 8/20/2017 2:39:06 AM
  • emily: I_dont_know 8/20/2017 2:39:56 AM
  • Kanton: bọn này điên cả r 8/20/2017 2:40:18 AM
  • Kanton: laughing 8/20/2017 2:40:20 AM
  • emily: shame_on_you 8/20/2017 2:40:37 AM
  • ๖ۣۜSadღ: có mk ô thoj :S vs e Long nữa 8/20/2017 2:40:50 AM
  • emily: anh Long chi đó hay cười lắm 8/20/2017 2:40:58 AM
  • Nguyễn Thành Long: :''> Hihi 8/20/2017 2:41:55 AM
  • emily: e thấy nhiều người đg onl mà k vào đây nhỉ? 8/20/2017 2:42:05 AM
  • Nguyễn Thành Long: Hơm biết rolling_on_the_floor 8/20/2017 2:42:16 AM
  • emily: đó 8/20/2017 2:42:27 AM
  • emily: lại cười 8/20/2017 2:42:32 AM
  • emily: phbbbbt 8/20/2017 2:43:05 AM
  • emily: anh ơi 8/20/2017 2:43:29 AM
  • Nguyễn Thành Long: straight_face 8/20/2017 2:43:31 AM
  • Nguyễn Thành Long: Sao hẻ? 8/20/2017 2:43:35 AM
  • emily: phbbbbt là chi vậy? 8/20/2017 2:43:39 AM
  • ๖ۣۜSadღ: họ treo nick 8/20/2017 2:43:43 AM
  • emily: là sao ạ? 8/20/2017 2:44:06 AM
  • Nguyễn Thành Long: rolling_on_the_floor Quỳ 8/20/2017 2:44:26 AM
  • Kanton: treo để coi bài thôi e 8/20/2017 2:44:30 AM
  • Kanton: laughing 8/20/2017 2:44:33 AM
  • emily: anh chị biết có trò chơi chi ko 8/20/2017 2:44:37 AM
  • emily: ns để e chơi cho đỡ chán 8/20/2017 2:44:50 AM
  • Kanton:8/20/2017 2:45:17 AM
  • Nguyễn Thành Long: .-. 8/20/2017 2:45:19 AM
  • Kanton: a cx đang chán đây 8/20/2017 2:45:21 AM
  • Kanton: laughing 8/20/2017 2:45:23 AM
  • Nguyễn Thành Long: Chán 8/20/2017 2:45:32 AM
  • Nguyễn Thành Long: cũng tốt rolling_on_the_floor 8/20/2017 2:45:37 AM
  • ๖ۣۜSadღ: laughing 8/20/2017 2:46:08 AM
  • Nguyễn Thành Long: big_grin Ngếm 8/20/2017 2:46:51 AM
  • ๖ۣۜSadღ: mỏi wa 8/20/2017 2:49:24 AM
  • ๖ۣۜSadღ: t off đây 8/20/2017 2:49:26 AM
  • ๖ۣۜSadღ: Bye mn 8/20/2017 2:49:28 AM
  • emily: bye 8/20/2017 2:53:32 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: ai rảnh không? t nhờ tí big_grin 8/20/2017 2:54:12 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: max rảnh ấy big_grin 8/20/2017 2:54:18 AM
  • Kanton: .. 8/20/2017 2:58:15 AM
  • Kanton: H e còn ko 8/20/2017 2:58:19 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: ? 8/20/2017 3:01:30 AM
  • Theasker: .. 8/20/2017 3:32:46 AM
  • dontwakemeup: giúp e bài này với các ac 8/20/2017 3:34:16 AM
  • dontwakemeup: Cho tam giác ABC vuông tại A và phân giác AD.CHO AB=c,AC=b.C/m:AD = bc/ (b+c).sin45 8/20/2017 3:34:19 AM
  • Kanton: ... 8/20/2017 5:44:45 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • Lỗi
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • Thìn
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minhˆˆ
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Efforts
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Lục Diệp Tử
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trangg"xxx Kiềuu"xxx
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • Hoàng Yến
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • White
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Lành
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDämonღ
  • phucanhthien
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • -
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • sin^2 (B)
  • cụ nhỏ
  • Update
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Tuyết Linh
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • trinh2005
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Cửu Thiên Vũ
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • cos^2(T)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • Băng
  • Lost
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • letrungthong1652003
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • ♫ ♥ ♫
  • benganxd2509
  • pnt2912003