CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET

I.                   NGUYÊN LÝ DIRICHLET
Nguyên lí Dirichlet:

Không thể nhốt $7$ chú thỏ vào $3$ cái lồng sao cho mỗi lồng không quá $2$ chú thỏ.

Nguyên lí Dirichlet tổng quát:
Nếu đặt $n$ viên bi vào $k$ cái hộp ($n,k$ nguyên dương), thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất $ \left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil$ viên bi, với
$ \left\lceil x \right\rceil$ là số nguyên bé nhất không nhỏ hơn $x$.

Nguyên lí Dirichlet (còn gọi là nguyên lí chuồng bồ câu) tuy có phát biểu đơn giản nhưng lại được vận dụng rất nhiều trong thực tế. Nhờ nguyên lí này mà trong nhiều trường hợp, người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm kiếm cụ thể.

 

II.                BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 1:

Một trường học có $1000$ học sinh gồm $23$ lớp. Chứng minh rằng phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Giải:
Giả sử $23$ lớp mỗi lớp có không quá $43$ học sinh.
Khi đó số học sinh là:
$43.23 = 989$ học sinh (ít hơn $1000 – 989 = 11$ học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Bài 2:

Một lớp có $50$ học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

Giải:
Giả sử có không quá $4$ học sinh có tháng sinh giống nhau
Một năm có $12$ tháng, khi đó số học sinh của lớp có không quá: $12 . 4 = 48$ (học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

 

Bài 3:

Có năm loại học bổng khác nhau. Hỏi rằng phải có ít nhất bao nhiêu sinh viên để chắc chắn rằng có ít ra là $6$ người cùng nhận học bổng như nhau.

Giải:

Gọi $N$ là số sinh viên, khi đó:
$ \left\lceil \frac{N}{5} \right\rceil =6 \Rightarrow 5 < \frac{N}{5}≤ 6$ hay  $25 < N ≤ 30$.
Vậy số N bé nhất thỏa mãn là $26$.
 

Bài 4:

Trong $45$ học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới $2$, chỉ có $2$ học sinh được điểm $10$. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên)

Giải:
Có $43$ học sinh phân thành $8$ loại điểm (từ $2$ đến $9$)
Giả sử trong $8$ loại điểm đều là điểm của không quá $5$ học sinh thì lớp học có:
$5 . 8 = 40$ học sinh, ít hơn $3$ học sinh so với $43$.
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.

 

Bài 5:

Một lớp học có $50$ học sinh, có duy nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là thiếu $3$ bài tập. Chứng minh rằng tồn tại $17$ học sinh thiếu $1$ số bài tập như nhau (trường hợp không thiếu bài tập coi như thiếu $0$ bài)

Giải:
Giả sử mỗi loại bài tập có $16$ học sinh.
Số học sinh không quá $16 × 3 = 48$ (thiếu $2$ học sinh).
Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất $17$ học sinh thiếu một số bài tập như nhau

III.             BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1:

Trong một phòng họp có $n$ người, bao giờ cũng tìm được $2$ người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau.

Giải:

Số người quen của mỗi người trong phòng họp nhận các giá trị từ $0$ đến $n – 1$. Rõ ràng trong phòng không thể đồng thời có người có số người quen là $0$ (tức là không quen ai) và có người có số người quen là $n – 1$ (tức là quen tất cả). Vì vậy theo số lượng người quen, ta chỉ có thể phân n người ra thành $n – 1$ nhóm.

Vậy theo nguyên lí Dirichlet tồn tai một nhóm có ít nhất $2$ người, tức là luôn tìm được ít nhất $2$ người có số người quen là như nhau.

 

Bài 2:

Trong một lưới ô vuông kích thước $5.5$, người ta điền ngẫu nhiên vào các ô một trong các giá trị $-1, 0$ hoặc $1$, sau đó tính tổng tất cả các ô theo hàng ; theo cột và theo hai đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tổng có giá trị bằng nhau.

Giải:

Gọi các tổng lần lượt là $S_1, S_2,..S_{12}$.
Có tất cả $12$ tổng. Ta nhận thấy rằng các tổng này chỉ có thể nhận các giá trị là $\{ -5, -4…0,…4, 5\}$. Có tất cả $11$ giá trị khác nhau. Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet ta suy ra điều cần chứng minh. 

 

Bài 3:

Giả sử trong một nhóm $6$ người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau.

Giải:

Gọi $A$ là một trong $6$ người. Trong số $5$ người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của $A$ hoặc có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$, điều này suy ra từ nguyên lí Dirichlet, vì những người khác chỉ có thể là bạn hoặc thù của $A$.
Trong trường hợp đầu ta gọi $B, C, D$ là bạn của $A$. nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với $A$ lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người $B, C, D$ không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau.
Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$. (ĐPCM)

 

Bài 4:

Có $5$ đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với mỗi đấu thủ khác. Chứng minh rằng trong suốt thời gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau.

Giải:

Ta có số trận đã đấu của mỗi người có thể là $0, 1, 2, 3,4$. Nhưng vì không thể có cùng lúc một người đã đấu $4$ trận và một người chưa đấu trận nào, nên có tối đa $4$ loại số trận đã đấu.

Vận dụng nguyên lý Dirichlet ta có ít nhất có $2$ người có cùng số trận đã đấu.

 

IV.             BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1:

Chia $50$ kẹo cho $10$ em bé (em nào cũng được chia kẹo). Chứng minh rằng dù chia cách nào đi nữa cũng tồn tại hai em có số kẹo bằng nhau.

Bài 2:

Bốn lớp $11A, 11B, 11C, 11D$ có tất cả $44$ học sinh giỏi, trong đó số học sinh giỏi của lớp $11D$ không quá $10$ người. Chứng minh rằng ít nhất một trong $3$ lớp $11A, 11B, 11C$ có số học sinh giỏi từ $12$ em trở lên.

Bài 3:

Có $33$ con chim đậu trên một sân vuông hình vuông cạnh $4m$.

Chứng minh rằng có ít nhất $3$ con đậu trong một đường tròn có bán kính $1m$

Bài 4:

Một cuộc họp gồm $12$ người tham dự để bàn về $3$ vấn đề. Có $8$ người phát biểu về vấn đề $I$, $5$ người phát biểu về vấn đề $II$ và $7$ người phát biểu về vấn đề $III$. Ngoài ra, có đúng $1$ người không phát biểu vấn đề nào.

Hỏi nhiều nhất là có bao nhiêu người phát biểu cả $3$ vấn đề.

Bài 5:

Có $17$ nhà bác học viết thư cho nhau trao đổi $3$ vấn đề. Chứng minh rằng luôn tìm được $3$ người cùng trao đổi một vấn đề.
 

Thẻ

× 156
× 25

Lượt xem

13698
Chat chit và chém gió
  • Kẹo Vị Táo: sao em làm đc????????????? 11/25/2014 11:14:10 PM
  • tuanthanh311297: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/128277/he-phuong-trinh 11/25/2014 11:14:23 PM
  • tuanthanh311297: haha 11/25/2014 11:14:26 PM
  • Kẹo Vị Táo: em xem r 11/25/2014 11:14:36 PM
  • Kẹo Vị Táo: khó chết đc 11/25/2014 11:14:41 PM
  • tuanthanh311297:11/25/2014 11:14:58 PM
  • Kẹo Vị Táo: anh lm thêm bài nào chưa? 11/25/2014 11:15:15 PM
  • tuanthanh311297: giờ ms làm 11/25/2014 11:15:24 PM
  • Kẹo Vị Táo: @@ 11/25/2014 11:15:31 PM
  • Kẹo Vị Táo: em đi ngủ đây 11/25/2014 11:15:41 PM
  • Kẹo Vị Táo: bibi anh 11/25/2014 11:15:45 PM
  • tuanthanh311297: đợi tí a lam cho 11/25/2014 11:15:55 PM
  • Kẹo Vị Táo: thế á 11/25/2014 11:16:03 PM
  • tuanthanh311297:11/25/2014 11:16:08 PM
  • tuanthanh311297: alo e ơi 11/25/2014 11:18:29 PM
  • Kẹo Vị Táo: đây anh 11/25/2014 11:18:38 PM
  • Kẹo Vị Táo: anh làm đc bài nào à 11/25/2014 11:18:46 PM
  • tuanthanh311297: bai 1 chuyên 2x sang bên kia xong bình hpuonwg nó lenne 11/25/2014 11:19:07 PM
  • tuanthanh311297: binh phương ll\ên 11/25/2014 11:19:26 PM
  • Kẹo Vị Táo: r sao anh? 11/25/2014 11:19:52 PM
  • tuanthanh311297: binh phương đi đã 11/25/2014 11:20:08 PM
  • Kẹo Vị Táo: em bp r 11/25/2014 11:20:18 PM
  • tuanthanh311297: xong lấy pt 2 - pt1 là ra 11/25/2014 11:20:21 PM
  • tuanthanh311297: alo eowi 11/25/2014 11:21:50 PM
  • Kẹo Vị Táo: @2 11/25/2014 11:22:16 PM
  • Hương Nguyễn: tuanthanh.....làm đc chưa b 11/25/2014 11:22:32 PM
  • Kẹo Vị Táo: em chưa ra 11/25/2014 11:22:38 PM
  • Hương Nguyễn: t đang tính nốt....sắp đc 11/25/2014 11:22:55 PM
  • tuanthanh311297: e chuyeenn 2x sang bên kia xong binh phươn nó lên 11/25/2014 11:22:56 PM
  • tuanthanh311297: t chưa lam rolling_on_the_floor đang lam hệ cho bé này đã 11/25/2014 11:23:12 PM
  • Kẹo Vị Táo: qua chỗ đấy r 11/25/2014 11:23:13 PM
  • Kẹo Vị Táo: cái mà pt2-pt1 cơ 11/25/2014 11:23:26 PM
  • Kẹo Vị Táo: ra cái gì ý 11/25/2014 11:23:35 PM
  • Hương Nguyễn: làm đi 11/25/2014 11:23:51 PM
  • Hương Nguyễn: rồi so kqua 11/25/2014 11:23:56 PM
  • tuanthanh311297: táo e biêt UCT ko?? 11/25/2014 11:24:19 PM
  • Kẹo Vị Táo: kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 11/25/2014 11:24:25 PM
  • tuanthanh311297: hương nguyễn thử máy tinh đi 11/25/2014 11:24:28 PM
  • Hương Nguyễn: mem nào nghĩ ra bài này làm tiêu tốn chất xám qá 11/25/2014 11:24:30 PM
  • Kẹo Vị Táo: anh thành anh ns chị tiết đi 11/25/2014 11:25:31 PM
  • tuanthanh311297: đợi tí 11/25/2014 11:25:39 PM
  • tuanthanh311297: e thử nhân 4 pt 2 xong nhân 3 pt 1 đi 11/25/2014 11:26:28 PM
  • tuanthanh311297: hương nguyễn 11/25/2014 11:27:42 PM
  • tuanthanh311297: táo 11/25/2014 11:28:27 PM
  • Kẹo Vị Táo: dạ 11/25/2014 11:28:35 PM
  • tuanthanh311297: lên mang seach cách sử dụng UCT đi là giải đk hệ đó 11/25/2014 11:28:57 PM
  • ankhatruongnguyen: cái hệ của Còi huynh thế là ra thôi 11/25/2014 11:31:21 PM
  • tuanthanh311297: táo bay luôn câu 3 nha 11/25/2014 11:31:27 PM
  • ankhatruongnguyen: chịu khó thế + một chút NT giải vô tỷ 11/25/2014 11:31:43 PM
  • ankhatruongnguyen: giải ra nghiệm 1 đều 11/25/2014 11:31:56 PM
  • tuanthanh311297: ankha giải luôn đi nhác làm quá 11/25/2014 11:32:03 PM
  • ankhatruongnguyen: chú ngồi viết đe 11/25/2014 11:32:13 PM
  • ankhatruongnguyen: t đi nghỉ 11/25/2014 11:32:17 PM
  • tuanthanh311297: t đã giải đâu 11/25/2014 11:32:35 PM
  • tuanthanh311297: loser 11/25/2014 11:32:44 PM
  • tuanthanh311297: táo ơiiiiiii 11/25/2014 11:32:48 PM
  • ankhatruongnguyen: ngồi mà thế t đi ngủ 11/25/2014 11:33:11 PM
  • tuanthanh311297: no no no 11/25/2014 11:33:39 PM
  • tuanthanh311297: t cũng đi ngủ 11/25/2014 11:33:54 PM
  • Hương Nguyễn: sad 11/25/2014 11:34:50 PM
  • tuanthanh311297: hương nguyên lam rồi đah lời giải đi bạn 11/25/2014 11:35:29 PM
  • Hương Nguyễn: dài lắm cậu ơi 11/25/2014 11:35:52 PM
  • tuanthanh311297: rolling_on_the_floor 11/25/2014 11:36:10 PM
  • tuanthanh311297: lam bài khác ko?? 11/25/2014 11:36:17 PM
  • Hương Nguyễn: c pải làm đi xong so chứ 11/25/2014 11:36:21 PM
  • Hương Nguyễn: ko đc.....phải làm đc ms yên....ko thể bỏ qua 11/25/2014 11:36:46 PM
  • tuanthanh311297: bài này ko có ý đinh làm rolling_on_the_floor 11/25/2014 11:37:24 PM
  • Hương Nguyễn: ôi thế mà nó bảo mình làm time_out 11/25/2014 11:38:14 PM
  • tuanthanh311297: táo owiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii nói nốt bài 3 nè e 11/25/2014 11:38:22 PM
  • tuanthanh311297: tại tui phải giải bài hệ khác rolling_on_the_floor 11/25/2014 11:38:34 PM
  • Hương Nguyễn: cơ mà đề này tào lao sao sao ấy 11/25/2014 11:40:54 PM
  • tuanthanh311297: ờ http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/128277/he-phuong-trinh 11/25/2014 11:43:19 PM
  • tuanthanh311297: rảnh thì lam câu này đi tui đi ngủ cái mất ngủ mấy ngay rồi 11/25/2014 11:43:42 PM
  • ankhatruongnguyen: tào lao thế quái nàobig_grin 11/25/2014 11:44:00 PM
  • Hương Nguyễn: laughing viết + nháp gần hết tờ a4 vẫn chưa ra kqua cuối cùng 11/25/2014 11:44:46 PM
  • Hương Nguyễn: dị.... 11/25/2014 11:44:53 PM
  • ankhatruongnguyen: để t đọc cho nhá:= 11/25/2014 11:45:56 PM
  • Hương Nguyễn: ừm 11/25/2014 11:47:15 PM
  • caonhungngok98: có ai còn thức hôm ạ 11/25/2014 11:50:43 PM
  • Hương Nguyễn: ankha cho t xin cái kqua mới laughing) 11/25/2014 11:52:23 PM
  • ankhatruongnguyen: trêu t à 11/25/2014 11:58:22 PM
  • ankhatruongnguyen: x=y=1 11/25/2014 11:58:27 PM
  • nick.phu2000: ai online ko 11/26/2014 1:25:28 AM
  • nick.phu2000: hiro 11/26/2014 1:25:37 AM
  • tuanthanh311297: ankhaaaaaaaaa 11/26/2014 3:01:07 PM
  • maimaiyeuem_nhutmmhuyenthoai: hello 11/26/2014 4:39:38 PM
  • maimaiyeuem_nhutmmhuyenthoai: ai online khong cho hỏi cái 11/26/2014 4:39:49 PM
  • Sát thủ:11/26/2014 4:39:58 PM
  • maimaiyeuem_nhutmmhuyenthoai: ê 11/26/2014 4:40:27 PM
  • Sát thủ: hả 11/26/2014 4:40:42 PM
  • maimaiyeuem_nhutmmhuyenthoai: một hộp 3 bi đỏ khác nhau và 3 bi vàng giống nhau 11/26/2014 4:41:51 PM
  • maimaiyeuem_nhutmmhuyenthoai: xếp 6 bi trên vào một dãy 7 ô trống 11/26/2014 4:42:21 PM
  • maimaiyeuem_nhutmmhuyenthoai: hỏi có bao nhiêu cách 11/26/2014 4:42:29 PM
  • maimaiyeuem_nhutmmhuyenthoai: sát thủ nkanh lên tui di học thêm 11/26/2014 4:44:11 PM
  • Sát thủ: chưa hokkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 11/26/2014 4:45:03 PM
  • maimaiyeuem_nhutmmhuyenthoai: vãi 11/26/2014 4:45:56 PM
  • maimaiyeuem_nhutmmhuyenthoai: xi đa 11/26/2014 4:46:04 PM
  • Sát thủ: kaka 11/26/2014 4:47:21 PM
  • Sát thủ: chán 11/26/2014 5:19:36 PM
  • Sát thủ: có ai ko 11/26/2014 5:19:40 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Angel
  • devilphuong96
  • Cát Buồn
  • tqmaries34
  • ankhatruongnguyen
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Còii
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • kto138
  • Sỏi Bự
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • ★.★Logarit★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • Thiên Nguyễn
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • SNHC
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • nambttvqht
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • Saori Hara
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • xuka.love.nobita.4ever
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Trúc Võ
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • cuubonghihi
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • maihd1980
  • thuphuong.020298
  • xq.qn96