CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET

I.                   NGUYÊN LÝ DIRICHLET
Nguyên lí Dirichlet:

Không thể nhốt $7$ chú thỏ vào $3$ cái lồng sao cho mỗi lồng không quá $2$ chú thỏ.

Nguyên lí Dirichlet tổng quát:
Nếu đặt $n$ viên bi vào $k$ cái hộp ($n,k$ nguyên dương), thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất $ \left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil$ viên bi, với
$ \left\lceil x \right\rceil$ là số nguyên bé nhất không nhỏ hơn $x$.

Nguyên lí Dirichlet (còn gọi là nguyên lí chuồng bồ câu) tuy có phát biểu đơn giản nhưng lại được vận dụng rất nhiều trong thực tế. Nhờ nguyên lí này mà trong nhiều trường hợp, người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm kiếm cụ thể.

 

II.                BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 1:

Một trường học có $1000$ học sinh gồm $23$ lớp. Chứng minh rằng phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Giải:
Giả sử $23$ lớp mỗi lớp có không quá $43$ học sinh.
Khi đó số học sinh là:
$43.23 = 989$ học sinh (ít hơn $1000 – 989 = 11$ học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Bài 2:

Một lớp có $50$ học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

Giải:
Giả sử có không quá $4$ học sinh có tháng sinh giống nhau
Một năm có $12$ tháng, khi đó số học sinh của lớp có không quá: $12 . 4 = 48$ (học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

 

Bài 3:

Có năm loại học bổng khác nhau. Hỏi rằng phải có ít nhất bao nhiêu sinh viên để chắc chắn rằng có ít ra là $6$ người cùng nhận học bổng như nhau.

Giải:

Gọi $N$ là số sinh viên, khi đó:
$ \left\lceil \frac{N}{5} \right\rceil =6 \Rightarrow 5 < \frac{N}{5}≤ 6$ hay  $25 < N ≤ 30$.
Vậy số N bé nhất thỏa mãn là $26$.
 

Bài 4:

Trong $45$ học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới $2$, chỉ có $2$ học sinh được điểm $10$. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên)

Giải:
Có $43$ học sinh phân thành $8$ loại điểm (từ $2$ đến $9$)
Giả sử trong $8$ loại điểm đều là điểm của không quá $5$ học sinh thì lớp học có:
$5 . 8 = 40$ học sinh, ít hơn $3$ học sinh so với $43$.
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.

 

Bài 5:

Một lớp học có $50$ học sinh, có duy nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là thiếu $3$ bài tập. Chứng minh rằng tồn tại $17$ học sinh thiếu $1$ số bài tập như nhau (trường hợp không thiếu bài tập coi như thiếu $0$ bài)

Giải:
Giả sử mỗi loại bài tập có $16$ học sinh.
Số học sinh không quá $16 × 3 = 48$ (thiếu $2$ học sinh).
Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất $17$ học sinh thiếu một số bài tập như nhau

III.             BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1:

Trong một phòng họp có $n$ người, bao giờ cũng tìm được $2$ người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau.

Giải:

Số người quen của mỗi người trong phòng họp nhận các giá trị từ $0$ đến $n – 1$. Rõ ràng trong phòng không thể đồng thời có người có số người quen là $0$ (tức là không quen ai) và có người có số người quen là $n – 1$ (tức là quen tất cả). Vì vậy theo số lượng người quen, ta chỉ có thể phân n người ra thành $n – 1$ nhóm.

Vậy theo nguyên lí Dirichlet tồn tai một nhóm có ít nhất $2$ người, tức là luôn tìm được ít nhất $2$ người có số người quen là như nhau.

 

Bài 2:

Trong một lưới ô vuông kích thước $5.5$, người ta điền ngẫu nhiên vào các ô một trong các giá trị $-1, 0$ hoặc $1$, sau đó tính tổng tất cả các ô theo hàng ; theo cột và theo hai đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tổng có giá trị bằng nhau.

Giải:

Gọi các tổng lần lượt là $S_1, S_2,..S_{12}$.
Có tất cả $12$ tổng. Ta nhận thấy rằng các tổng này chỉ có thể nhận các giá trị là $\{ -5, -4…0,…4, 5\}$. Có tất cả $11$ giá trị khác nhau. Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet ta suy ra điều cần chứng minh. 

 

Bài 3:

Giả sử trong một nhóm $6$ người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau.

Giải:

Gọi $A$ là một trong $6$ người. Trong số $5$ người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của $A$ hoặc có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$, điều này suy ra từ nguyên lí Dirichlet, vì những người khác chỉ có thể là bạn hoặc thù của $A$.
Trong trường hợp đầu ta gọi $B, C, D$ là bạn của $A$. nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với $A$ lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người $B, C, D$ không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau.
Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$. (ĐPCM)

 

Bài 4:

Có $5$ đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với mỗi đấu thủ khác. Chứng minh rằng trong suốt thời gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau.

Giải:

Ta có số trận đã đấu của mỗi người có thể là $0, 1, 2, 3,4$. Nhưng vì không thể có cùng lúc một người đã đấu $4$ trận và một người chưa đấu trận nào, nên có tối đa $4$ loại số trận đã đấu.

Vận dụng nguyên lý Dirichlet ta có ít nhất có $2$ người có cùng số trận đã đấu.

 

IV.             BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1:

Chia $50$ kẹo cho $10$ em bé (em nào cũng được chia kẹo). Chứng minh rằng dù chia cách nào đi nữa cũng tồn tại hai em có số kẹo bằng nhau.

Bài 2:

Bốn lớp $11A, 11B, 11C, 11D$ có tất cả $44$ học sinh giỏi, trong đó số học sinh giỏi của lớp $11D$ không quá $10$ người. Chứng minh rằng ít nhất một trong $3$ lớp $11A, 11B, 11C$ có số học sinh giỏi từ $12$ em trở lên.

Bài 3:

Có $33$ con chim đậu trên một sân vuông hình vuông cạnh $4m$.

Chứng minh rằng có ít nhất $3$ con đậu trong một đường tròn có bán kính $1m$

Bài 4:

Một cuộc họp gồm $12$ người tham dự để bàn về $3$ vấn đề. Có $8$ người phát biểu về vấn đề $I$, $5$ người phát biểu về vấn đề $II$ và $7$ người phát biểu về vấn đề $III$. Ngoài ra, có đúng $1$ người không phát biểu vấn đề nào.

Hỏi nhiều nhất là có bao nhiêu người phát biểu cả $3$ vấn đề.

Bài 5:

Có $17$ nhà bác học viết thư cho nhau trao đổi $3$ vấn đề. Chứng minh rằng luôn tìm được $3$ người cùng trao đổi một vấn đề.
 

Thẻ

× 156
× 25

Lượt xem

39939
Chat chit và chém gió
  • obest: . 11/18/2017 8:32:55 AM
  • obest: . 11/18/2017 8:32:56 AM
  • obest: . 11/18/2017 8:32:56 AM
  • obest: . 11/18/2017 8:32:56 AM
  • Dark: whistling 11/18/2017 5:13:54 PM
  • Dark: / 11/18/2017 5:14:08 PM
  • Dark: . 11/18/2017 5:14:09 PM
  • Dark: . 11/18/2017 5:14:09 PM
  • Dark: . 11/18/2017 5:14:10 PM
  • Dark: . 11/18/2017 5:14:10 PM
  • Dark: . 11/18/2017 5:14:10 PM
  • Dark: . 11/18/2017 5:14:10 PM
  • Dark: . 11/18/2017 5:14:11 PM
  • Dark: . 11/18/2017 5:14:11 PM
  • Linhlove: Hi mn 11/18/2017 5:28:09 PM
  • chịch là thượng sách: alo 11/18/2017 6:47:25 PM
  • chịch là thượng sách: alo 11/18/2017 6:47:30 PM
  • ๖ۣۜSadღ: l 11/18/2017 6:50:54 PM
  • lc1740705: mn ơi 11/18/2017 7:09:38 PM
  • ๖ۣۜSadღ: ? 11/18/2017 7:10:01 PM
  • chịch là thượng sách: ai đó 11/18/2017 7:11:00 PM
  • ๖ۣۜSadღ: ng 11/18/2017 7:18:45 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: cj gái big_hug 11/18/2017 7:19:17 PM
  • ๖ۣۜSadღ: helu e gái happy 11/18/2017 7:19:59 PM
  • ๖ۣۜSadღ: nay k đi chs hả 11/18/2017 7:20:02 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: mệt mún xỉu đi chs sao nổi ạ ^^ còn cj gái ? 11/18/2017 7:20:35 PM
  • ๖ۣۜSadღ: e bị ốm hả 11/18/2017 7:23:44 PM
  • ๖ۣۜSadღ: c ở nhà ngủ laughing 11/18/2017 7:23:49 PM
  • ๖ۣۜSadღ: lạnh lém laughing 11/18/2017 7:23:52 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: ừ hửm , nay gió lạnh thật nka ~~ , e cảm 11/18/2017 7:24:21 PM
  • ๖ۣۜSadღ: ăn rồi ngủ nhiu là hết ak happy 11/18/2017 7:24:38 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: ăn ngủ miết thành heo mất straight_face 11/18/2017 7:25:30 PM
  • ๖ۣۜSadღ: c tinh z mà laughing 11/18/2017 7:25:45 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: cj gái sướng oy , nghe bảo ngủ suốt mà T_T k bt 1 ngày cj đc ngủ nhiu tiếng 11/18/2017 7:26:58 PM
  • chịch là thượng sách: a z 11/18/2017 7:26:59 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: ? 11/18/2017 7:27:10 PM
  • ๖ۣۜSadღ: nhiu lém rolling_on_the_floor 11/18/2017 7:27:22 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: mak cj gái , 20-11 này cj tính qa nhà cô k 11/18/2017 7:28:19 PM
  • ๖ۣۜSadღ: chưa happy 11/18/2017 7:28:42 PM
  • ๖ۣۜSadღ: bc k wa nhà thày co đag dạy 11/18/2017 7:28:49 PM
  • ๖ۣۜSadღ: nên tinh ở nhà thoj 11/18/2017 7:28:56 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: nhà cô e xa quách xa lơ à ... 11/18/2017 7:29:52 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: ~~ muốn sang nhà cô thì vất vả ghê cơ ý 11/18/2017 7:30:08 PM
  • ๖ۣۜSadღ: nhà thầy c ngay cổng trg laughing 11/18/2017 7:30:52 PM
  • ๖ۣۜSadღ: cơ mà chả bh vòa laughing 11/18/2017 7:30:56 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: òa ... hok trò ngoan 11/18/2017 7:31:11 PM
  • ๖ۣۜSadღ: có ai vào đâu 11/18/2017 7:31:18 PM
  • ๖ۣۜSadღ: lp c chán lém 11/18/2017 7:31:23 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: cj , cơ mà nếu mua hoa ý , cj sẽ mua hoa giả hay hoa thật 11/18/2017 7:31:57 PM
  • ๖ۣۜSadღ: mấy ngày này ng ta thg mua hoa thật :0 11/18/2017 7:33:13 PM
  • ๖ۣۜSadღ: happy c chưa bh mua hoa giả happy 11/18/2017 7:33:29 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: rolling_on_the_floor tại hoa thật mua xong cô lấy có mỗi phong bì , 1 ngày sau cô quẳng 1 bông hoa hồng là 10 nghìn xuống đất 11/18/2017 7:34:24 PM
  • ๖ۣۜSadღ: rolling_on_the_floor uk 11/18/2017 7:35:05 PM
  • ๖ۣۜSadღ: cơ mà c vòa chs thầy cô có mua hoa đâu laughing 11/18/2017 7:35:14 PM
  • ๖ۣۜSadღ: c chỉ mua hoa khi tặng nhà trg thoj laughing theo phép lịch sự 11/18/2017 7:35:40 PM
  • ๖ۣۜSadღ: cn thầy cô c nghĩ nên mua cái # happy 11/18/2017 7:35:48 PM
  • ๖ۣۜSadღ: cái mà dùng đc ế laughing 11/18/2017 7:35:59 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: z cj sẽ mua j? 11/18/2017 7:38:24 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: gợi ý e vs 11/18/2017 7:38:28 PM
  • ๖ۣۜSadღ: cái này hơi khó nè 11/18/2017 7:43:19 PM
  • ๖ۣۜSadღ: thinking thầy giáo mua wa còn dễ 11/18/2017 7:43:30 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: -_- cô , cô cơ 11/18/2017 7:43:54 PM
  • ๖ۣۜSadღ: laughing thinking tích chén , cốc, sữa tắm ... 11/18/2017 7:46:42 PM
  • ๖ۣۜSadღ: j nữa nhể laughing k elx mua áo rolling_on_the_floor 11/18/2017 7:46:55 PM
  • ๖ۣۜSadღ: tranh happy 11/18/2017 7:47:00 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: -_- bt thế chả đi nx cho rồi 11/18/2017 7:50:29 PM
  • ๖ۣۜSadღ: thé thụ e cứ trung thành vs hoa đi ^^ 11/18/2017 7:51:25 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: hờ hờ ... ukm thì trung thành lần này vậy 11/18/2017 7:51:46 PM
  • ๖ۣۜSadღ: happy 11/18/2017 7:55:19 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: cj gái k đi măm à 11/18/2017 7:55:39 PM
  • ๖ۣۜSadღ: ms nấu e ak happy 11/18/2017 7:56:46 PM
  • ๖ۣۜSadღ: ở nhà ngủ vs ăn sg vch :laughing 11/18/2017 7:57:03 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: e ak .. mấy ngày này có ăn chi âu -_- ở nhà 1mk` nên lười 11/18/2017 7:57:54 PM
  • ๖ۣۜSadღ: bm e đâu 11/18/2017 7:58:19 PM
  • ๖ۣۜSadღ: a c e nữa 11/18/2017 7:58:24 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: a2 e hok ở HN rồi , pama cx làm ở HN nx 11/18/2017 7:59:34 PM
  • ๖ۣۜSadღ: hử thế đứa nào có a tên Hoàng 2k ý nhể 11/18/2017 8:00:41 PM
  • ๖ۣۜSadღ: k p e ak? 11/18/2017 8:00:44 PM
  • ๖ۣۜSadღ: thế e wor nhà vs ai 11/18/2017 8:00:50 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: ò hoàng 2k đó 11/18/2017 8:01:44 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: e ở 1 mk` 11/18/2017 8:02:01 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: a2 e = tuổi cj gái nà , cơ mà bận ôn đt nên đc trg` chuyển lên hn hok th 11/18/2017 8:02:29 PM
  • ๖ۣۜSadღ: hử 1 mk ư ??? 11/18/2017 8:02:30 PM
  • ๖ۣۜSadღ: ui 11/18/2017 8:02:36 PM
  • ๖ۣۜSadღ: đt QG hả happy 11/18/2017 8:02:40 PM
  • ๖ۣۜSadღ: siêu thế 11/18/2017 8:02:42 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: thi thoảng má vìa chơi rolling_on_the_floor 11/18/2017 8:02:49 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: ukm 11/18/2017 8:02:55 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: chả siêu đâu cj T_T , lớn mà tính cách thấy ghét 11/18/2017 8:03:16 PM
  • ๖ۣۜSadღ: hk giỏi thế cn j 11/18/2017 8:03:50 PM
  • ๖ۣۜSadღ: 1 mk ai nấu womc hoe ăn 11/18/2017 8:03:56 PM
  • ๖ۣۜSadღ: sắng dậy e lm tn? 11/18/2017 8:04:04 PM
  • ๖ۣۜSadღ: c lớn z mà cn k dám ở 1 mk happy 11/18/2017 8:04:14 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: e cx có dám đâu , nên ở nhà 1 mk` bật nhạc nghe cho đỡ sợ 11/18/2017 8:04:40 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: thì đặt đồng hồ báo thức á ... chỉ là e lm vỡ mấy cái đồng hồ luôn r straight_face 11/18/2017 8:05:06 PM
  • ๖ۣۜSadღ: ui khổ thân e wa 11/18/2017 8:05:53 PM
  • ๖ۣۜSadღ: bth bạn c bm nó đilm nó cũng ở nàh vs ôb 11/18/2017 8:06:05 PM
  • ๖ۣۜSadღ: mà c đi nấu cơm đây 11/18/2017 8:07:03 PM
  • ๖ۣۜSadღ: Bye e 11/18/2017 8:07:04 PM
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon: bb cj gái 11/18/2017 8:07:08 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • Ruanyu Jian
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • Thìn
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜIceღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • TQT☾♋
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minhˆˆ
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Trình Lộ Phong
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Giang Thần
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • Thanh yêu T
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • White
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Lành
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜGemღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • sin^2 (B)
  • cụ nhỏ
  • Update
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Tuyết Linh
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • Kenvil Trần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • trinh2005
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Cửu Thiên Vũ
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • Natsu
  • Băng
  • Gin
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Thị Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • nhathan61
  • ❦ Mưa ❦
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • Miumiu
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • caccontoi
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • nguyễn âu thi hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • nguyenquangtuan640