CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET

I.                   NGUYÊN LÝ DIRICHLET
Nguyên lí Dirichlet:

Không thể nhốt $7$ chú thỏ vào $3$ cái lồng sao cho mỗi lồng không quá $2$ chú thỏ.

Nguyên lí Dirichlet tổng quát:
Nếu đặt $n$ viên bi vào $k$ cái hộp ($n,k$ nguyên dương), thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất $ \left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil$ viên bi, với
$ \left\lceil x \right\rceil$ là số nguyên bé nhất không nhỏ hơn $x$.

Nguyên lí Dirichlet (còn gọi là nguyên lí chuồng bồ câu) tuy có phát biểu đơn giản nhưng lại được vận dụng rất nhiều trong thực tế. Nhờ nguyên lí này mà trong nhiều trường hợp, người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm kiếm cụ thể.

 

II.                BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 1:

Một trường học có $1000$ học sinh gồm $23$ lớp. Chứng minh rằng phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Giải:
Giả sử $23$ lớp mỗi lớp có không quá $43$ học sinh.
Khi đó số học sinh là:
$43.23 = 989$ học sinh (ít hơn $1000 – 989 = 11$ học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Bài 2:

Một lớp có $50$ học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

Giải:
Giả sử có không quá $4$ học sinh có tháng sinh giống nhau
Một năm có $12$ tháng, khi đó số học sinh của lớp có không quá: $12 . 4 = 48$ (học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

 

Bài 3:

Có năm loại học bổng khác nhau. Hỏi rằng phải có ít nhất bao nhiêu sinh viên để chắc chắn rằng có ít ra là $6$ người cùng nhận học bổng như nhau.

Giải:

Gọi $N$ là số sinh viên, khi đó:
$ \left\lceil \frac{N}{5} \right\rceil =6 \Rightarrow 5 < \frac{N}{5}≤ 6$ hay  $25 < N ≤ 30$.
Vậy số N bé nhất thỏa mãn là $26$.
 

Bài 4:

Trong $45$ học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới $2$, chỉ có $2$ học sinh được điểm $10$. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên)

Giải:
Có $43$ học sinh phân thành $8$ loại điểm (từ $2$ đến $9$)
Giả sử trong $8$ loại điểm đều là điểm của không quá $5$ học sinh thì lớp học có:
$5 . 8 = 40$ học sinh, ít hơn $3$ học sinh so với $43$.
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.

 

Bài 5:

Một lớp học có $50$ học sinh, có duy nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là thiếu $3$ bài tập. Chứng minh rằng tồn tại $17$ học sinh thiếu $1$ số bài tập như nhau (trường hợp không thiếu bài tập coi như thiếu $0$ bài)

Giải:
Giả sử mỗi loại bài tập có $16$ học sinh.
Số học sinh không quá $16 × 3 = 48$ (thiếu $2$ học sinh).
Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất $17$ học sinh thiếu một số bài tập như nhau

III.             BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1:

Trong một phòng họp có $n$ người, bao giờ cũng tìm được $2$ người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau.

Giải:

Số người quen của mỗi người trong phòng họp nhận các giá trị từ $0$ đến $n – 1$. Rõ ràng trong phòng không thể đồng thời có người có số người quen là $0$ (tức là không quen ai) và có người có số người quen là $n – 1$ (tức là quen tất cả). Vì vậy theo số lượng người quen, ta chỉ có thể phân n người ra thành $n – 1$ nhóm.

Vậy theo nguyên lí Dirichlet tồn tai một nhóm có ít nhất $2$ người, tức là luôn tìm được ít nhất $2$ người có số người quen là như nhau.

 

Bài 2:

Trong một lưới ô vuông kích thước $5.5$, người ta điền ngẫu nhiên vào các ô một trong các giá trị $-1, 0$ hoặc $1$, sau đó tính tổng tất cả các ô theo hàng ; theo cột và theo hai đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tổng có giá trị bằng nhau.

Giải:

Gọi các tổng lần lượt là $S_1, S_2,..S_{12}$.
Có tất cả $12$ tổng. Ta nhận thấy rằng các tổng này chỉ có thể nhận các giá trị là $\{ -5, -4…0,…4, 5\}$. Có tất cả $11$ giá trị khác nhau. Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet ta suy ra điều cần chứng minh. 

 

Bài 3:

Giả sử trong một nhóm $6$ người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau.

Giải:

Gọi $A$ là một trong $6$ người. Trong số $5$ người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của $A$ hoặc có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$, điều này suy ra từ nguyên lí Dirichlet, vì những người khác chỉ có thể là bạn hoặc thù của $A$.
Trong trường hợp đầu ta gọi $B, C, D$ là bạn của $A$. nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với $A$ lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người $B, C, D$ không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau.
Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$. (ĐPCM)

 

Bài 4:

Có $5$ đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với mỗi đấu thủ khác. Chứng minh rằng trong suốt thời gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau.

Giải:

Ta có số trận đã đấu của mỗi người có thể là $0, 1, 2, 3,4$. Nhưng vì không thể có cùng lúc một người đã đấu $4$ trận và một người chưa đấu trận nào, nên có tối đa $4$ loại số trận đã đấu.

Vận dụng nguyên lý Dirichlet ta có ít nhất có $2$ người có cùng số trận đã đấu.

 

IV.             BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1:

Chia $50$ kẹo cho $10$ em bé (em nào cũng được chia kẹo). Chứng minh rằng dù chia cách nào đi nữa cũng tồn tại hai em có số kẹo bằng nhau.

Bài 2:

Bốn lớp $11A, 11B, 11C, 11D$ có tất cả $44$ học sinh giỏi, trong đó số học sinh giỏi của lớp $11D$ không quá $10$ người. Chứng minh rằng ít nhất một trong $3$ lớp $11A, 11B, 11C$ có số học sinh giỏi từ $12$ em trở lên.

Bài 3:

Có $33$ con chim đậu trên một sân vuông hình vuông cạnh $4m$.

Chứng minh rằng có ít nhất $3$ con đậu trong một đường tròn có bán kính $1m$

Bài 4:

Một cuộc họp gồm $12$ người tham dự để bàn về $3$ vấn đề. Có $8$ người phát biểu về vấn đề $I$, $5$ người phát biểu về vấn đề $II$ và $7$ người phát biểu về vấn đề $III$. Ngoài ra, có đúng $1$ người không phát biểu vấn đề nào.

Hỏi nhiều nhất là có bao nhiêu người phát biểu cả $3$ vấn đề.

Bài 5:

Có $17$ nhà bác học viết thư cho nhau trao đổi $3$ vấn đề. Chứng minh rằng luôn tìm được $3$ người cùng trao đổi một vấn đề.
 

Thẻ

× 156
× 25

Lượt xem

12543
Chat chit và chém gió
  • Saori Hara: thời gian bạn nhặt đk 2 cái rìu thì jin nó bắn bạn đk 10 phát rồi đó là bạn lên tốc đọ đánh rồi đó 10/23/2014 12:29:12 AM
  • dangchutuan: hai ad khỏe hay yếu phụ thuộc rất nhiều vào tầm đánh 10/23/2014 12:29:37 AM
  • Saori Hara: jinx có bẩy và w nửa 10/23/2014 12:29:41 AM
  • tuanthanh31121997: chi cân kick hoat 2 riu thi thi băn 2 phát cung ngag jinx thôi 10/23/2014 12:29:45 AM
  • tuanthanh31121997: w tốc biên né 10/23/2014 12:30:04 AM
  • Saori Hara: ờ né 10/23/2014 12:30:23 AM
  • dangchutuan: né đc à 10/23/2014 12:30:32 AM
  • tuanthanh31121997: thưa sức w của jinx né thoải mái mà 10/23/2014 12:30:41 AM
  • Saori Hara: né thì hết nhặt rìu 10/23/2014 12:31:11 AM
  • tuanthanh31121997: 2 riu ma 10/23/2014 12:31:26 AM
  • Saori Hara: nó ném bẩy vào chỏ rìu bạn bay tới 10/23/2014 12:31:28 AM
  • Saori Hara: ns thật draven không nhặt đk rìu thì đánh cái j 10/23/2014 12:31:49 AM
  • dangchutuan: jinx ko cần w chỉ cần q cũng đủ teo 10/23/2014 12:31:50 AM
  • tuanthanh31121997: căn bản nha nói ad manh ngang nhau mà phụ thuôc vào tâm đanh đung ko 10/23/2014 12:31:59 AM
  • Saori Hara: vayne 10/23/2014 12:32:11 AM
  • tuanthanh31121997: thê jinx vs vayne ai ăn 10/23/2014 12:32:18 AM
  • Saori Hara: jinx có mắt tím jinx ăn 10/23/2014 12:33:05 AM
  • tuanthanh31121997: rõ rang vayne no thua tăm băn nhưng vayne vây ăn 10/23/2014 12:33:14 AM
  • Saori Hara: đứng xa bờ tường ra là ok chứ có j đâu 10/23/2014 12:33:25 AM
  • tuanthanh31121997: kể cả cso măt tim mà 10/23/2014 12:33:34 AM
  • dangchutuan: vayne late còn jinx đầu game 10/23/2014 12:33:42 AM
  • tuanthanh31121997: vayne no nhao lôi né hêt trơn skill junx 10/23/2014 12:33:59 AM
  • Saori Hara: đặt bẩy thì có gì mà né 10/23/2014 12:34:21 AM
  • tuanthanh31121997: có mù ms đi vào bẫy 10/23/2014 12:34:37 AM
  • dangchutuan: nếu đầu game jinx ko cho vayne pam thì sao nhỉ 10/23/2014 12:34:41 AM
  • Saori Hara: chỉ để bảo vệ tầm bắn thôi 10/23/2014 12:34:45 AM
  • tuanthanh31121997: riêng jinx chỉ cần găp graves là xác đinh 10/23/2014 12:35:11 AM
  • Saori Hara: muốn lộn đến gần jin thì phải đi vòng 10/23/2014 12:35:15 AM
  • dangchutuan: lộn đc tẹo 10/23/2014 12:35:31 AM
  • Saori Hara: chỉ cần thế là đủ 10/23/2014 12:35:43 AM
  • dangchutuan: ko khéo lộn xong dinh w thì mệt 10/23/2014 12:36:17 AM
  • tuanthanh31121997: thể loại như jinx twitch am sat phát ko cso chưa chay 10/23/2014 12:36:27 AM
  • Saori Hara: vayne không ăn đk jinx 10/23/2014 12:36:36 AM
  • Saori Hara: uk 10/23/2014 12:36:49 AM
  • Saori Hara: có nhiều con hành đk mà 10/23/2014 12:36:57 AM
  • dangchutuan: cuối game thì vayne ăn đc 10/23/2014 12:37:17 AM
  • tuanthanh31121997: căn bản mây chú chưa biêt sức manh draven trong tay cao thủ rồi 10/23/2014 12:37:19 AM
  • dangchutuan: chắc chắn 10/23/2014 12:37:27 AM
  • Saori Hara: thôi không phải chém 10/23/2014 12:37:34 AM
  • Saori Hara: cao thủ thì củng là kc thôi 10/23/2014 12:37:49 AM
  • dangchutuan: chuẩn 10/23/2014 12:38:00 AM
  • tuanthanh31121997: thê master vs thách đấu thi sao/?? 10/23/2014 12:38:04 AM
  • Saori Hara: thì nó xẻ không ns như bạn 10/23/2014 12:38:26 AM
  • tuanthanh31121997: chú chưa biêt trinh độ câm draven của tartarus hả 10/23/2014 12:38:39 AM
  • dangchutuan: tui kc 2 còn chưa nhận cao thủ .thím thì.... 10/23/2014 12:38:46 AM
  • Saori Hara: bá thế sao cktg mùa 4 có ai đánh draven không 10/23/2014 12:38:53 AM
  • Saori Hara: dể bị hành lắm 10/23/2014 12:39:10 AM
  • tuanthanh31121997: đù draven thiêu tinh cơ đông dễ gank 10/23/2014 12:39:14 AM
  • tuanthanh31121997: thê cktg có ai câm jinx ko?? 10/23/2014 12:39:28 AM
  • Saori Hara: chứ kog'maw cơ động ak 10/23/2014 12:39:38 AM
  • Saori Hara: sao không 10/23/2014 12:39:51 AM
  • tuanthanh31121997: kog'maw xem thử đk mây tran 10/23/2014 12:40:07 AM
  • Saori Hara: nhiều 10/23/2014 12:40:14 AM
  • dangchutuan: quá nhiều 10/23/2014 12:40:23 AM
  • tuanthanh31121997: the xem cktg mùa 2 chư mà nói draven ko đk chọn nhiều 10/23/2014 12:40:38 AM
  • dangchutuan: tại lúc đó chưa có jinx 10/23/2014 12:41:10 AM
  • Saori Hara: cktg mùa 2 là việc của mùa 2 luc đó t chưa biết LM là gì 10/23/2014 12:41:18 AM
  • Saori Hara: ờ đúng 10/23/2014 12:41:29 AM
  • tuanthanh31121997: thê tại sao cktg mùa 4 lại chọn đanh tris chư ko chọn jinx 10/23/2014 12:41:33 AM
  • Saori Hara: đi mà hs nó 10/23/2014 12:41:53 AM
  • tuanthanh31121997: rõ rang jinx vs draven thiêu tinh cơ động nên it đk dùng đén 10/23/2014 12:42:06 AM
  • tuanthanh31121997: mây thim coi làm ơn đẻ ý kĩ đi 10/23/2014 12:42:19 AM
  • Saori Hara: có ai cầm catlyn vs draven đâu mà cầm jin 10/23/2014 12:42:33 AM
  • Saori Hara: thiếu cơ động nhưng có bẩy và chậm 10/23/2014 12:42:56 AM
  • tuanthanh31121997: ai nói ko có catlyn uzi chọn catlyn để đi vs tris đó kìa 10/23/2014 12:43:07 AM
  • dangchutuan: ad la vị trí hầu như con nào cũng ko cơ động 10/23/2014 12:43:28 AM
  • Saori Hara: đó là tris chon trước 10/23/2014 12:43:30 AM
  • tuanthanh31121997: ad mà con nao cung ko cơ dộng hả thê bạn biêt lm là gì ko đó 10/23/2014 12:43:56 AM
  • tuanthanh31121997: ez lucian tris ko cơ dôn hả 10/23/2014 12:44:09 AM
  • tuanthanh31121997: ad mà con nào cung ko cơ đông thì đung thánh rồi 10/23/2014 12:44:37 AM
  • Saori Hara: lucian chỉ để né kin thôi 10/23/2014 12:44:38 AM
  • dangchutuan: "hầu như" đọc kĩ nhé 10/23/2014 12:44:38 AM
  • tuanthanh31121997: hâu như hả ez lucian graves tristana catlyn 10/23/2014 12:45:10 AM
  • Saori Hara: theo các bạn miss4 có cơ đọng không 10/23/2014 12:45:18 AM
  • dangchutuan: ko 10/23/2014 12:45:30 AM
  • tuanthanh31121997: kooooooooo 10/23/2014 12:45:31 AM
  • Saori Hara:10/23/2014 12:45:36 AM
  • dangchutuan: catlyn ko cơ động 10/23/2014 12:45:54 AM
  • tuanthanh31121997: thôi éo nói nưa đau đàu 10/23/2014 12:46:10 AM
  • Saori Hara: nhưng nếu cắm mắt đủ khoảng chách thì củng rất khó gank miss4 10/23/2014 12:46:22 AM
  • dangchutuan: găp yasso teo 10/23/2014 12:46:28 AM
  • tuanthanh31121997: căm măt thi con deo nào chả khó ganh 10/23/2014 12:46:44 AM
  • dangchutuan: chuẩn 10/23/2014 12:46:59 AM
  • Saori Hara: tùy 10/23/2014 12:47:00 AM
  • dangchutuan: happy 10/23/2014 12:47:03 AM
  • tuanthanh31121997: sp mà cắm mắt chuẩn thi con nào cung khó ganh hêt 10/23/2014 12:47:36 AM
  • tuanthanh31121997: trư khi măt hêt time chưa kip căm lại 10/23/2014 12:47:51 AM
  • Saori Hara: thôi trong đây tớ đánh kém nhất nên t đi ngủ trước đây 10/23/2014 12:47:55 AM
  • tuanthanh31121997: ngủ đi t cung ngủ đây nói miêng chan vl 10/23/2014 12:48:14 AM
  • dangchutuan: chắc j cao thủ zấu tài thì sao nhỉ 10/23/2014 12:48:32 AM
  • tuanthanh31121997: cao thủ cung thê nói miêng chán vl 10/23/2014 12:48:50 AM
  • dangchutuan:10/23/2014 12:49:12 AM
  • tuanthanh31121997: t thấy mây đưa ta bị điên 10/23/2014 12:49:12 AM
  • tuanthanh31121997: éo công gì ngồi cại nhau mấy cái ra điên ko giúp cho việc đanh lm đk cái quái gì hết 10/23/2014 12:49:47 AM
  • tuanthanh31121997: ngủ đây bye các thím 10/23/2014 12:51:02 AM
  • dangchutuan: ngủ nhasleepy hee_hee 10/23/2014 12:51:05 AM
  • SNHC: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127700/giup-e 10/23/2014 5:58:04 AM
  • SNHC: m.n cố giúp e nha 10/23/2014 5:58:15 AM
  • tieutuliti98: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127717/ae-giup-toan-elip-vs 10/23/2014 10:14:01 AM
  • tieutuliti98: mn giúp vs 10/23/2014 10:14:05 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Angel
  • devilphuong96
  • Tiểu sa nhi
  • tqmaries34
  • ankhatruongnguyen
  • bontiton96
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • kto138
  • Sỏi Bự
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • ★.★Logarit★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • SNHC
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • Saori Hara
  • ndanh999
  • xuka.love.nobita.4ever
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • tieutuliti98
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Nel Kezo
  • phuc9096