CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET

I.                   NGUYÊN LÝ DIRICHLET
Nguyên lí Dirichlet:

Không thể nhốt $7$ chú thỏ vào $3$ cái lồng sao cho mỗi lồng không quá $2$ chú thỏ.

Nguyên lí Dirichlet tổng quát:
Nếu đặt $n$ viên bi vào $k$ cái hộp ($n,k$ nguyên dương), thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất $ \left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil$ viên bi, với
$ \left\lceil x \right\rceil$ là số nguyên bé nhất không nhỏ hơn $x$.

Nguyên lí Dirichlet (còn gọi là nguyên lí chuồng bồ câu) tuy có phát biểu đơn giản nhưng lại được vận dụng rất nhiều trong thực tế. Nhờ nguyên lí này mà trong nhiều trường hợp, người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm kiếm cụ thể.

 

II.                BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 1:

Một trường học có $1000$ học sinh gồm $23$ lớp. Chứng minh rằng phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Giải:
Giả sử $23$ lớp mỗi lớp có không quá $43$ học sinh.
Khi đó số học sinh là:
$43.23 = 989$ học sinh (ít hơn $1000 – 989 = 11$ học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Bài 2:

Một lớp có $50$ học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

Giải:
Giả sử có không quá $4$ học sinh có tháng sinh giống nhau
Một năm có $12$ tháng, khi đó số học sinh của lớp có không quá: $12 . 4 = 48$ (học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

 

Bài 3:

Có năm loại học bổng khác nhau. Hỏi rằng phải có ít nhất bao nhiêu sinh viên để chắc chắn rằng có ít ra là $6$ người cùng nhận học bổng như nhau.

Giải:

Gọi $N$ là số sinh viên, khi đó:
$ \left\lceil \frac{N}{5} \right\rceil =6 \Rightarrow 5 < \frac{N}{5}≤ 6$ hay  $25 < N ≤ 30$.
Vậy số N bé nhất thỏa mãn là $26$.
 

Bài 4:

Trong $45$ học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới $2$, chỉ có $2$ học sinh được điểm $10$. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên)

Giải:
Có $43$ học sinh phân thành $8$ loại điểm (từ $2$ đến $9$)
Giả sử trong $8$ loại điểm đều là điểm của không quá $5$ học sinh thì lớp học có:
$5 . 8 = 40$ học sinh, ít hơn $3$ học sinh so với $43$.
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.

 

Bài 5:

Một lớp học có $50$ học sinh, có duy nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là thiếu $3$ bài tập. Chứng minh rằng tồn tại $17$ học sinh thiếu $1$ số bài tập như nhau (trường hợp không thiếu bài tập coi như thiếu $0$ bài)

Giải:
Giả sử mỗi loại bài tập có $16$ học sinh.
Số học sinh không quá $16 × 3 = 48$ (thiếu $2$ học sinh).
Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất $17$ học sinh thiếu một số bài tập như nhau

III.             BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1:

Trong một phòng họp có $n$ người, bao giờ cũng tìm được $2$ người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau.

Giải:

Số người quen của mỗi người trong phòng họp nhận các giá trị từ $0$ đến $n – 1$. Rõ ràng trong phòng không thể đồng thời có người có số người quen là $0$ (tức là không quen ai) và có người có số người quen là $n – 1$ (tức là quen tất cả). Vì vậy theo số lượng người quen, ta chỉ có thể phân n người ra thành $n – 1$ nhóm.

Vậy theo nguyên lí Dirichlet tồn tai một nhóm có ít nhất $2$ người, tức là luôn tìm được ít nhất $2$ người có số người quen là như nhau.

 

Bài 2:

Trong một lưới ô vuông kích thước $5.5$, người ta điền ngẫu nhiên vào các ô một trong các giá trị $-1, 0$ hoặc $1$, sau đó tính tổng tất cả các ô theo hàng ; theo cột và theo hai đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tổng có giá trị bằng nhau.

Giải:

Gọi các tổng lần lượt là $S_1, S_2,..S_{12}$.
Có tất cả $12$ tổng. Ta nhận thấy rằng các tổng này chỉ có thể nhận các giá trị là $\{ -5, -4…0,…4, 5\}$. Có tất cả $11$ giá trị khác nhau. Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet ta suy ra điều cần chứng minh. 

 

Bài 3:

Giả sử trong một nhóm $6$ người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau.

Giải:

Gọi $A$ là một trong $6$ người. Trong số $5$ người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của $A$ hoặc có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$, điều này suy ra từ nguyên lí Dirichlet, vì những người khác chỉ có thể là bạn hoặc thù của $A$.
Trong trường hợp đầu ta gọi $B, C, D$ là bạn của $A$. nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với $A$ lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người $B, C, D$ không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau.
Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$. (ĐPCM)

 

Bài 4:

Có $5$ đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với mỗi đấu thủ khác. Chứng minh rằng trong suốt thời gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau.

Giải:

Ta có số trận đã đấu của mỗi người có thể là $0, 1, 2, 3,4$. Nhưng vì không thể có cùng lúc một người đã đấu $4$ trận và một người chưa đấu trận nào, nên có tối đa $4$ loại số trận đã đấu.

Vận dụng nguyên lý Dirichlet ta có ít nhất có $2$ người có cùng số trận đã đấu.

 

IV.             BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1:

Chia $50$ kẹo cho $10$ em bé (em nào cũng được chia kẹo). Chứng minh rằng dù chia cách nào đi nữa cũng tồn tại hai em có số kẹo bằng nhau.

Bài 2:

Bốn lớp $11A, 11B, 11C, 11D$ có tất cả $44$ học sinh giỏi, trong đó số học sinh giỏi của lớp $11D$ không quá $10$ người. Chứng minh rằng ít nhất một trong $3$ lớp $11A, 11B, 11C$ có số học sinh giỏi từ $12$ em trở lên.

Bài 3:

Có $33$ con chim đậu trên một sân vuông hình vuông cạnh $4m$.

Chứng minh rằng có ít nhất $3$ con đậu trong một đường tròn có bán kính $1m$

Bài 4:

Một cuộc họp gồm $12$ người tham dự để bàn về $3$ vấn đề. Có $8$ người phát biểu về vấn đề $I$, $5$ người phát biểu về vấn đề $II$ và $7$ người phát biểu về vấn đề $III$. Ngoài ra, có đúng $1$ người không phát biểu vấn đề nào.

Hỏi nhiều nhất là có bao nhiêu người phát biểu cả $3$ vấn đề.

Bài 5:

Có $17$ nhà bác học viết thư cho nhau trao đổi $3$ vấn đề. Chứng minh rằng luôn tìm được $3$ người cùng trao đổi một vấn đề.
 

Thẻ

× 156
× 25

Lượt xem

82270
Chat chit và chém gió
  • vutienmanhthuongdinh21: hypnotized 6/18/2021 9:48:05 AM
  • nguyenson22102004z: wave 7/5/2021 10:13:38 PM
  • Linhdug2k6: Hello mn 7/11/2021 10:30:04 AM
  • vohuutronght2: hi mnsmug 7/14/2021 2:52:55 PM
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄: bh nhắn vô đây chắc chả còn ai rep :vvv 7/15/2021 2:40:58 PM
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄: Ngày xưa thì chưa kịp đọc đã trôi 7/15/2021 2:41:13 PM
  • bebeolamdo: hi happy 7/18/2021 7:39:51 PM
  • ๖ۣۜBossღ: yawn Dịch quá, thất học rồi 7/19/2021 8:33:49 AM
  • HauDueMatTroiVip: happy 7/29/2021 8:49:16 PM
  • HauDueMatTroiVip: Quang come back 7/29/2021 8:49:37 PM
  • meomeocutduoi:8/13/2021 12:27:44 AM
  • meomeocutduoi: tongue 8/13/2021 12:27:45 AM
  • meomeocutduoi: à nhông xê ô 8/13/2021 12:27:54 AM
  • meomeocutduoi: big_grin 8/13/2021 4:05:36 PM
  • thanhbinhyenbai: hế lô 8/15/2021 10:35:26 AM
  • Mchaau: Haii 8/20/2021 3:51:36 PM
  • Mchaau: :'winking 8/20/2021 3:51:47 PM
  • Mchaau: ;'winking 8/20/2021 3:51:53 PM
  • Mchaau: Ủa alo 8/20/2021 3:52:03 PM
  • Mchaau: U la tr 8/20/2021 3:52:06 PM
  • hellobaotvvn: hế lô 9/5/2021 6:03:15 PM
  • anh.ngochoang: wave 9/12/2021 10:34:56 AM
  • daidoan3107: hi 10/4/2021 3:12:33 PM
  • hatanphat201005: 🪓 cho một bô bây giờ 10/7/2021 2:57:30 PM
  • hatanphat201005: wave 10/7/2021 3:18:19 PM
  • hatanphat201005: http://static.hoctainha.vn/image/emoticons/wave.gif 10/7/2021 3:18:27 PM
  • deenhu23082008: hii mng 10/7/2021 11:05:49 PM
  • tuenhucinhdepp2308: hiii 10/7/2021 11:10:10 PM
  • tuenhucinhdepp2308: yawn 10/7/2021 11:10:36 PM
  • hatanphat201005: hi 10/8/2021 7:04:05 AM
  • hatanphat201005: có ai kg ? whistling 10/8/2021 7:04:57 AM
  • hatanphat201005: doh 10/8/2021 7:06:22 AM
  • hatanphat201005: doh 10/8/2021 7:12:25 AM
  • minhcc2009: hello các anh 10/19/2021 8:26:27 PM
  • minhcc2009: em là minh 2009 10/19/2021 8:26:34 PM
  • minhcc2009: trường Trung học Cơ Sở Xuân Thu 10/19/2021 8:26:51 PM
  • minhcc2009: Câu hỏi số 18/20 Điểm: 80 trên tổng số 100 Bật/Tắt âm thanh báo đúng/sai 10/19/2021 8:37:59 PM
  • Mưa Đêm: Hi mọi người 10/21/2021 12:08:12 AM
  • Mưa Đêm: Ui, lâu lắm rồi mới quay lại đây 10/21/2021 12:09:15 AM
  • zzzvuzzz.16510: hi 10/22/2021 8:18:11 AM
  • ducbanminh8: hello 10/25/2021 8:34:15 AM
  • heomoiletri2007: ? 10/26/2021 2:04:23 PM
  • heomoiletri2007: hello 10/26/2021 2:05:35 PM
  • Mưa Đêm: hiii 10/28/2021 11:52:28 PM
  • Minhtvno2: hi 10/30/2021 8:51:33 PM
  • Minhtvno2: hahaa cân cả hộithumbs_up 10/30/2021 8:53:27 PM
  • hatanphat201005: hi 11/3/2021 6:22:14 PM
  • hatanphat201005: transformertransformer 11/3/2021 6:57:05 PM
  • hatanphat201005: ko ai vô chánnnnnnnnnnnnnnnnn 11/4/2021 5:52:17 AM
  • hatanphat201005: worried 11/4/2021 5:53:40 AM
  • hatanphat201005: hi mn 11/11/2021 5:59:17 PM
  • Phương Trâm: hiiii 11/12/2021 3:27:57 PM
  • Phương Trâm: ai giỏi toán hong ạ có thể giúp mình ôn thi giữa kì được hông TvT 11/12/2021 3:28:05 PM
  • Quiss Buu: alo 11/20/2021 4:21:12 PM
  • Mưa Đêm: ô la 11/30/2021 4:21:44 AM
  • vuikieu238: alo 12/7/2021 9:36:20 AM
  • vuikieu238: :33 12/7/2021 9:36:27 AM
  • vuikieu238: nay mới biết có cái chỗ này luôn 12/7/2021 9:36:45 AM
  • ๖ۣۜBossღ: Mấy anh chị đâu hết rồi, vào ôn kỉ niệm nào. Lâu vl 5 năm rồi. 12/10/2021 8:55:11 PM
  • vohuuhung80: ê 12/11/2021 7:38:41 PM
  • vohuuhung80: mọi n 12/11/2021 7:38:46 PM
  • vohuuhung80: ai bt các chọn lớp ko ạ 12/11/2021 7:39:06 PM
  • anhvoviet123: uầy 12/22/2021 7:28:36 AM
  • anhvoviet123: vip nhỉ 12/22/2021 7:28:56 AM
  • anhvoviet123: alo 12/22/2021 7:29:16 AM
  • anhvoviet123: chả còn ai 12/22/2021 9:14:38 AM
  • anhvoviet123: I love you 12/22/2021 9:14:44 AM
  • anhvoviet123: 2k6 làm quen ah 12/22/2021 9:25:06 AM
  • anhvoviet123: Mình góp ý nhé. Ý kiến của mình là như này, mình nói ra nếu có mất lòng anh em thì mình cũng chịu, tại vì mình cũng chỉ muốn đóng góp một chút ý kiến cho anh em biết là mình cũng là một người có ý kiến, mình là con người không thích nói dài dòng, chỉ đơn giản muốn góp ý kiến cho mọi người biết thôi, mong mọi người hãy hiểu và thông cảm cho mình, mình xin góp ý một ý kiến cực kì ngắn gọn cho anh em hiểu mình không muốn vòng vo, nói dài chỉ là một cái ý kiến ngắn gọn không cần dài. Đấy nói tóm lại là mình góp ý vậy thôi còn anh em hiểu hay không thì cũng không biết! 12/22/2021 9:38:34 PM
  • phanhuukhanhabc: hello 1/27/2022 12:53:15 PM
  • phanhuukhanhabc: alo có ai ở nhà không ? 1/27/2022 12:53:45 PM
  • phanhuukhanhabc: wave 1/27/2022 12:54:27 PM
  • Mưa Đêm: 7 năm trôi qua nhanh thật, giờ chả còn ai ở đây sad 2/22/2022 1:44:57 AM
  • ๖ۣۜBossღ: Quá khứ dĩ vãng, không thể xóa nhòa broken_heart 2/22/2022 8:16:41 AM
  • Mưa Đêm: Hi Boss 2/23/2022 2:09:04 AM
  • C50™: :v 2/23/2022 6:51:37 PM
  • C50™: cũng 5 năm r 2/23/2022 6:51:56 PM
  • C50™: từ 2016 2/23/2022 6:54:47 PM
  • minhmama357: cccccccccccccc 3/6/2022 8:47:17 PM
  • nhungtongdp.12.13: mọi người ơi cíu 3/9/2022 12:25:36 AM
  • nhungtongdp.12.13: ai chỉ cho em cách xác định nghiệm của hệ bất phương trình 1 ẩn được k ạ huhu 3/9/2022 12:26:23 AM
  • ๖ۣۜDevilღ: hi 9/14/2022 5:12:09 PM
  • ๖ۣۜDevilღ: ai nhận ra tui không laughing 9/14/2022 5:12:16 PM
  • gwenhee2027: chào mn nha 9/14/2022 9:03:59 PM
  • MrQuang.HauDueMatTroi: hello 9/16/2022 8:51:34 PM
  • MrQuang.HauDueMatTroi: Lâu r ko vào đây :v 9/16/2022 8:51:55 PM
  • MrQuang.HauDueMatTroi: mới sương sương 6 năm 9/16/2022 8:53:23 PM
  • MrQuang.HauDueMatTroi: laughing 9/16/2022 8:53:33 PM
  • ๖ۣۜDevilღ: alo 12/13/2022 4:05:44 PM
  • Mưa Đêm: 9 năm trôi qua nhanh quá crying 1/25/2023 11:52:57 AM
  • tranhoangdeptrai1206: hế lô bọn mày 5/6/2024 9:25:58 PM
  • tranhoangdeptrai1206: đéo có ai à 5/6/2024 9:26:30 PM
  • tranhoangdeptrai1206: buồn nhể 5/6/2024 9:26:34 PM
  • qmanh24: Chắc ko còn ai 8/2/2024 10:34:37 PM
  • qmanh24: Vợ chồng t về thăm nhà sau nhiều năm rời nhà nè 8/2/2024 10:35:18 PM
  • thaomanhneee: wave 8/2/2024 10:35:33 PM
  • qmanh24: 😘😘😘😘 8/2/2024 10:36:05 PM
  • thaomanhneee: Chào cậu 8/2/2024 10:36:38 PM
  • qmanh24: Cậu chào vợ 8/2/2024 10:36:48 PM
  • taiprovuduc12: hi mn 10/4/2024 11:09:49 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • .
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo9119* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • tranhai98
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • ☼SunShine❤️
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • B҉ãO҉-t҉ố҉
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • ☆☆Lãnh Hoàng Băng Ngọc ☆☆
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜNắng(M)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Lê Thùy
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • fbt1800555581
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • Tuyết Nhi
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Cao Linh
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • Mây của trời cứ để gió cuốn đi
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004
  • Tu hoc
  • honhutlinh
  • let02hb
  • vohieutrung99
  • laitridung2004
  • nguyenthuhangtdvp
  • thulively
  • btquyen11a2
  • giangbap0388
  • trung3152003
  • ntgu
  • ★F.29★
  • nguyenyen10082008
  • luongthimay21051981
  • nguyenngocminhtri.1233
  • 8a1day
  • thaithuhanglhp77
  • cuahanganhduc
  • ngolam230103
  • Uchiha Obito
  • thongoc1174
  • daihuenhatanh
  • phammaianh0210
  • thaonguyen.ht2404
  • thuythuypham1504
  • poiuytrewq
  • congtonle526
  • duolingo
  • duolingo
  • nducchinh8
  • huynguyen1032k5