CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET

I.                   NGUYÊN LÝ DIRICHLET
Nguyên lí Dirichlet:

Không thể nhốt $7$ chú thỏ vào $3$ cái lồng sao cho mỗi lồng không quá $2$ chú thỏ.

Nguyên lí Dirichlet tổng quát:
Nếu đặt $n$ viên bi vào $k$ cái hộp ($n,k$ nguyên dương), thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất $ \left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil$ viên bi, với
$ \left\lceil x \right\rceil$ là số nguyên bé nhất không nhỏ hơn $x$.

Nguyên lí Dirichlet (còn gọi là nguyên lí chuồng bồ câu) tuy có phát biểu đơn giản nhưng lại được vận dụng rất nhiều trong thực tế. Nhờ nguyên lí này mà trong nhiều trường hợp, người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm kiếm cụ thể.

 

II.                BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 1:

Một trường học có $1000$ học sinh gồm $23$ lớp. Chứng minh rằng phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Giải:
Giả sử $23$ lớp mỗi lớp có không quá $43$ học sinh.
Khi đó số học sinh là:
$43.23 = 989$ học sinh (ít hơn $1000 – 989 = 11$ học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Bài 2:

Một lớp có $50$ học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

Giải:
Giả sử có không quá $4$ học sinh có tháng sinh giống nhau
Một năm có $12$ tháng, khi đó số học sinh của lớp có không quá: $12 . 4 = 48$ (học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

 

Bài 3:

Có năm loại học bổng khác nhau. Hỏi rằng phải có ít nhất bao nhiêu sinh viên để chắc chắn rằng có ít ra là $6$ người cùng nhận học bổng như nhau.

Giải:

Gọi $N$ là số sinh viên, khi đó:
$ \left\lceil \frac{N}{5} \right\rceil =6 \Rightarrow 5 < \frac{N}{5}≤ 6$ hay  $25 < N ≤ 30$.
Vậy số N bé nhất thỏa mãn là $26$.
 

Bài 4:

Trong $45$ học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới $2$, chỉ có $2$ học sinh được điểm $10$. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên)

Giải:
Có $43$ học sinh phân thành $8$ loại điểm (từ $2$ đến $9$)
Giả sử trong $8$ loại điểm đều là điểm của không quá $5$ học sinh thì lớp học có:
$5 . 8 = 40$ học sinh, ít hơn $3$ học sinh so với $43$.
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.

 

Bài 5:

Một lớp học có $50$ học sinh, có duy nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là thiếu $3$ bài tập. Chứng minh rằng tồn tại $17$ học sinh thiếu $1$ số bài tập như nhau (trường hợp không thiếu bài tập coi như thiếu $0$ bài)

Giải:
Giả sử mỗi loại bài tập có $16$ học sinh.
Số học sinh không quá $16 × 3 = 48$ (thiếu $2$ học sinh).
Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất $17$ học sinh thiếu một số bài tập như nhau

III.             BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1:

Trong một phòng họp có $n$ người, bao giờ cũng tìm được $2$ người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau.

Giải:

Số người quen của mỗi người trong phòng họp nhận các giá trị từ $0$ đến $n – 1$. Rõ ràng trong phòng không thể đồng thời có người có số người quen là $0$ (tức là không quen ai) và có người có số người quen là $n – 1$ (tức là quen tất cả). Vì vậy theo số lượng người quen, ta chỉ có thể phân n người ra thành $n – 1$ nhóm.

Vậy theo nguyên lí Dirichlet tồn tai một nhóm có ít nhất $2$ người, tức là luôn tìm được ít nhất $2$ người có số người quen là như nhau.

 

Bài 2:

Trong một lưới ô vuông kích thước $5.5$, người ta điền ngẫu nhiên vào các ô một trong các giá trị $-1, 0$ hoặc $1$, sau đó tính tổng tất cả các ô theo hàng ; theo cột và theo hai đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tổng có giá trị bằng nhau.

Giải:

Gọi các tổng lần lượt là $S_1, S_2,..S_{12}$.
Có tất cả $12$ tổng. Ta nhận thấy rằng các tổng này chỉ có thể nhận các giá trị là $\{ -5, -4…0,…4, 5\}$. Có tất cả $11$ giá trị khác nhau. Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet ta suy ra điều cần chứng minh. 

 

Bài 3:

Giả sử trong một nhóm $6$ người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau.

Giải:

Gọi $A$ là một trong $6$ người. Trong số $5$ người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của $A$ hoặc có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$, điều này suy ra từ nguyên lí Dirichlet, vì những người khác chỉ có thể là bạn hoặc thù của $A$.
Trong trường hợp đầu ta gọi $B, C, D$ là bạn của $A$. nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với $A$ lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người $B, C, D$ không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau.
Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$. (ĐPCM)

 

Bài 4:

Có $5$ đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với mỗi đấu thủ khác. Chứng minh rằng trong suốt thời gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau.

Giải:

Ta có số trận đã đấu của mỗi người có thể là $0, 1, 2, 3,4$. Nhưng vì không thể có cùng lúc một người đã đấu $4$ trận và một người chưa đấu trận nào, nên có tối đa $4$ loại số trận đã đấu.

Vận dụng nguyên lý Dirichlet ta có ít nhất có $2$ người có cùng số trận đã đấu.

 

IV.             BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1:

Chia $50$ kẹo cho $10$ em bé (em nào cũng được chia kẹo). Chứng minh rằng dù chia cách nào đi nữa cũng tồn tại hai em có số kẹo bằng nhau.

Bài 2:

Bốn lớp $11A, 11B, 11C, 11D$ có tất cả $44$ học sinh giỏi, trong đó số học sinh giỏi của lớp $11D$ không quá $10$ người. Chứng minh rằng ít nhất một trong $3$ lớp $11A, 11B, 11C$ có số học sinh giỏi từ $12$ em trở lên.

Bài 3:

Có $33$ con chim đậu trên một sân vuông hình vuông cạnh $4m$.

Chứng minh rằng có ít nhất $3$ con đậu trong một đường tròn có bán kính $1m$

Bài 4:

Một cuộc họp gồm $12$ người tham dự để bàn về $3$ vấn đề. Có $8$ người phát biểu về vấn đề $I$, $5$ người phát biểu về vấn đề $II$ và $7$ người phát biểu về vấn đề $III$. Ngoài ra, có đúng $1$ người không phát biểu vấn đề nào.

Hỏi nhiều nhất là có bao nhiêu người phát biểu cả $3$ vấn đề.

Bài 5:

Có $17$ nhà bác học viết thư cho nhau trao đổi $3$ vấn đề. Chứng minh rằng luôn tìm được $3$ người cùng trao đổi một vấn đề.
 

Thẻ

× 156
× 25

Lượt xem

12598
Chat chit và chém gió
  • Saori Hara: ông kia bị atsm đó mà 10/24/2014 10:43:36 PM
  • tuanthanh31121997: t nói cho hay đó 10/24/2014 10:43:57 PM
  • conyeumeobeo: coppy nhầm thôi 10/24/2014 10:44:18 PM
  • conyeumeobeo: mà có ra cái vẹo gì dâu 10/24/2014 10:44:41 PM
  • tuanthanh31121997: thi nói cho hay chư đã đặt bút lam đâu 10/24/2014 10:44:56 PM
  • conyeumeobeo: làm tôi xem nào 10/24/2014 10:45:16 PM
  • Saori Hara: cách của ông sai rồi 10/24/2014 10:45:22 PM
  • conyeumeobeo: toàn nói không à 10/24/2014 10:45:22 PM
  • tuanthanh31121997: viết lại cái đề đi 10/24/2014 10:45:30 PM
  • tuanthanh31121997: thi ai nói đúng đâu 10/24/2014 10:45:39 PM
  • Saori Hara: he 10/24/2014 10:45:48 PM
  • quakhuvaanh5602: ssssssssssssssssssss 10/24/2014 10:47:49 PM
  • quakhuvaanh5602: ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss 10/24/2014 10:48:00 PM
  • conyeumeobeo: 2X^3=2Y^3 +1 và 2X+căn (2-X+Y-X^2-Y^3)=1 10/24/2014 10:48:03 PM
  • tuanthanh31121997: nhác làm quá 10/24/2014 10:50:51 PM
  • tuanthanh31121997: ko biêt làm crying 10/24/2014 10:51:01 PM
  • conyeumeobeo: ai ra chưa 10/24/2014 10:52:17 PM
  • tuanthanh31121997: chưa 10/24/2014 10:52:24 PM
  • peridot4.9.98: giải mình hộ bài hình 11 với 10/24/2014 10:53:14 PM
  • tuanthanh31121997: hinh hình không gian hả 10/24/2014 10:53:39 PM
  • conyeumeobeo: khó vồn ra ấy 10/24/2014 10:56:13 PM
  • tuanthanh31121997: ờ chưa có hướng 10/24/2014 10:58:14 PM
  • conyeumeobeo: thế mà nãy chém như thật 10/24/2014 11:00:08 PM
  • tuanthanh31121997: đã nói là nói cho hay mà 10/24/2014 11:02:58 PM
  • tuanthanh31121997: có thánh mà mơi đọc đề phát làm đk luôn 10/24/2014 11:03:35 PM
  • peridot4.9.98: mình hơi ngu cái phần hai mặt phẳng vuông góc 10/24/2014 11:08:12 PM
  • peridot4.9.98: khổ 10/24/2014 11:08:14 PM
  • tuanthanh31121997: đọc đề đi 10/24/2014 11:08:23 PM
  • conyeumeobeo: làm đi 10/24/2014 11:08:54 PM
  • conyeumeobeo: hộ cái 10/24/2014 11:08:57 PM
  • tuanthanh31121997: khoan nha dự là ông viết đề sai 10/24/2014 11:09:36 PM
  • Con Gái MAFIA: Anh tìm nỗi nhớ….Anh tìm quá khứ. Nhớ lắm kí ức anh và em.... Trả lại anh yêu thương ấy, xin người hãy về nơi đây. Bàn tay yếu ớt cố níu em ở lại…. Những giọt nước mắt…Lăn dài trên mi. Cứ thế anh biết phải làm sao... Tình yêu trong em đã mất,phai dần đi theo gió bay. Còn lại chi nơi đây cô đơn riêng anh …. Em đi xa quá … Em đi xa anh quá .. Có biết không nơi đây anh vẫn đứng đợi một giấc mơ. Anh chờ đợi một cơn mưa,sẽ xóa sạch giọt nước mắt. Ngồi trong đêm bơ vơ anh thấy đau em có biết không???? Em ơi anh nhớ ... Em ơi anh rất nhớ .. Từng câu nói ánh mắt của em giờ này ở nơi đâu. Chắc ai đó sẽ sớm quay lại thôi ... Chắc ai đó sẽ sớm quay về thôi ... Cầm bông hoa trên tay nước mắt rơi .. Anh nhớ em ! Những giọt nước mắt…Lăn dài trên mi. Cứ thế anh biết phải làm sao. Tình yêu trong em đã mất,phai dần đi theo gió bay. Còn lại chi nơi đây cô đơn riêng anh …. Em đi xa quá … Em đi xa anh quá .. Có biết không nơi đây anh vẫn đứng đợi một giấc mơ. Anh chờ đợi một cơn mưa,sẽ xóa sạch giọt nước mắt. Ngồi trong đêm bơ vơ anh thấy đau em có biết không???? Em ơi anh nhớ ... Em ơi anh rất nhớ .. Từng câu nói ánh mắt của em giờ này ở nơi đâu. Chắc ai đó sẽ sớm quay lại thôi ... Chắc ai đó sẽ sớm quay về thôi ... Cầm bông hoa trên tay nước mắt rơi .. Anh nhớ em ! Anh sẽ mãi nhớ thật nhiều những thứ thuộc về em Trong tim này vẫn mãi yêu người riêng em ... Uh ohhhh ... Em đi xa quá … Em đi xa anh quá .. Có biết không nơi đây anh vẫn đứng đợi một giấc mơ. Anh chờ đợi một cơn mưa,sẽ xóa sạch giọt nước mắt. Ngồi trong đêm bơ vơ anh thấy đau em có biết không???? Em ơi anh nhớ ... Em ơi anh rất nhớ .. Từng câu nói ánh mắt của em giờ này ở nơi đâu. Chắc ai đó sẽ sớm quay lại thôi ... Chắc ai đó sẽ sớm quay về thôi ... Cầm bông hoa trên tay nước mắt rơi .. Anh nhớ em ! 10/24/2014 11:10:06 PM
  • tuanthanh31121997: cái đoạn trong căn ấy phải y^2 chư ko phải y^3 10/24/2014 11:10:31 PM
  • peridot4.9.98: Cho hình chóp SABCD.ABCD là hình vuông tâm O.(SAD) và (SAB) vuông góc với đáy. Gọi anphal là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SC tại I. 10/24/2014 11:11:06 PM
  • peridot4.9.98: a,Xác định giao điểm K của anphal với SO b, chứng minh (SAD) vuông góc với (SAO), BD// anphal c, xác định giao tuyến của (SBD) với anphal 10/24/2014 11:11:32 PM
  • conyeumeobeo: tuanthanh31121997 không sai đâu 10/24/2014 11:11:45 PM
  • tuanthanh31121997: conyeumeobeo ơi t biết lam rồi 10/24/2014 11:11:50 PM
  • conyeumeobeo:10/24/2014 11:12:04 PM
  • conyeumeobeo: nói nge đi 10/24/2014 11:12:11 PM
  • tuanthanh31121997: pt 2 nà chuyển 2x sang ben kia xong bình phương lên 10/24/2014 11:12:33 PM
  • tuanthanh31121997: bài này chỉ có cách đó thôi 10/24/2014 11:12:52 PM
  • conyeumeobeo: nhưng bình phương lên kinh khủng lắm 10/24/2014 11:13:37 PM
  • tuanthanh31121997: ko khủng đâu chỉ mũ 2 mà t binh phương đi 10/24/2014 11:14:03 PM
  • tuanthanh31121997: chuyển 2x sang bên kia là đk 10/24/2014 11:14:12 PM
  • tuanthanh31121997: mà lấy đề ở đâu đây 10/24/2014 11:14:24 PM
  • conyeumeobeo: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/121107/giup-cau-nay-nua-nha 10/24/2014 11:14:32 PM
  • conyeumeobeo: đây chứ đâu 10/24/2014 11:14:44 PM
  • tuanthanh31121997: để t bp lên cho ma xem 10/24/2014 11:15:56 PM
  • conyeumeobeo:10/24/2014 11:16:09 PM
  • tuanthanh31121997: ông viết đề sai kìa 10/24/2014 11:16:22 PM
  • conyeumeobeo:10/24/2014 11:16:52 PM
  • Con Gái MAFIA: Anh tìm nỗi nhớ….Anh tìm quá khứ. Nhớ lắm kí ức anh và em.... Trả lại anh yêu thương ấy, xin người hãy về nơi đây. Bàn tay yếu ớt cố níu em ở lại…. Những giọt nước mắt…Lăn dài trên mi. Cứ thế anh biết phải làm sao... Tình yêu trong em đã mất,phai dần đi theo gió bay. Còn lại chi nơi đây cô đơn riêng anh …. Em đi xa quá … Em đi xa anh quá .. Có biết không nơi đây anh vẫn đứng đợi một giấc mơ. Anh chờ đợi một cơn mưa,sẽ xóa sạch giọt nước mắt. Ngồi trong đêm bơ vơ anh thấy đau em có biết không???? Em ơi anh nhớ ... Em ơi anh rất nhớ .. Từng câu nói ánh mắt của em giờ này ở nơi đâu. Chắc ai đó sẽ sớm quay lại thôi ... Chắc ai đó sẽ sớm quay về thôi ... Cầm bông hoa trên tay nước mắt rơi .. Anh nhớ em ! Những giọt nước mắt…Lăn dài trên mi. Cứ thế anh biết phải làm sao. Tình yêu trong em đã mất,phai dần đi theo gió bay. Còn lại chi nơi đây cô đơn riêng anh …. Em đi xa quá … Em đi xa anh quá .. Có biết không nơi đây anh vẫn đứng đợi một giấc mơ. Anh chờ đợi một cơn mưa,sẽ xóa sạch giọt nước mắt. Ngồi trong đêm bơ vơ anh thấy đau em có biết không???? Em ơi anh nhớ ... Em ơi anh rất nhớ .. Từng câu nói ánh mắt của em giờ này ở nơi đâu. Chắc ai đó sẽ sớm quay lại thôi ... Chắc ai đó sẽ sớm quay về thôi ... Cầm bông hoa trên tay nước mắt rơi .. Anh nhớ em ! Anh sẽ mãi nhớ thật nhiều những thứ thuộc về em Trong tim này vẫn mãi yêu người riêng em ... Uh ohhhh ... Em đi xa quá … Em đi xa anh quá .. Có biết không nơi đây anh vẫn đứng đợi một giấc mơ. Anh chờ đợi một cơn mưa,sẽ xóa sạch giọt nước mắt. Ngồi trong đêm bơ vơ anh thấy đau em có biết không???? Em ơi anh nhớ ... Em ơi anh rất nhớ .. Từng câu nói ánh mắt của em giờ này ở nơi đâu. Chắc ai đó sẽ sớm quay lại thôi ... Chắc ai đó sẽ sớm quay về thôi ... Cầm bông hoa trên tay nước mắt rơi .. Anh nhớ em ! 10/24/2014 11:16:56 PM
  • Con Gái MAFIA: wave 10/24/2014 11:18:48 PM
  • minhkute141: big_grin từ hôm qa gặp e c văn thơ voãi nhe! 10/24/2014 11:19:32 PM
  • Saori Hara: perido 10/24/2014 11:23:41 PM
  • conyeumeobeo: làm ra chưa 10/24/2014 11:24:55 PM
  • tuanthanh31121997: cái đệch ông viêt sai đề kìa 10/24/2014 11:26:26 PM
  • tuanthanh31121997: 2x+căn(2-x+y-x^2-y^2) chư ko phải y^3 đâu 10/24/2014 11:27:07 PM
  • conyeumeobeo: Y^3 mà 10/24/2014 11:27:27 PM
  • tuanthanh31121997: xem lại đi 10/24/2014 11:27:34 PM
  • conyeumeobeo: làm xem được không 10/24/2014 11:27:44 PM
  • tuanthanh31121997: đối vs đo là y^2 thi đơn giản 10/24/2014 11:28:10 PM
  • tuanthanh31121997: {2x+2−x+y−x2−y2−−−−−−−−−−−−−−−√=12x3=2y3+1 10/24/2014 11:28:31 PM
  • tuanthanh31121997: đề cx sẽ như thê này nha 10/24/2014 11:29:16 PM
  • tuanthanh31121997: 2x^3=2Y^3+1 và 2x+căn (2-x+y-x^2-y^2)=1 10/24/2014 11:29:58 PM
  • tuanthanh31121997: chép nguyên đè nơi link ông gưi đó 10/24/2014 11:30:13 PM
  • tuanthanh31121997: đoạn pt2 ông chuyển 2x sang bên kia pt2 sẽ trở thành: căn( 2-x+y-x^2-y^2)=1-2x 10/24/2014 11:31:09 PM
  • tuanthanh31121997: binh phương lên sẽ đk 10/24/2014 11:31:18 PM
  • conyeumeobeo: có được gì đâu 10/24/2014 11:31:53 PM
  • tuanthanh31121997: đợi tí 10/24/2014 11:32:00 PM
  • tuanthanh31121997: t viết đã 10/24/2014 11:32:12 PM
  • peridot4.9.98: chờ gẫy cổ 10/24/2014 11:32:33 PM
  • tuanthanh31121997: tis aays ma 10/24/2014 11:33:17 PM
  • tuanthanh31121997: 5x^2-3x+y^2-y-1 10/24/2014 11:34:01 PM
  • tuanthanh31121997: bp lên sẽ đk như thê 10/24/2014 11:34:09 PM
  • tuanthanh31121997: pt1: 2X^3-2y^3-1=0 10/24/2014 11:34:39 PM
  • tuanthanh31121997: thê pt1 vào pt2 ta sẽ có 10/24/2014 11:34:51 PM
  • tuanthanh31121997: 5x^2-3x+y^2-y-1=2x^3-2Y^3-1 10/24/2014 11:35:41 PM
  • tuanthanh31121997: ê hỉu chưa 10/24/2014 11:36:20 PM
  • tuanthanh31121997: off rôi a thê thi thôi 10/24/2014 11:38:11 PM
  • conyeumeobeo:10/24/2014 11:38:54 PM
  • tuanthanh31121997: có cân nói nưa ko?? 10/24/2014 11:39:04 PM
  • conyeumeobeo: không 10/24/2014 11:40:30 PM
  • conyeumeobeo: xong hàm số đúng không 10/24/2014 11:40:45 PM
  • tuanthanh31121997: ko hàm sô làm gì 10/24/2014 11:40:58 PM
  • conyeumeobeo: thế cuối cùng quan hệ x y là gì 10/24/2014 11:41:31 PM
  • tuanthanh31121997: x=y+1 10/24/2014 11:41:50 PM
  • tuanthanh31121997: đung như lúc đầu minh đoán hehe 10/24/2014 11:41:59 PM
  • tuanthanh31121997: phân tích cái pt đo ra 10/24/2014 11:42:09 PM
  • tuanthanh31121997: đk (x-y-1)(....) cái đằng sau lơn hơn 0 10/24/2014 11:42:38 PM
  • tuanthanh31121997: ok nha bạn 10/24/2014 11:43:34 PM
  • conyeumeobeo:10/24/2014 11:44:40 PM
  • tuanthanh31121997: laughing 10/24/2014 11:45:00 PM
  • tuanthanh31121997: lúc đầu bạn viêt sai đề nên bó tay hêheh 10/24/2014 11:45:35 PM
  • n_t_b_hang: ban oi chu " e " trong ham so nghia la gi vay 10/25/2014 9:55:55 AM
  • lachi.fujoshi: haizzzzzzz 10/25/2014 10:49:26 AM
  • lachi.fujoshi: có 1 bài xác suất khó qua 10/25/2014 10:49:41 AM
  • lachi.fujoshi: ai muốn thử làm ko 10/25/2014 10:49:51 AM
  • lachi.fujoshi: hurry_up 10/25/2014 10:50:19 AM
  • nhokmeanime:10/25/2014 10:55:39 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Angel
  • devilphuong96
  • Tiểu sa nhi
  • tqmaries34
  • ankhatruongnguyen
  • bontiton96
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • kto138
  • Sỏi Bự
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • ★.★Logarit★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • SNHC
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • Saori Hara
  • ndanh999
  • xuka.love.nobita.4ever
  • tuongngo28
  • phuongthuy.hanoi98
  • silanmarry
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • supervphuoc
  • cuncontocden123
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • nhokmeanime
  • family_lovely54
  • phamstars1203
  • duonglinh.cn