CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET

I.                   NGUYÊN LÝ DIRICHLET
Nguyên lí Dirichlet:

Không thể nhốt $7$ chú thỏ vào $3$ cái lồng sao cho mỗi lồng không quá $2$ chú thỏ.

Nguyên lí Dirichlet tổng quát:
Nếu đặt $n$ viên bi vào $k$ cái hộp ($n,k$ nguyên dương), thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất $ \left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil$ viên bi, với
$ \left\lceil x \right\rceil$ là số nguyên bé nhất không nhỏ hơn $x$.

Nguyên lí Dirichlet (còn gọi là nguyên lí chuồng bồ câu) tuy có phát biểu đơn giản nhưng lại được vận dụng rất nhiều trong thực tế. Nhờ nguyên lí này mà trong nhiều trường hợp, người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm kiếm cụ thể.

 

II.                BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 1:

Một trường học có $1000$ học sinh gồm $23$ lớp. Chứng minh rằng phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Giải:
Giả sử $23$ lớp mỗi lớp có không quá $43$ học sinh.
Khi đó số học sinh là:
$43.23 = 989$ học sinh (ít hơn $1000 – 989 = 11$ học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Bài 2:

Một lớp có $50$ học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

Giải:
Giả sử có không quá $4$ học sinh có tháng sinh giống nhau
Một năm có $12$ tháng, khi đó số học sinh của lớp có không quá: $12 . 4 = 48$ (học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

 

Bài 3:

Có năm loại học bổng khác nhau. Hỏi rằng phải có ít nhất bao nhiêu sinh viên để chắc chắn rằng có ít ra là $6$ người cùng nhận học bổng như nhau.

Giải:

Gọi $N$ là số sinh viên, khi đó:
$ \left\lceil \frac{N}{5} \right\rceil =6 \Rightarrow 5 < \frac{N}{5}≤ 6$ hay  $25 < N ≤ 30$.
Vậy số N bé nhất thỏa mãn là $26$.
 

Bài 4:

Trong $45$ học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới $2$, chỉ có $2$ học sinh được điểm $10$. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên)

Giải:
Có $43$ học sinh phân thành $8$ loại điểm (từ $2$ đến $9$)
Giả sử trong $8$ loại điểm đều là điểm của không quá $5$ học sinh thì lớp học có:
$5 . 8 = 40$ học sinh, ít hơn $3$ học sinh so với $43$.
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.

 

Bài 5:

Một lớp học có $50$ học sinh, có duy nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là thiếu $3$ bài tập. Chứng minh rằng tồn tại $17$ học sinh thiếu $1$ số bài tập như nhau (trường hợp không thiếu bài tập coi như thiếu $0$ bài)

Giải:
Giả sử mỗi loại bài tập có $16$ học sinh.
Số học sinh không quá $16 × 3 = 48$ (thiếu $2$ học sinh).
Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất $17$ học sinh thiếu một số bài tập như nhau

III.             BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1:

Trong một phòng họp có $n$ người, bao giờ cũng tìm được $2$ người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau.

Giải:

Số người quen của mỗi người trong phòng họp nhận các giá trị từ $0$ đến $n – 1$. Rõ ràng trong phòng không thể đồng thời có người có số người quen là $0$ (tức là không quen ai) và có người có số người quen là $n – 1$ (tức là quen tất cả). Vì vậy theo số lượng người quen, ta chỉ có thể phân n người ra thành $n – 1$ nhóm.

Vậy theo nguyên lí Dirichlet tồn tai một nhóm có ít nhất $2$ người, tức là luôn tìm được ít nhất $2$ người có số người quen là như nhau.

 

Bài 2:

Trong một lưới ô vuông kích thước $5.5$, người ta điền ngẫu nhiên vào các ô một trong các giá trị $-1, 0$ hoặc $1$, sau đó tính tổng tất cả các ô theo hàng ; theo cột và theo hai đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tổng có giá trị bằng nhau.

Giải:

Gọi các tổng lần lượt là $S_1, S_2,..S_{12}$.
Có tất cả $12$ tổng. Ta nhận thấy rằng các tổng này chỉ có thể nhận các giá trị là $\{ -5, -4…0,…4, 5\}$. Có tất cả $11$ giá trị khác nhau. Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet ta suy ra điều cần chứng minh. 

 

Bài 3:

Giả sử trong một nhóm $6$ người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau.

Giải:

Gọi $A$ là một trong $6$ người. Trong số $5$ người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của $A$ hoặc có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$, điều này suy ra từ nguyên lí Dirichlet, vì những người khác chỉ có thể là bạn hoặc thù của $A$.
Trong trường hợp đầu ta gọi $B, C, D$ là bạn của $A$. nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với $A$ lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người $B, C, D$ không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau.
Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$. (ĐPCM)

 

Bài 4:

Có $5$ đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với mỗi đấu thủ khác. Chứng minh rằng trong suốt thời gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau.

Giải:

Ta có số trận đã đấu của mỗi người có thể là $0, 1, 2, 3,4$. Nhưng vì không thể có cùng lúc một người đã đấu $4$ trận và một người chưa đấu trận nào, nên có tối đa $4$ loại số trận đã đấu.

Vận dụng nguyên lý Dirichlet ta có ít nhất có $2$ người có cùng số trận đã đấu.

 

IV.             BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1:

Chia $50$ kẹo cho $10$ em bé (em nào cũng được chia kẹo). Chứng minh rằng dù chia cách nào đi nữa cũng tồn tại hai em có số kẹo bằng nhau.

Bài 2:

Bốn lớp $11A, 11B, 11C, 11D$ có tất cả $44$ học sinh giỏi, trong đó số học sinh giỏi của lớp $11D$ không quá $10$ người. Chứng minh rằng ít nhất một trong $3$ lớp $11A, 11B, 11C$ có số học sinh giỏi từ $12$ em trở lên.

Bài 3:

Có $33$ con chim đậu trên một sân vuông hình vuông cạnh $4m$.

Chứng minh rằng có ít nhất $3$ con đậu trong một đường tròn có bán kính $1m$

Bài 4:

Một cuộc họp gồm $12$ người tham dự để bàn về $3$ vấn đề. Có $8$ người phát biểu về vấn đề $I$, $5$ người phát biểu về vấn đề $II$ và $7$ người phát biểu về vấn đề $III$. Ngoài ra, có đúng $1$ người không phát biểu vấn đề nào.

Hỏi nhiều nhất là có bao nhiêu người phát biểu cả $3$ vấn đề.

Bài 5:

Có $17$ nhà bác học viết thư cho nhau trao đổi $3$ vấn đề. Chứng minh rằng luôn tìm được $3$ người cùng trao đổi một vấn đề.
 

Thẻ

× 156
× 25

Lượt xem

15778
Chat chit và chém gió
  • leviettung01: big_grin 2/1/2015 12:35:46 AM
  • leviettung01: ns thật 2/1/2015 12:36:10 AM
  • minh_thúy: thật chứ đùa 2/1/2015 12:36:26 AM
  • leviettung01: nếu e mà ko on nựa thì a on trên htn chả có ngĩa lí gì nựa 2/1/2015 12:36:44 AM
  • leviettung01: thôi 2/1/2015 12:36:46 AM
  • minh_thúy: laughing 2/1/2015 12:36:54 AM
  • leviettung01: a sẽ bỏ htn 2/1/2015 12:37:01 AM
  • ღKhờღ: quơ 2/1/2015 12:37:13 AM
  • ღKhờღ: càng tốt laughing 2/1/2015 12:37:14 AM
  • ღKhờღ: ô nhiễm room chat Tùng ạ 2/1/2015 12:37:26 AM
  • ღKhờღ: chả có lợi ích gì 2/1/2015 12:37:32 AM
  • ღKhờღ: laughing 2/1/2015 12:37:33 AM
  • leviettung01: lúc nào e on trở lại thì phone cho a qua sô 0915987790 2/1/2015 12:37:39 AM
  • leviettung01: laughing 2/1/2015 12:37:49 AM
  • Mưa Đêm: như thật ế nhờ @@ 2/1/2015 12:37:53 AM
  • leviettung01: a e mình cx cố gắng nhỉ 2/1/2015 12:38:05 AM
  • leviettung01: laughing 2/1/2015 12:38:07 AM
  • minh_thúy: chém đây mưa 2/1/2015 12:38:09 AM
  • Mưa Đêm: nghe mấy anh chị chat mà choáng straight_face 2/1/2015 12:38:11 AM
  • leviettung01: thật 2/1/2015 12:38:16 AM
  • leviettung01: chả chém thúy ạ 2/1/2015 12:38:30 AM
  • leviettung01: laughing 2/1/2015 12:38:33 AM
  • Mưa Đêm: hahahaha 2/1/2015 12:38:41 AM
  • Mưa Đêm: rolling_on_the_floor 2/1/2015 12:38:43 AM
  • minh_thúy: hồ mk đc lên chức chị tự bao h 2/1/2015 12:38:45 AM
  • ღKhờღ: lại còn chả chém kìa Thúy 2/1/2015 12:38:51 AM
  • minh_thúy: chme xong chối đó là sở trường của tùng 2/1/2015 12:39:11 AM
  • Mưa Đêm: thôi mấy a c cứ chém tiếp e đi ngủ kakakaka 2/1/2015 12:40:05 AM
  • Mưa Đêm: laughing 2/1/2015 12:40:06 AM
  • leviettung01: crying 2/1/2015 12:40:09 AM
  • leviettung01: trung 2/1/2015 12:40:13 AM
  • leviettung01: cctalk của mày 2/1/2015 12:40:20 AM
  • leviettung01: phòng nào hả 2/1/2015 12:40:26 AM
  • ღKhờღ: chúc anh ngủ ngon 2/1/2015 12:40:28 AM
  • ღKhờღ: chả nhớ nữa 2/1/2015 12:40:32 AM
  • ღKhờღ: mai vào 2/1/2015 12:40:33 AM
  • minh_thúy: laughing 2/1/2015 12:40:40 AM
  • leviettung01: đệt 2/1/2015 12:40:41 AM
  • ღKhờღ: h mất công 2/1/2015 12:40:41 AM
  • ღKhờღ: laughing 2/1/2015 12:40:43 AM
  • leviettung01: máy bàn t nhác vô lămS 2/1/2015 12:40:52 AM
  • ღKhờღ: ai rãnh vào cctalk h này 2/1/2015 12:40:57 AM
  • leviettung01: máy bàn nhác vô 2/1/2015 12:41:06 AM
  • leviettung01: chậm quá 2/1/2015 12:41:11 AM
  • leviettung01: thúy ơi 2/1/2015 12:42:04 AM
  • leviettung01: đi chưa e 2/1/2015 12:42:23 AM
  • leviettung01: chắc là rồi 2/1/2015 12:42:58 AM
  • leviettung01: laughing 2/1/2015 12:43:02 AM
  • minh_thúy: loser 2/1/2015 12:44:46 AM
  • leviettung01: hic 2/1/2015 12:45:09 AM
  • leviettung01: a vừa qua wall 2/1/2015 12:45:18 AM
  • leviettung01: chúc e đi mạnh giỏi 2/1/2015 12:45:28 AM
  • leviettung01: laughing 2/1/2015 12:45:31 AM
  • ღKhờღ: Thúy ới 2/1/2015 12:45:49 AM
  • leviettung01: tr chưa off hả m 2/1/2015 12:46:15 AM
  • minh_thúy: laughing 2/1/2015 12:46:22 AM
  • leviettung01: thúy nãy h lừa t mi thì phải tr 2/1/2015 12:46:50 AM
  • ღKhờღ: chúc anh ngủ ngon trên wall cái e 2/1/2015 12:46:58 AM
  • ღKhờღ: cho wall anh nó có màu mè tý 2/1/2015 12:47:06 AM
  • ღKhờღ: nhạt quá big_grin 2/1/2015 12:47:08 AM
  • leviettung01: t ngi lắ tr à sad 2/1/2015 12:47:09 AM
  • ღKhờღ: lừa cũng đc mà k lừa cũng đc 2/1/2015 12:47:23 AM
  • ღKhờღ: Ok! 2/1/2015 12:47:25 AM
  • leviettung01: uk ok 2/1/2015 12:47:33 AM
  • leviettung01: big_grin 2/1/2015 12:47:36 AM
  • minh_thúy: ok 2/1/2015 12:48:56 AM
  • leviettung01: a nựa thúy ơi big_grin 2/1/2015 12:49:19 AM
  • minh_thúy: mớ đi cưng 2/1/2015 12:49:46 AM
  • leviettung01: crying 2/1/2015 12:49:55 AM
  • ღKhờღ: big_grin 2/1/2015 12:49:58 AM
  • minh_thúy: tội chặt chem e lúc nãy đến h 2/1/2015 12:50:00 AM
  • leviettung01: phân biệt đối xử vs ng đẹp trai crying 2/1/2015 12:50:15 AM
  • minh_thúy: doăn ở cả thôi 2/1/2015 12:50:23 AM
  • ღKhờღ: vẫn cứ ảo tưởng mạnh 2/1/2015 12:50:59 AM
  • leviettung01: hic 2/1/2015 12:51:16 AM
  • minh_thúy: loser 2/1/2015 12:51:17 AM
  • ღKhờღ: Thúy ơi 2/1/2015 12:51:21 AM
  • ღKhờღ: ngủ ngon nghe em 2/1/2015 12:51:25 AM
  • ღKhờღ: hẹn ngày tại ngộ 2/1/2015 12:51:28 AM
  • leviettung01: a mách mẹ e thúy ạ 2/1/2015 12:51:29 AM
  • leviettung01: laughing 2/1/2015 12:51:31 AM
  • ღKhờღ: mong là sớm nhất có thể 2/1/2015 12:51:33 AM
  • leviettung01: ns đùa chứ e đừng qua wall a 2/1/2015 12:51:59 AM
  • leviettung01: bạn a xoi chết đó raised_eyebrows) 2/1/2015 12:52:19 AM
  • ღKhờღ: muỗn chả được lại còn bày đặt 2/1/2015 12:52:41 AM
  • ღKhờღ: laughing 2/1/2015 12:52:42 AM
  • minh_thúy: laughing 2/1/2015 12:53:13 AM
  • leviettung01: :v 2/1/2015 12:53:35 AM
  • ღKhờღ: thôi off nghen 2/1/2015 12:53:56 AM
  • ღKhờღ: Pipi Thúy 2/1/2015 12:54:01 AM
  • leviettung01: hs xem thúy cnn trên wall t trc m lun tr à 2/1/2015 12:54:01 AM
  • ღKhờღ: pipi tùng 2/1/2015 12:54:06 AM
  • leviettung01: uk mi 2/1/2015 12:54:10 AM
  • leviettung01: pp 2/1/2015 12:54:13 AM
  • leviettung01: thúy ơi 2/1/2015 12:54:26 AM
  • leviettung01: túy 2/1/2015 12:54:31 AM
  • leviettung01: thúy 2/1/2015 12:54:34 AM
  • leviettung01: hú hú 2/1/2015 12:54:39 AM
  • leviettung01: e đi rồi hả 2/1/2015 12:55:09 AM
  • leviettung01: v thì a cx cáo từ ngen 2/1/2015 12:55:21 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Angel
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • The X-Files
  • ღKhờღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • datwin195
  • kto138
  • Sâu lười
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • ★.★Pino★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Thần Thoại
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥⊱Võ Tắc Thiên⊰♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • buituoi1999
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • leviettung01
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • Troll.Insec Đang Cai Gái
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • tramthiendhnmaths
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295