CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET

I.                   NGUYÊN LÝ DIRICHLET
Nguyên lí Dirichlet:

Không thể nhốt $7$ chú thỏ vào $3$ cái lồng sao cho mỗi lồng không quá $2$ chú thỏ.

Nguyên lí Dirichlet tổng quát:
Nếu đặt $n$ viên bi vào $k$ cái hộp ($n,k$ nguyên dương), thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất $ \left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil$ viên bi, với
$ \left\lceil x \right\rceil$ là số nguyên bé nhất không nhỏ hơn $x$.

Nguyên lí Dirichlet (còn gọi là nguyên lí chuồng bồ câu) tuy có phát biểu đơn giản nhưng lại được vận dụng rất nhiều trong thực tế. Nhờ nguyên lí này mà trong nhiều trường hợp, người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm kiếm cụ thể.

 

II.                BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 1:

Một trường học có $1000$ học sinh gồm $23$ lớp. Chứng minh rằng phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Giải:
Giả sử $23$ lớp mỗi lớp có không quá $43$ học sinh.
Khi đó số học sinh là:
$43.23 = 989$ học sinh (ít hơn $1000 – 989 = 11$ học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất một lớp có từ $44$ học sinh trở lên

Bài 2:

Một lớp có $50$ học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

Giải:
Giả sử có không quá $4$ học sinh có tháng sinh giống nhau
Một năm có $12$ tháng, khi đó số học sinh của lớp có không quá: $12 . 4 = 48$ (học sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất $5$ học sinh có tháng sinh giống nhau

 

Bài 3:

Có năm loại học bổng khác nhau. Hỏi rằng phải có ít nhất bao nhiêu sinh viên để chắc chắn rằng có ít ra là $6$ người cùng nhận học bổng như nhau.

Giải:

Gọi $N$ là số sinh viên, khi đó:
$ \left\lceil \frac{N}{5} \right\rceil =6 \Rightarrow 5 < \frac{N}{5}≤ 6$ hay  $25 < N ≤ 30$.
Vậy số N bé nhất thỏa mãn là $26$.
 

Bài 4:

Trong $45$ học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới $2$, chỉ có $2$ học sinh được điểm $10$. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên)

Giải:
Có $43$ học sinh phân thành $8$ loại điểm (từ $2$ đến $9$)
Giả sử trong $8$ loại điểm đều là điểm của không quá $5$ học sinh thì lớp học có:
$5 . 8 = 40$ học sinh, ít hơn $3$ học sinh so với $43$.
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại $6$ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.

 

Bài 5:

Một lớp học có $50$ học sinh, có duy nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là thiếu $3$ bài tập. Chứng minh rằng tồn tại $17$ học sinh thiếu $1$ số bài tập như nhau (trường hợp không thiếu bài tập coi như thiếu $0$ bài)

Giải:
Giả sử mỗi loại bài tập có $16$ học sinh.
Số học sinh không quá $16 × 3 = 48$ (thiếu $2$ học sinh).
Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất $17$ học sinh thiếu một số bài tập như nhau

III.             BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1:

Trong một phòng họp có $n$ người, bao giờ cũng tìm được $2$ người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau.

Giải:

Số người quen của mỗi người trong phòng họp nhận các giá trị từ $0$ đến $n – 1$. Rõ ràng trong phòng không thể đồng thời có người có số người quen là $0$ (tức là không quen ai) và có người có số người quen là $n – 1$ (tức là quen tất cả). Vì vậy theo số lượng người quen, ta chỉ có thể phân n người ra thành $n – 1$ nhóm.

Vậy theo nguyên lí Dirichlet tồn tai một nhóm có ít nhất $2$ người, tức là luôn tìm được ít nhất $2$ người có số người quen là như nhau.

 

Bài 2:

Trong một lưới ô vuông kích thước $5.5$, người ta điền ngẫu nhiên vào các ô một trong các giá trị $-1, 0$ hoặc $1$, sau đó tính tổng tất cả các ô theo hàng ; theo cột và theo hai đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tổng có giá trị bằng nhau.

Giải:

Gọi các tổng lần lượt là $S_1, S_2,..S_{12}$.
Có tất cả $12$ tổng. Ta nhận thấy rằng các tổng này chỉ có thể nhận các giá trị là $\{ -5, -4…0,…4, 5\}$. Có tất cả $11$ giá trị khác nhau. Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet ta suy ra điều cần chứng minh. 

 

Bài 3:

Giả sử trong một nhóm $6$ người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau.

Giải:

Gọi $A$ là một trong $6$ người. Trong số $5$ người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của $A$ hoặc có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$, điều này suy ra từ nguyên lí Dirichlet, vì những người khác chỉ có thể là bạn hoặc thù của $A$.
Trong trường hợp đầu ta gọi $B, C, D$ là bạn của $A$. nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với $A$ lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người $B, C, D$ không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau.
Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của $A$. (ĐPCM)

 

Bài 4:

Có $5$ đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với mỗi đấu thủ khác. Chứng minh rằng trong suốt thời gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau.

Giải:

Ta có số trận đã đấu của mỗi người có thể là $0, 1, 2, 3,4$. Nhưng vì không thể có cùng lúc một người đã đấu $4$ trận và một người chưa đấu trận nào, nên có tối đa $4$ loại số trận đã đấu.

Vận dụng nguyên lý Dirichlet ta có ít nhất có $2$ người có cùng số trận đã đấu.

 

IV.             BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1:

Chia $50$ kẹo cho $10$ em bé (em nào cũng được chia kẹo). Chứng minh rằng dù chia cách nào đi nữa cũng tồn tại hai em có số kẹo bằng nhau.

Bài 2:

Bốn lớp $11A, 11B, 11C, 11D$ có tất cả $44$ học sinh giỏi, trong đó số học sinh giỏi của lớp $11D$ không quá $10$ người. Chứng minh rằng ít nhất một trong $3$ lớp $11A, 11B, 11C$ có số học sinh giỏi từ $12$ em trở lên.

Bài 3:

Có $33$ con chim đậu trên một sân vuông hình vuông cạnh $4m$.

Chứng minh rằng có ít nhất $3$ con đậu trong một đường tròn có bán kính $1m$

Bài 4:

Một cuộc họp gồm $12$ người tham dự để bàn về $3$ vấn đề. Có $8$ người phát biểu về vấn đề $I$, $5$ người phát biểu về vấn đề $II$ và $7$ người phát biểu về vấn đề $III$. Ngoài ra, có đúng $1$ người không phát biểu vấn đề nào.

Hỏi nhiều nhất là có bao nhiêu người phát biểu cả $3$ vấn đề.

Bài 5:

Có $17$ nhà bác học viết thư cho nhau trao đổi $3$ vấn đề. Chứng minh rằng luôn tìm được $3$ người cùng trao đổi một vấn đề.
 

Thẻ

× 156
× 25

Lượt xem

14394
Chat chit và chém gió
  • Thành: rolling_on_the_floor) 12/17/2014 10:36:28 PM
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng: yê 2 đưa mềnh chug câu trả lời 12/17/2014 10:36:30 PM
  • giola_2503: tongue 12/17/2014 10:36:36 PM
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng: rock_on 12/17/2014 10:36:45 PM
  • Thành: hâm 12/17/2014 10:36:53 PM
  • giola_2503: blushing 12/17/2014 10:37:05 PM
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng: thằng ku HOcjTaiNha đâu 12/17/2014 10:37:09 PM
  • white cloud: thawg ttee 12/17/2014 10:37:09 PM
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng: ra ta biểu 12/17/2014 10:37:12 PM
  • white cloud: làm đi cái 12/17/2014 10:37:18 PM
  • Saori Hara: hello m.n 12/17/2014 10:37:37 PM
  • Thành: hi tèo 12/17/2014 10:37:47 PM
  • white cloud: angry 12/17/2014 10:38:05 PM
  • white cloud: làm hộ đi 12/17/2014 10:38:09 PM
  • white cloud: tuanthanh 12/17/2014 10:38:12 PM
  • Saori Hara: WTF 12/17/2014 10:38:14 PM
  • Saori Hara: lam cai ci do 12/17/2014 10:38:23 PM
  • Thành: đang nghĩ 12/17/2014 10:38:37 PM
  • Thành: chưa có y tưởng 12/17/2014 10:38:44 PM
  • Saori Hara: xem ddeef phats naof 12/17/2014 10:38:53 PM
  • Saori Hara: cho xem đề phát nào 12/17/2014 10:39:13 PM
  • Thành: đề này bí mạt hahha 12/17/2014 10:39:23 PM
  • Saori Hara: mới thi học kì hôm qua xong 12/17/2014 10:39:28 PM
  • Saori Hara: mệt vải 12/17/2014 10:39:32 PM
  • Thành: mà t chả biết ghi thê nào nưa 12/17/2014 10:39:39 PM
  • Thành: t mai thi ix 12/17/2014 10:39:44 PM
  • Saori Hara: dạo này thi thử đại học liên miên 12/17/2014 10:39:47 PM
  • white cloud: ếu 12/17/2014 10:39:55 PM
  • Saori Hara: mệt 12/17/2014 10:40:00 PM
  • white cloud: truong m.n thi chưa 12/17/2014 10:40:04 PM
  • white cloud: cho mk xin cái đề 12/17/2014 10:40:10 PM
  • white cloud: big_grin 12/17/2014 10:40:12 PM
  • Saori Hara: lần thứ n rồi 12/17/2014 10:40:14 PM
  • Thành: t chưa thi 12/17/2014 10:40:29 PM
  • Saori Hara: đi các trường khác thi nữa chứ 12/17/2014 10:40:38 PM
  • white cloud: xin đề vs 12/17/2014 10:40:41 PM
  • ~Kezo~: wave các anh các chị lâu ngày ko gặp 12/17/2014 10:42:17 PM
  • white cloud: đi mà 12/17/2014 10:42:19 PM
  • white cloud: big_grin 12/17/2014 10:42:21 PM
  • Saori Hara: ko nhớ 12/17/2014 10:42:24 PM
  • ~Kezo~: chị hey anh tèo 12/17/2014 10:42:32 PM
  • white cloud: ặc 12/17/2014 10:42:34 PM
  • Saori Hara: t ko có thói quen mang đề về 12/17/2014 10:42:37 PM
  • white cloud: p k mag đề về ak 12/17/2014 10:42:40 PM
  • Saori Hara: chỉ mang đáp ắn thôi 12/17/2014 10:42:46 PM
  • white cloud: trời 12/17/2014 10:42:51 PM
  • Saori Hara:12/17/2014 10:42:59 PM
  • white cloud: mk thì khác 12/17/2014 10:43:01 PM
  • white cloud: thi xog 12/17/2014 10:43:04 PM
  • Saori Hara: lên mang mà xem đầy ra đó 12/17/2014 10:43:08 PM
  • white cloud: đem đề về đem xem lại 12/17/2014 10:43:18 PM
  • white cloud: hoặc nhét vào túi đựng bài 12/17/2014 10:43:34 PM
  • Saori Hara: có gì đáng xem 12/17/2014 10:43:34 PM
  • Tên Dài Lắm Không Tiện Viết: - mem mới có gì mọi ngườii giúp đỡ =]]z 12/17/2014 10:43:39 PM
  • Saori Hara: tớ thi xong thì thuộc cmn đề rồi mang về làm chi 12/17/2014 10:43:53 PM
  • Thành: haizzz muốn ngủ quá hix 12/17/2014 10:43:58 PM
  • Saori Hara: mai tớ đk nghĩ 12/17/2014 10:44:37 PM
  • white cloud: mi cấm dk ngủ 12/17/2014 10:44:56 PM
  • Saori Hara: hì hì 12/17/2014 10:44:58 PM
  • white cloud: làm cho t cái 12/17/2014 10:45:02 PM
  • Thành: sang mai t cũng đk nghỉ 12/17/2014 10:45:07 PM
  • Saori Hara: sao bải ai thi 12/17/2014 10:45:15 PM
  • Thành: nhưng chiều mai thi hix 12/17/2014 10:45:17 PM
  • Saori Hara: mệt 12/17/2014 10:45:27 PM
  • Thành: hey rưa tí nưa mi ngủ vs t nha rolling_on_the_floor 12/17/2014 10:45:36 PM
  • white cloud: chi 12/17/2014 10:46:04 PM
  • Saori Hara: tau chưa thấy cái đề thi HK nào khốn nạn như cái đề của trường tau 12/17/2014 10:46:11 PM
  • white cloud: cho mi nói lại cấy 12/17/2014 10:46:14 PM
  • Thành: rolling_on_the_floor 12/17/2014 10:46:18 PM
  • Thành: hey rưa tí nưa mi ngủ vs t nha rolling_on_the_floor 12/17/2014 10:46:28 PM
  • Thành: khốn nạn sao? 12/17/2014 10:46:43 PM
  • white cloud: bring_it_on 12/17/2014 10:47:02 PM
  • Saori Hara: bài khó thì nhiều 12/17/2014 10:47:04 PM
  • white cloud: tau giết 12/17/2014 10:47:09 PM
  • Thành: rolling_on_the_floor 12/17/2014 10:47:09 PM
  • Saori Hara: bài dể thì đầy bẫy 12/17/2014 10:47:15 PM
  • Thành: t off đây mai lam cho 12/17/2014 10:47:19 PM
  • white cloud: shit 12/17/2014 10:47:28 PM
  • Saori Hara: bài bình thường thì dài máy cây số 12/17/2014 10:47:34 PM
  • Tên Dài Lắm Không Tiện Viết: - thế thi ĐH cho dễ làm thế vào trường hết hả :/ 12/17/2014 10:47:35 PM
  • white cloud: shame_on_you 12/17/2014 10:47:36 PM
  • Saori Hara: đề học kì ms nói chứ 12/17/2014 10:47:57 PM
  • white cloud: thag tê 12/17/2014 10:48:17 PM
  • white cloud: k có icon cầm con dao nhờ 12/17/2014 10:48:47 PM
  • white cloud: rolling_on_the_floor 12/17/2014 10:48:49 PM
  • Tên Dài Lắm Không Tiện Viết: - rảnh ngộ icon à :/ 12/17/2014 10:49:07 PM
  • Saori Hara: skull 12/17/2014 10:49:07 PM
  • Saori Hara: sao vật lý nó lắm lý thuyết quá trời vậy 12/17/2014 10:50:40 PM
  • Saori Hara: ghét quá 12/17/2014 10:50:46 PM
  • Tên Dài Lắm Không Tiện Viết: - nhiều thì mới phải học :/ 12/17/2014 10:52:13 PM
  • Saori Hara: m.n ngủ rồi ak 12/17/2014 10:52:19 PM
  • Saori Hara: ê bạn tên dài ơi 12/17/2014 10:52:52 PM
  • Mai Hạnh: chúc các b thi tốt happy 12/17/2014 10:55:06 PM
  • Tên Dài Lắm Không Tiện Viết: - nói đi Saori ?? 12/17/2014 10:58:22 PM
  • Tên Dài Lắm Không Tiện Viết: - thôi đi ngủ :/ 12/17/2014 11:03:17 PM
  • Saori Hara: ờ ngủ đi 12/17/2014 11:07:38 PM
  • Tên Dài Lắm Không Tiện Viết: - n.n :v 12/17/2014 11:10:29 PM
  • ẩn ngư: yawn 12/18/2014 9:38:18 AM
  • ẩn ngư: sáng nay lạnh ngắt 12/18/2014 9:38:23 AM
  • ẩn ngư: m.n nhớ mặc ấm :3 12/18/2014 9:38:30 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker
  • Angel
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • The X-Files
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • kto138
  • Sỏi Bự
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • ★.★Inequality★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • SNHC
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • Saori Hara
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Trúc Võ
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • nguyenthiquynh741
  • buituoi1999
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • hungreocmg
  • khanhbom1995