Có những Bất đẳng thức đơn giản với 1 lời giải thật ngắn gọn nhưng hiệu quả của nó sẽ không dừng lại ở đó nếu ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. Chuyên đề này đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này.

Bài toán: Với hai số dương x và y ta có:

                                                            $\frac{1}{{x + y}} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$              (1)

 Đẳng thức xảy ra khi $x =y$.

Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh phổ biến nhất.

Cách 1. Với hai số dương x và y ta có:
$(x+y)^2\geq0\Rightarrow (x+y)^2\geq4xy \Rightarrow \frac{1}{{x + y}} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ 
Rõ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y.
Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có :
$x + y \ge 2\sqrt {xy} $
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}  = \frac{2}{{\sqrt {xy} }}$ 
Từ đó: 
 $(x + y)$$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \ge 4 \Rightarrow \frac{1}{x + y} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$

Và đẳng thức xảy ra khi x =y.
Cho các số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có
$\frac{1}{{a + b}} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b});\frac{1}{{b + c}} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{b} + \frac{1}{c});\frac{1}{{c + a}} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{c} + \frac{1}{a})$ 

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
 
Bài toán 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có:
$\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$      (2)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
* Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:
$\frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{b + 2c + a}} + \frac{1}{{c + 2a + b}} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}})$     (3)

* Kết hợp (2) và (3) ta có
 
 Bài toán 2. Với a, b, c là các số dương:
$\frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{b + 2c + a}} + \frac{1}{{c + 2a + b}} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$      (4)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
  

Chú ý: Nếu thêm giả thiết  $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 4$ thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005.
Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương:
$\frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{b + 2c + a}} + \frac{1}{{c + 2a + b}} \le \frac{1}{{a + 3b}} + \frac{1}{{b + 3c}} + \frac{1}{{c + 3a}}$       (5)
Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:

$\frac{1}{{a + 3b}} + \frac{1}{{b + 2c + a}} \ge \frac{4}{{(a + 3b) + (b + 2c + a)}} = \frac{2}{{a + 2b + c}}$

 $ \frac{1}{{b + 3c}} + \frac{1}{{c + 2a + b}} \ge \frac{4}{{(b + 3c) + (c + 2a + b)}} = \frac{2}{{b + 2c + a}} $ 

 $ \frac{1}{{c + 3a}} + \frac{1}{{a + 2b + c}} \ge \frac{4}{{(c + 3a) + (a + 2b + c)}} = \frac{2}{{c + 2a + b}} $ 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5)
Đẳng thức xảy ra khi:
$\left\{ \begin{array}{l}

a + 3b = b + 2c + a\\

b + 3c = c + 2a + b\\

c + 3a = a + 2b + c

\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c$
Bài toán 4
. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau:

$ \frac{{\tan\frac{A}{2}}}{{1 + \tan\frac{B}{2}.\tan\frac{C}{2}}} + \frac{{\tan\frac{B}{2}}}{{1 + \tan\frac{C}{2}.\tan\frac{A}{2}}} + \frac{{\tan\frac{C}{2}}}{{1 + \tan\frac{A}{2}.\tan\frac{B}{2}}} = \frac{1}{{4.\tan\frac{A}{2}.\tan\frac{B}{2}.\tan\frac{C}{2}}} $ 
 
Giải: Đặt $x = \tan$ $ \frac{A}{2},y = \tan\frac{B}{2},z = \tan\frac{C}{2} $ thế thì  x, y, z dương và xy + yz + zx=1
Hệ thức trở thành:
$ \frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} = \frac{1}{{4xyz}} $ 
Ta có:

  $ \begin{array}{l}
\frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} = \frac{x}{{(xy + yz) + (zx + yz)}} + \frac{y}{{(xy + zx) + (yz + zx)}} + \frac{z}{{(xy + yz) + (zx + xy)}}\\
 \le \frac{1}{4}\left( {\frac{x}{{xy + yz}} + \frac{x}{{zx + yz}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{y}{{xy + zx}} + \frac{y}{{yz + zx}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{z}{{xy + yz}} + \frac{z}{{zx + xy}}} \right) = \\
 = \frac{1}{4}\left( {\frac{{x + z}}{{xy + yz}} + \frac{{x + y}}{{zx + yz}} + \frac{{y + z}}{{xy + zx}}} \right) = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{{xy + yz + zx}}{{4xyz}} = \frac{1}{{4xyz}}
\end{array} $
Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương tự:

Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:
$ \begin{array}{l}
1/\frac{1}{{2a + 3(b + c)}} + \frac{1}{{2b + 3(c + a)}} + \frac{1}{{2c + 3(a + b)}} \le \left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right).\frac{1}{4}\\
2/\frac{1}{{a + 2b + 3c}} + \frac{1}{{b + 2c + 3a}} + \frac{1}{{c + 2a + 3b}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{a + 2c}} + \frac{1}{{b + 2a}} + \frac{1}{{c + 2b}}} \right)
\end{array} $ 
Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì:
$ \frac{1}{{a + 2b + 3c}} + \frac{1}{{b + 2c + 3a}} + \frac{1}{{c + 2a + 3b}} < \frac{{17}}{{96}} $

Bài 3.
Cho tam giác ABC có chu vi  a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

  $ T = \frac{{ab}}{{a + b + 2c}} + \frac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + a + 2b}} $    

Thẻ

Lượt xem

2484
Chat chit và chém gió
  • mei mei: ơ h n anh ms vô mà 5/26/2018 11:06:55 PM
  • Thanh Nga: Nga bt anh nào màrolling_on_the_floor 5/26/2018 11:06:56 PM
  • Thanh Nga: mọi lần ý 5/26/2018 11:07:04 PM
  • mei mei: laughing nga giỏi thế 5/26/2018 11:07:07 PM
  • mei mei: ak thay avt và đổi tên cho cuộc đời bớt tăm tối ý 5/26/2018 11:07:22 PM
  • mei mei: sao nga k thay avt mà để nguyên z 5/26/2018 11:08:17 PM
  • Thanh Nga: k phải đâu 5/26/2018 11:08:45 PM
  • Thanh Nga: cái mail của N nó k nhớ mk nên k vô đc 5/26/2018 11:09:01 PM
  • Thanh Nga: chứ mấy cái nick nỳ lm j có mail rolling_on_the_floor đổi k đc 5/26/2018 11:09:12 PM
  • mei mei: não cá vàng quá 5/26/2018 11:09:36 PM
  • mei mei: laughing 5/26/2018 11:09:41 PM
  • mei mei: nga suớng nhể cứ ăn chs hoài 5/26/2018 11:10:12 PM
  • Thanh Nga: ủa đâu có 5/26/2018 11:10:21 PM
  • mei mei: n anh còn 30 days nx 5/26/2018 11:10:33 PM
  • Thanh Nga: dạo nỳ nga lm bài mà k bt lm ntn nỳ 5/26/2018 11:10:37 PM
  • Thanh Nga: chaizo 5/26/2018 11:10:42 PM
  • Thanh Nga: chơi đirolling_on_the_floor 5/26/2018 11:10:46 PM
  • Kiệt2003: Pp MN nhá 5/26/2018 11:10:51 PM
  • mei mei: vx chơi mà 5/26/2018 11:10:55 PM
  • mei mei: laughing 5/26/2018 11:10:58 PM
  • Kiệt2003: E đi ngủ đây 5/26/2018 11:11:00 PM
  • mei mei: nga vx phải học ak 5/26/2018 11:11:08 PM
  • mei mei: tưởng lên đh nhàn lắm chớ 5/26/2018 11:11:17 PM
  • mei mei: bằng h tháng sau là xõa ruj 5/26/2018 11:11:35 PM
  • mei mei: laughing 5/26/2018 11:11:42 PM
  • Thanh Nga: pp K. E NN 5/26/2018 11:11:51 PM
  • Thanh Nga: đúng rùi 5/26/2018 11:14:19 PM
  • Thanh Nga: mà N,A thi j z 5/26/2018 11:14:25 PM
  • mei mei: n anh thi trường gần nhà thôi 5/26/2018 11:14:38 PM
  • mei mei: laughing 5/26/2018 11:14:42 PM
  • Thanh Nga: ở mô z 5/26/2018 11:18:08 PM
  • mei mei: nga k nhớ n anh ở đâu ak 5/26/2018 11:19:08 PM
  • mei mei: ĐN này 5/26/2018 11:19:15 PM
  • mei mei: laughing 5/26/2018 11:19:21 PM
  • Thanh Nga: hả 5/26/2018 11:21:47 PM
  • Thanh Nga: đà nẵng lận 5/26/2018 11:21:56 PM
  • Thanh Nga: xa thía 5/26/2018 11:22:00 PM
  • Thanh Nga: laughing 5/26/2018 11:22:04 PM
  • mei mei: gần mà 5/26/2018 11:22:09 PM
  • mei mei: nga ở đâu 5/26/2018 11:22:14 PM
  • mei mei: laughing 5/26/2018 11:22:20 PM
  • Thanh Nga: ui nga ở đầu sông anh cuối sông 5/26/2018 11:22:21 PM
  • Thanh Nga: rolling_on_the_floor) 5/26/2018 11:22:23 PM
  • Thanh Nga: nga hả. thui chứ nga thấy nga ns toàn thấy ns kêu nga dữ 5/26/2018 11:22:52 PM
  • Thanh Nga: k dám ns rolling_on_the_floor 5/26/2018 11:22:56 PM
  • mei mei: laughingnga ở tận đâu thế 5/26/2018 11:23:18 PM
  • mei mei: ơ nga hiền mà 5/26/2018 11:23:25 PM
  • Hoàng Yến: -.- 5/26/2018 11:23:28 PM
  • mei mei: cap màn hình để khoe với thiên hạ đi nga ơi 5/26/2018 11:23:51 PM
  • mei mei: n anh nói v để nga sống ảo đó 5/26/2018 11:24:03 PM
  • Thanh Nga: hả 5/26/2018 11:24:18 PM
  • Thanh Nga: là sao 5/26/2018 11:24:21 PM
  • Thanh Nga: laughing) 5/26/2018 11:24:25 PM
  • mei mei: laughing 5/26/2018 11:24:25 PM
  • mei mei: n anh cừa khen nga hiền ak 5/26/2018 11:24:33 PM
  • mei mei: vừa 5/26/2018 11:24:45 PM
  • Thanh Nga: ây thui 5/26/2018 11:25:06 PM
  • Thanh Nga: chào Ens 5/26/2018 11:25:11 PM
  • Thanh Nga: Én 5/26/2018 11:25:24 PM
  • Thanh Nga: laughing) 5/26/2018 11:25:27 PM
  • mei mei: hehe mà nga có bạn ms r chs vv nha n anh đi ngủ đây 5/26/2018 11:25:57 PM
  • Hoàng Yến: cak : )) 5/26/2018 11:26:03 PM
  • Hoàng Yến: m là ai : ) 5/26/2018 11:26:07 PM
  • mei mei: bye nga bye bạn hoàng yến 5/26/2018 11:26:19 PM
  • Thanh Nga: ủa 5/26/2018 11:26:30 PM
  • Thanh Nga: anh đi đâu z 5/26/2018 11:26:34 PM
  • Thanh Nga: con Én nó k nhớ Ngabroken_heart 5/26/2018 11:26:46 PM
  • Hoàng Yến: -.- 5/26/2018 11:28:00 PM
  • Hoàng Yến: Nga nào 5/26/2018 11:28:02 PM
  • Thanh Nga: z đấy 5/26/2018 11:29:14 PM
  • Thanh Nga: trừ Damon ra là k nhớ Nga nào nữa broken_heart 5/26/2018 11:29:43 PM
  • Hoàng Yến: còn 5/26/2018 11:30:27 PM
  • Hoàng Yến: 1 con Nga điên nữa 5/26/2018 11:30:32 PM
  • Thanh Nga: Nga nick lãnh hàn băng ngọc sad 5/26/2018 11:30:35 PM
  • Thanh Nga: z mà k nhớcrying 5/26/2018 11:30:49 PM
  • Thanh Nga: điên j mà điên. T as điên đâu sad 5/26/2018 11:31:15 PM
  • Hoàng Yến: rolling_on_the_floor)))))) 5/26/2018 11:32:03 PM
  • Hoàng Yến: lâu k nch 5/26/2018 11:32:06 PM
  • Hoàng Yến: :v 5/26/2018 11:32:07 PM
  • Thanh Nga: méo nhớ t mà nch cái j sad 5/26/2018 11:33:21 PM
  • Hoàng Yến: nhớ :v 5/26/2018 11:37:01 PM
  • Thanh Nga: @@ z mà ns k như đúng rùi zstraight_face 5/26/2018 11:39:49 PM
  • Thanh Nga: lm tổn thương trái tim của tbroken_heart 5/26/2018 11:40:01 PM
  • Hoàng Yến: rolling_on_the_floor) 5/26/2018 11:40:59 PM
  • Thanh Nga: vui hen 5/26/2018 11:41:12 PM
  • Thanh Nga: còn cười z đcstraight_face 5/26/2018 11:41:20 PM
  • Hoàng Yến: rảnh nhỉ 5/26/2018 11:42:16 PM
  • Hoàng Yến: ở đây 5/26/2018 11:42:17 PM
  • Hoàng Yến: ngày nào bây giờ cũng vắng thế à 5/26/2018 11:42:27 PM
  • Thanh Nga: sao t btrolling_on_the_floor) lâu lâu vô lần mà chắc toàn dân chăm nên lần cào cũng 1 mk rolling_on_the_floor 5/26/2018 11:44:15 PM
  • Hoàng Yến: laughing) đợi đi 5/26/2018 11:44:54 PM
  • Hoàng Yến: thi xong t sẽ vào nhiều rolling_on_the_floor) 5/26/2018 11:45:00 PM
  • Thanh Nga: hazzz đợi mấy đứa thi thấy khổrolling_on_the_floor 5/26/2018 11:45:53 PM
  • Thanh Nga: mà thấy mấy đứa ôn cũng khổ 5/26/2018 11:46:04 PM
  • Thanh Nga: laughing) 5/26/2018 11:46:06 PM
  • Hoàng Yến: :v 5/26/2018 11:50:46 PM
  • Thanh Nga: thui m hk đi t đi ngủ rolling_on_the_floor) 5/26/2018 11:53:00 PM
  • Hoàng Yến: ờ m ngủ ngon 5/26/2018 11:55:00 PM
  • Tiểu Hi: . 5/27/2018 12:24:08 AM
  • Anh Gấu Bông : laughing 5/27/2018 3:39:49 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Thanh Nga
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Linh (~miu~)
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • miumiu
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004