phương trình đường thẳng

Question

Viết phương trình đường thẳng đi qua

$M (2,3)$ cắt các trục

$Ox$ ,

$Oy$ lần lượt tại

$A$ và

$B$ sao cho

$\Delta ABM$ có diện tích nhỏ nhất.

111aze · Answer 1 · 6/19/2019 2:56:09 PM

Không làm mất tính tổng quát, giả sử

$AB$ cắt

$Ox$ tại

$A(a,0)$ , cắt

$Oy$ tại

$B(0,b)$ .

Do

$M(2,3)\in$ Góc phần tư thứ

$(I)$ nên

$a,b>0$ .

Phương trình đường thẳng

$AB$ là:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ .

$AB$ đi qua

$M(2,3)\Rightarrow \frac{2}{a}+\frac{3}{b}=1$ .

Áp dụng bất đẳng thức

$AM-GM$ cho

$2$ số dương

$\frac{2}{a}$ và

$\frac{3}{b}$ , ta được:

$1=\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\geq 2\sqrt{\frac{3}{a}.\frac{2}{b}}= \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{ab}}\Rightarrow ab\geq 24$

Suy ra

$S_{ABM}=\frac{ab}{2}\geq \frac{24}{2}=12$ . Dấu

$"="$ xảy ra

$\Leftrightarrow \frac{2}{a}=\frac{3}{b}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=4; b=6$ .

Vậy

$AB: \frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1$ .

1 Đáp án