Tìm m để từ A(1;2) kẻ được 2 tiếp tuyến AB,AC đến (Hm) sao cho ABC là tam giác đều

Question

Cho hàm số $y=\frac{x+m}{x-2}$

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 3
Tìm m để từ A(1;2) kẻ được 2 tiếp tuyến AB,AC đến (Hm) sao cho ABC là tam giác đều (C,B là các tiếp điểm)

giúp tôi giải chi tiết ạ

score 1 · Answer 1 · 6/14/2017 12:24:35 AM

1) Tự làm
2) Pttt đi qua

$A\left ( 1;2 \right )$ :

$\left ( d \right ) y=k\left ( x-1 \right ) +2$

$\Rightarrow$ Pt :

$\frac{x+m}{x-2}=k\left ( x-1 \right )+2$ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow kx^2-\left ( 3k-1 \right )x+2k-m-4=0$

$\Rightarrow\begin{cases} \Delta =\left ( 3k-1 \right )^2-4k(2k-m-4)=0 \\ k\neq 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} k^2+2k(2m+5)+1 =0 \\ 0^2+2.0(2m+5)+1=1\neq 0 \end{cases}$

$\Rightarrow \left ( 2m+5 \right )^2-1>0$
$\Leftrightarrow m<-3 \vee m>-2$ $(*)$

Giả sử : +) Tiếp tuyến $AB , AC$ có hệ số góc lần lượt là $k_1;k_2$

Vì $\Delta ABC$ đều nên :
$\tan \left ( k_1,k_2 \right )=\tan 60^0=\left| { \frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}} \right|=\sqrt{3}$
$\xrightarrow{ Viet} \begin{cases}k_1+k_2=-2(2m+5) \\ k_1k_2=1 \end{cases}$
$\Rightarrow \left ( k_1-k_2 \right )^2=\left ( k_1+k_2 \right )^2-4k_1k_2$
$=4\left ( 2m+5 \right )^2-4$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{4\left ( 2m+5 \right )^2-4}}{2}=\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2} \vee m=-\frac{7}{2}$ ( tm đk $(*))$
Vậy $m=-\frac{3}{2} \vee m=-\frac{7}{2}$