Ta có :$\sin x^{3}+\cos x^{3}=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=\frac{5\sqrt{2}}{8}$Đặt t=sinx+cosx ($-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$) $\Rightarrow t^{2}=1+2sinxcosx\Rightarrow sinxcosx=\frac{t^{2}-1}{2}$
Thay vào ta được :$t(1-\frac{t^{2}-1}{2})=t(\frac{2-t^{2}+1}{2})=\frac{3t-t^{3}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{8}$
$\Leftrightarrow 12t-4t^{3}=5\sqrt{2}\Rightarrow 4t^{3}-12t+5\sqrt{2}=0$
Giải PT ta được :$t=-1,973738565(loại);t=1,266631784;t=0,7071067812$
$\Leftrightarrow sinx+cosx=1,266631784 hoặc sinx+cosx=0,7071067812$