Ta có $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)=a^3+b^3+c^3+3abc$
Trừ 2 vế đi $6abc$ ta có: $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+6abc=a^3+b^3+c^3-3abc$
$\Leftrightarrow (ab^2-2abc+ac^2)+(a^2b-2abc+bc^2)+(a^2c-2abc+b^2c)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$
$\Leftrightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2=(a+b+c)\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
$\Leftrightarrow 2a(b-c)^2+2b(c-a)^2+2c(a-b)^2=(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
$\Leftrightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2=(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b-c)+(b-c)^2(b+c-a)+(c-a)^2(c+a-b)=0$
Do $a,b,c$ là 3 cạnh cả tam giác nên $a+b-c>0$ ; $b+c-a>0$ ; $c+a-b>0$
Mặt khác $(a-b)^2\geq 0$ ; $......................$9
Nên đẳng thức xảy ra khi $(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\Rightarrow $ Tam giác ABC đều