Ta sẽ chứng minh $(x^2+1)\sqrt{x^2+1}\geq x\sqrt{x^4+2x^2+5}(1)$
Với $x\leq0$ ta có $x\sqrt{x^4+2x^2+5}\leq 0<(x^2+1)\sqrt{x^2+1}$Với $x>0$ thì $(1)\Leftrightarrow (x^2+1)^3\geq x^2(x^4+2x^2+5)\Leftrightarrow (x^2-1)^2\geq 0$(luôn đúng)
Do đó (1) luôn đúng
Khi đó $P\geq (x-1)^2\geq 0$
Dấu "=" xảy ra khi $x=1$
Vậy GTNN của $P=0$ khi $x=1$