9 bài toán tiếp tuyến của đường tròn hay gặp

Bài toán 1: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1)$(C_1)$ và (C2)$(C_2)$

biết (C1):(x−1)2+(y−1)2=1$(C_1):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$ và (C2):(x−2)2+(y+1)2=4$(C_2):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=4$

Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C)$(C)$ vuông góc với đường thẳng d biết đường tròn (C)$(C)$ và đường thẳng d$d$ lần lượt có phương trình là:

(C):x2+y2−2x−6y+9=0$(C):x^2+y^2-2x-6y+9=0$ và d:3x−4y+12=0$d:3x-4y+12=0$

Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C)$(C)$ biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:2x+y−4=0$d:2x+y-4=0$ một góc bằng 450${45}^0$ trong đó phương trình của đường tròn (C)$(C)$ là: (x−1)2+(y+1)2=10$(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=10$

Bài toán 4: Cho họ đường tròn (Cm)$(C_m)$ có phương trình: x2+y2−(m−2)x+2my−1=0$x^2+y^2-(m-2)x+2my-1=0$

a. Tìm quỹ tích tâm các đường tròn (Cm)$(C_m)$

b. Chứng tỏ rằng khi m thay đổ, các đường tròn (Cm)$(C_m)$ luôn đi qua hai điểm cố định. Tìm các điểm đó.

c. Cho m=−2$m=-2$ và điểm Q(3;0)$Q(3;0)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C−2)$(C_{-2})$ kẻ từ Q.

Bài toán 5: Cho điểm M(2;4)$M(2;4)$ và đường tròn (C)$(C)$ có phương trình: (x−1)2+(y−3)2=4$(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=4$.

a. Lập phương trình đường thẳng đi qua M và cắt đường tròn (C)$(C)$ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

b. Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k=−1$k=-1$

Bài toán 6: Cho hai đường tròn (C)$(C)$ và (Cm)$(C_m)$ có phương trình:

(C):x2+y2=1$(C):x^2+y^2=1$ và (Cm):x2+y2−2(m+1)x+4my=5$(C_m):x^2+y^2-2(m+1)x+4my=5$

a. Chứng minh rằng có hai đường tròn (Cm1)$(C_{m1})$ và (Cm2)$(C_{m2})$  tiếp xúc với đường tròn (C)$(C)$ ứng với hai giá trị m1$m_1$ và m2$m_2$ của m

b. Xác định phương trình đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn (Cm1)$(C_{m1})$ và (Cm2)$(C_{m2})$.

Bài toán 7: Cho hai đường tròn (C)$(C)$ và (Cm)$(C_m)$ có phương trình:

(C):x2+y2+3ax=0$(C):x^2+y^2+3ax=0$ và (Cm):(m2+1)(x2+y2)−2ax−2amy−3a2=0$(C_m):(m^2+1)(x^2+y^2)-2ax-2amy-3a^2=0$ với a là hằng số và m là tham số.

Chứng minh rằng (C)$(C)$ và (Cm)$(C_m)$ luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến với (C)$(C)$ tại mỗi điểm chung này vuông góc với nhau.

Bài toán 8: Cho đường tròn (C)$(C)$ và đường thẳng d$d$ có phương trình:

(C):x2+y2−2x−4y+4=0$(C):x^2+y^2-2x-4y+4=0$ và d:x−y−1=0$d:x-y-1=0$

Từ M∈d$M\in d$ kẻ hai tiếp tuyến MT1$M{T}_1$ và MT2$M{T}_2$ tới (C)$(C)$, trong đó T1$T_1$ và T2$T_2$ là các tiếp điểm. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng T1T2$T_1{T}_2$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài toán 9: Cho hai đường tròn (C1)$(C_1)$ và (C2)$(C_2)$ có phương trình:

(C1):x2+y2=4$(C_1):x^2+y^2=4$ và (C2):x2+y2=16$(C_2):x^2+y^2=16$

Từ điểm M∈(C2)$M\in (C_2)$ luôn kẻ hai tiếp tuyến MT1$M{T}_1$, MT2$M{T}_2$ tới đường tròn (C1)$(C_1)$, trong đó T1$T_1$, T2$T_2$ là các tiếp điểm và giả sử hai tiếp tuyến này cắt (C2)$(C_2)$ tại 2 điểm E1$E_1$ và E2$E_2$.

a. Lập phương trình đường thẳng T1T2$T_1{T}_2$. Chứng minh rằng đường thẳng T1T2$T_1{T}_2$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

b. Chứng minh rằng đường thẳng E1E2$E_1{E}_2$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.