Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thì được$\int\limits_{1}^{2}\frac{x^2-1}{(x^2-x+1)(x^2+3x+1)}dx=\int\limits_{1}^{2}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{(x+\frac{1}{x}-1)(x+\frac{1}{x}+3)}dx$
$=\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{(x+\frac{1}{x}-1)(x+\frac{1}{x}+3)}d(x+\frac{1}{x})$
$=\frac{1}{4}\int\limits_{1}^{2}(\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}-\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3})d(x+\frac{1}{x})$
$=\frac{1}{4}[ln|x+\frac{1}{x}-1|-ln|x+\frac{1}{x}+3|]|^{2}_{1}$
$=\frac{1}{4}(ln|\frac{x^2-x+1}{x^2+3x+1}|)|^{2}_{1}$
$=\frac{1}{4}ln\frac{15}{11}$.
Vậy $\int\limits_{1}^{2}\frac{x^2-1}{(x^2-x+1)(x^2+3x+1)}dx=\frac{1}{4}ln\frac{15}{11}$.