Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z$ . Tìm GTNN: $P=\frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$

Question

Cho

$x,y,z$ không âm thỏa mãn:

$x^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z$ . Tìm GTNN:

$P=\frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$

Thanh Long · Answer 1 · 5/24/2016 12:55:32 PM

Giả sử

$t=x+y+z$ . Vì

$x,y,z\geq 0$ và

$P$ phải xác định nên

$x+z>0$ ; suy ra

$t>0$ .

Từ điều kiện đã cho suy ra

$(x+y)^2+z^2=1,5+t$ . Vì

$(x+y)^2+z^2\geq\frac{t^2}{2}$ nên

$\frac{t^2}{2}\leq1,5+t$ . Suy ra

$t^2-2t-3\leq0$ ; suy ra

$-1\leq t\leq3$ . Vì

$t>0$ nên $0

Dễ thấy rằng

$4x^2+y^2\geq 4xy$ . Suy ra

$P\geq \frac{x^2+y^2+z^2+2xy}{4}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$

$\geq \frac{1,5+x+y+z}{4}+\frac{12}{x+y+z+1}$

$\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$ .

Cho nên

$P\geq \frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1}$ .

Xét hàm số

$f(t)=\frac{t+1,5}{4}+\frac{12}{t+1},\forall t\in (0;3]$ .

Khi đó

$f'(t)=\frac{t^2+2t-47}{4(t+1)^2}<0,\forall t\in (0;3)$ . Do đó

$f$ nghịch biến trên

$(0;3]$ .

Từ đó suy ra

$f(t)\geq \frac{33}{8},\forall t\in (0;3]$ .

Như vậy

$P\geq \frac{33}{8}$ . Đồng thời, khi lấy

$x=\frac{1}{2},y=1,z=\frac{3}{2}$ thì điều kiện đề bài thỏa mãn và

$P=\frac{33}{8}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của

$P$ là

$\frac{33}{8}$ .

cho mình hỏi chút: bài này bạn dự đoán điểm rơi như thế nào vậy???

Hỏi	21-05-16 08:20 PM
Lượt xem	1403
Hoạt động	24-05-16 12:54 PM

Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z$ . Tìm GTNN: $P=\frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Cho x,y,zx,y,z không âm thỏa mãn: x2+y2+z2+2xy=32+x+y+zx^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z. Tìm GTNN: P=6x2+3y2+2z28+3x+z+3y+1P=\frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan

Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z$ . Tìm GTNN: $P=\frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}$