Nếu ta giả sử y nằm giữa x và zsuy ra xy(y-z)(y-x)\le0\Leftrightarrow xy^3+x^2yz\le xy^2z+x^2z^2
\Rightarrow xy^3\le xy^2z+x^2z^2
xy^3+yz^3+zx^3\le xy^2z+x^2z^2+yz^3+zx^3
Ta xét 2 TH
x\ge y\ge z
\Rightarrow P\le x^2yz+x^2yz+yz^3+yx^3= y(x^3+z^3+2x^2z)\le y(x+z)^3
x\le y\le z
\Rightarrow P\le xyz^2+xyz^2+yz^3+x^2yz=y(z^3+2xz^2+zx^2)\le y(x+z)^3
Vậy suy ra P\le y(x+z)^3
Đến đây ta có thể áp dụng BĐT Cauchy theo điểm rơi (0;1;3) hoặc tìm max của hàm 1 biến
có P\le y(4-y)^3=-y^4+12y^3-48y^2+64y=-(y-1)^2(y^2-10y+27)+27\le27
hoặcP\le27y(\frac{x+z}3)^3\le 27(\frac{x+y+z}4)^4=27
Dấu bằng xảy ra tại (x;y;z)\in {(0;1;3);(3;0;1);(1;3;0)}