Gấp mn

Question

Cho

$x,y,z\geq 0 và x+y+z=4. Tìm max: P=xy^{3}+yz^{3}+zx^{3}$

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 1 · 5/15/2016 11:06:13 AM

Nếu ta giả sử

$y$ nằm giữa

$x$ và

$z$

suy ra

$xy(y-z)(y-x)\le0\Leftrightarrow xy^3+x^2yz\le xy^2z+x^2z^2$

$\Rightarrow xy^3\le xy^2z+x^2z^2$

$xy^3+yz^3+zx^3\le xy^2z+x^2z^2+yz^3+zx^3$

Ta xét 2 TH

$x\ge y\ge z$

$\Rightarrow P\le x^2yz+x^2yz+yz^3+yx^3= y(x^3+z^3+2x^2z)\le y(x+z)^3$

$x\le y\le z$

$\Rightarrow P\le xyz^2+xyz^2+yz^3+x^2yz=y(z^3+2xz^2+zx^2)\le y(x+z)^3$

Vậy suy ra

$P\le y(x+z)^3$

Đến đây ta có thể áp dụng BĐT Cauchy theo điểm rơi (0;1;3) hoặc tìm max của hàm 1 biến

có

$P\le y(4-y)^3=-y^4+12y^3-48y^2+64y=-(y-1)^2(y^2-10y+27)+27\le27$

hoặc

$P\le27y(\frac{x+z}3)^3\le 27(\frac{x+y+z}4)^4=27$

Dấu bằng xảy ra tại

$(x;y;z)\in$ {

$(0;1;3);(3;0;1);(1;3;0)$ }

Thanh Long · Answer 2 · 5/15/2016 1:39:57 AM

Cần trả +2,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Trả lời 15-05-16 01:39 AM

Thanh Long
8K 1 43 13

192K 493K

2

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/133857/bdt cũng tương tự nhỉ – tran85295 15-05-16 08:48 AM

ghê thật – tran85295 15-05-16 08:48 AM

thật sự, rất rất rất cảm ơn và cảm phục anh – ๖ۣۜDevilღ 15-05-16 01:46 AM