$\frac{a^3}{1+b}+\frac{a(1+b)}4 \ge a^2$$\frac{b^3}{1+a}+\frac{b(1+a)}4 \ge b^2$
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
$\Rightarrow P+\frac{a+b+2}4 \ge a^2+b^2$
$\Leftrightarrow 4P \ge 4(a^2+b^2)-(a+b+2) \ge 2(a+b)^2-(a+b)-2$
$=[2(a+b)^2-(a+b)-6]+4=(a+b-2)[2(a+b)+3]+4$
$ \ge (2\sqrt{ab}-2)[2(a+b)+3]+4=4$
$\Rightarrow P \ge 1\Rightarrow P_{Min}=1$ khi và chỉ khi $a=b=1$