Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

Question

Tìm

$x,y,z \in Z^{+}$ thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=15\\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=495\end{array} \right.$

nhẩm thì ai cũng nhẩm được quan trọng là cách làm lại ko làm được :3

tran85295 · Answer 1 · 6/9/2016 12:26:26 AM

$\begin{cases}(a+b+c)^3=15^3 \\ a^3+b^3+c^3=495 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)=3375 \\ a+b+c=495 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a+b+c=15\\ (a+b)(b+c)(c+a)=960 \end{cases}$

Từ pt thứ 2 dễ thấy trong

$3$ nhân tử

$a+b;b+c;c+a$ có 1 nhân tử chia hết cho

$5$

Giả sử đó là

$a+b$

Ta có

$a+b$ chỉ có thể bằng

$10$ hoặc

$5$

Nếu

$a+b=5\Rightarrow \begin{cases}c=10 \\ 5(10+a)(10+b)=960 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a+b=10 \\ 100+10(a+b)+ab =192\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a+b=10 \\ ab=-8 \end{cases}$ (VN trên tập

$\mathbb{Z^+})$

Nếu

$a+b=10\Rightarrow \begin{cases}c=5 \\ 10(5+a)(5+b)=960 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a+b=10 \\ ab=21 \end{cases}\Rightarrow a=3,b=7,c=5$ và các hoán vị

111aze · Answer 2 · 11/17/2015 9:49:50 PM

Từ PT (2) có

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=495<8^{3}$

Mà

$x;y;z >0\Rightarrow x^{3};y^{3};z^{3}>0$

$\Rightarrow x;y;z \in \left\{ \begin{array}{l} 1;2;...;7\\ \end{array} \right.\left. \right \}$

Lại có:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)+3xy$

$\Rightarrow 495=\frac{15}{2}((x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2})+3xyz$

$\Rightarrow 165= \frac{5}{2}(.....)+xyz$

$\Rightarrow xyz$ chia hết cho 5.Do 5 nguyên tố

$\Rightarrow$

$x$ hoặc

$y$ hoặc

$z$ chia hết cho 5

+)Nếu

$x$ chia hết cho 5

$\Rightarrow x=5$ . Thay vào hệ:

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y+z=10\\ y^{3}+z^{3}=370 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y+z =10\\ (y+z)^{3} -3yz(y+z)=370\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow y+z=10$ và

$yz=21$

$\Rightarrow$

$y=3;z=7$ hoặc

$y=7;z=3$

Tương tự với y chia hết cho 5 và z chia hết cho 5.Ta suy ra được

$x;y;z$ là các hoán vị của

$(3;5;7)$

Bài này viết hơi dài các bạn like nhiệt tình nha !!!!

Hỏi	17-11-15 08:47 PM
Lượt xem	5127
Hoạt động	17-11-15 10:12 PM

Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan