$T=\frac{AD}{HD}+\frac{BI}{HI}+\frac{CK}{HK}\geq \frac{9}{\frac{HD}{AD}+\frac{HI}{BI}+\frac{HK}{CK}}=\frac{9}{\frac{S_{HBC}}{{S_{ABC}}}{+\frac{S_{HAC}}{{S_{ABC}}}}+\frac{S_{HAB}}{{S_{ABC}}}}=9$Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $\frac{AD}{HD}=\frac{BI}{HI}=\frac{CK}{HK}$
Điều này chỉ xảy ra khi $AD,BI,CK$ là các đường trung tuyến mà chúng lại là đường cao
Vậy GTNN của $T$ là $9$ khi $\triangle ABC$ là tam giác đều