Bài toán tổng quát:Cho $x>0$ và $a_1,a_2,...,a_n$ là các số thực dương tùy ý không lớn hơn x.Ta có kết quả: $\frac{x^{n+1}}{a_1+a_2+...+a_n}-(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)\geq \frac{x^n}{n}$.
Chứng minh:
Đặt $t=\frac{a_1+...+a_n}{n},0<t\leq x$.Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)\leq (x-t)^n$
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
$\frac{x^{n+1}}{a_1+a_2+...+a_n}-(x-t)^n\geq \frac{x^n}{n}\Leftrightarrow \frac{x^n(x-t)}{nt}\geq (x-t)^n$
$\Leftrightarrow nt(x-t)^{n-1}\leq x^n$.Sử dụng BĐT AM-GM:
$nt(x-t)^{n-1}=\frac{n}{n-1}.(n-1).t.(x-t)^{n-1}\leq \frac{n}{n-1}.[\frac{(n-1)t+(n-1)(x-t)}{n}]^n=(\frac{n-1}{n})^{n-1}.x^n\leq x^n$
Dấu bằng xảy ra khi $a_1=a_2=...=a_n=x>0$