Bài toán tổng quát:Cho x>0 và a1,a2,...,an là các số thực dương tùy ý không lớn hơn x.Ta có kết quả: xn+1a1+a2+...+an−(x−a1)(x−a2)...(x−an)≥xnn.
Chứng minh:
Đặt t=a1+...+ann,0<t≤x.Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
(x−a1)(x−a2)...(x−an)≤(x−t)n
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
xn+1a1+a2+...+an−(x−t)n≥xnn⇔xn(x−t)nt≥(x−t)n
⇔nt(x−t)n−1≤xn.Sử dụng BĐT AM-GM:
nt(x−t)n−1=nn−1.(n−1).t.(x−t)n−1≤nn−1.[(n−1)t+(n−1)(x−t)n]n=(n−1n)n−1.xn≤xn
Dấu bằng xảy ra khi a1=a2=...=an=x>0