Chứng minh BĐT

Question

Cho

$a,b,c$ thực dương và

$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ .Chứng minh rằng:

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$

WhjteShadow · Answer 1 · 12/12/2014 4:13:34 PM

Quy đồng và rút gọn BĐT cần chứng minh có dạng:

$(a+b+c)+1\geq 4abc\Leftrightarrow (a+b+c)^2+(a+b+c)\geq 4abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^2+(a+b+c)\geq 4(ab+bc+ac)\Leftrightarrow \sum a^2+\sum a \geq 2(ab+bc+ac)$

Áp dụng hệ quả trực tiếp của BĐT Schur ta có được:

$a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ac)$

Vậy nếu ta chỉ ra được

$a+b+c\geq \frac{9abc}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 9abc(a+b+c)=9(ab+bc+ac)$

Mà

$(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ac)$ và từ GT ta khai thác đc:

$(a+b+c)\geq3\Rightarrow ĐPCM$

1 Đáp án