Quy đồng và rút gọn BĐT cần chứng minh có dạng:$(a+b+c)+1\geq 4abc\Leftrightarrow (a+b+c)^2+(a+b+c)\geq 4abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^2+(a+b+c)\geq 4(ab+bc+ac)\Leftrightarrow \sum a^2+\sum a \geq 2(ab+bc+ac)$
Áp dụng hệ quả trực tiếp của BĐT Schur ta có được:
$a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ac)$
Vậy nếu ta chỉ ra được $a+b+c\geq \frac{9abc}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 9abc(a+b+c)=9(ab+bc+ac)$
Mà $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ac)$ và từ GT ta khai thác đc:$(a+b+c)\geq3\Rightarrow ĐPCM$