$I=\int\limits_{1}^{2}x^{2}.\ln xdx+\int\limits_{1}^{2}\frac{x^{3}}{x^{2}+1}dx$Đặt $I1=\int\limits_{1}^{2}x^{2}.\ln xdx$
sử dụng công thức tích phân từng phần:
đặt: \begin{cases}u=\ln x \\ dv=x^{2}dx\end{cases} =>\begin{cases}du=\frac{1}{x}dx \\ v=\frac{x^{3}}{3} \end{cases}
$I1=\frac{x^{3}}{3}.\ln x (cận 1\rightarrow2)-\int\limits_{1}^{2}\frac{x^{3}}{3}.\frac{1}{x}dx$
$=\frac{x^{3}}{3}.\ln x(cận 1\rightarrow 2-\frac{1}{9}x^{3} (cận 1\rightarrow 2)$ thay cận vào $\Rightarrow I1$
Đặt:
$I2=\int\limits_{1}^{2}\frac{x^{3}}{x^{2}+1}dx$
$=\int\limits_{1}^{2}\frac{x.(x^{2}+1)-x}{x^{2}+1}$
$=\int\limits_{1}^{2}xdx-\int\limits_{1}^{2}\frac{x}{x^{2}+1}dx$
$=\frac{x^{2}}{2} (cận 1\rightarrow 2)-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}\frac{d(x^{2}+1)}{x^{2}+1}$ $\Rightarrow I2$
$I=I1+I2$.