Biến đổi BT về dạng:$P=\frac{\frac{5}{c}+\frac{9}{a}+\frac{8}{b}}{(\frac{4}{b}+\frac{3}{a})(\frac{5}{c}+\frac{4}{b})(\frac{3}{a}+\frac{5}{c})}$
Ta có thể đặt $x=\frac{3}{a},y=\frac{4}{b},z=\frac{5}{c}\rightarrow P=\frac{3x+2y+z}{(x+y)(y+z)(x+z)}$
Do $a+b+c=\frac{3}{x}+\frac{4}{y}+\frac{5}{z}\leq 6\rightarrow (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+3(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})\Rightarrow 6\geq \frac{4}{x+y}+\frac{12}{y+z}+\frac{8}{x+z}(1)$
Ta tiếp tục biến đổi $P=\frac{2(x+y)+x+z}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2}{(y+z)(x+z)}+\frac{1}{(x+y)(y+z)}$
Ta đặt $\frac{1}{x+y}=m,n=\frac{1}{y+z},p=\frac{1}{x+z}$ thế thì từ (1) ta có được:
$m+3n+2p\leq \frac{3}{2}$ và $P=2np+mn$
Xét $(m+3n+2p)^2-12(2np+mn)=(m-3n+2p)^2\geq0\Rightarrow P\leq \frac{1}{12}.\frac{9}{4}=\frac{3}{16}$
Dấu = khi $a=\frac{3}{2},b=2,c=\frac{5}{2}$