Bất đẳng thức và cực trị

Question

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:

$a+b+c\leq 6$ .Tìm Max của:

$P=\frac{abc(5ab+9bc+8ac)}{(4a+3b)(5b+4c)(3c+5a)}$

WhjteShadow · Answer 1 · 12/1/2014 9:41:37 PM

Biến đổi BT về dạng:

$P=\frac{\frac{5}{c}+\frac{9}{a}+\frac{8}{b}}{(\frac{4}{b}+\frac{3}{a})(\frac{5}{c}+\frac{4}{b})(\frac{3}{a}+\frac{5}{c})}$

Ta có thể đặt

$x=\frac{3}{a},y=\frac{4}{b},z=\frac{5}{c}\rightarrow P=\frac{3x+2y+z}{(x+y)(y+z)(x+z)}$

Do

$a+b+c=\frac{3}{x}+\frac{4}{y}+\frac{5}{z}\leq 6\rightarrow (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+3(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})\Rightarrow 6\geq \frac{4}{x+y}+\frac{12}{y+z}+\frac{8}{x+z}(1)$

Ta tiếp tục biến đổi

$P=\frac{2(x+y)+x+z}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2}{(y+z)(x+z)}+\frac{1}{(x+y)(y+z)}$

Ta đặt

$\frac{1}{x+y}=m,n=\frac{1}{y+z},p=\frac{1}{x+z}$ thế thì từ (1) ta có được:

$m+3n+2p\leq \frac{3}{2}$ và

$P=2np+mn$

Xét

$(m+3n+2p)^2-12(2np+mn)=(m-3n+2p)^2\geq0\Rightarrow P\leq \frac{1}{12}.\frac{9}{4}=\frac{3}{16}$

Dấu = khi

$a=\frac{3}{2},b=2,c=\frac{5}{2}$

Hỏi	01-12-14 05:07 PM
Lượt xem	760
Hoạt động	01-12-14 09:41 PM

Bất đẳng thức và cực trị

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất đẳng thức và cực trị

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan