Giúp mình với

Question

$\int\limits_{e}^{e^3}(\frac{1}{ln^2x}-\frac{1}{lnx})dx$

onthitoan.com · Answer 1 · 12/1/2014 5:47:18 PM

Đặt

$x=e^{t}\Rightarrow dx=e^{t}dt$ và:

$x=e\Rightarrow t=1$

$x=e^{3}\Rightarrow t=3$

$\ln x=\ln e^{t}=t$

$\ln ^{2}x=\ln ^{2}e^{t}=t^{2}$

Khi đó:

$I=\int\limits_{e}^{e^{3}}\left( \dfrac{1}{\ln^{2}x}-\dfrac{1}{\ln x}\right) dx=\int\limits_{1}^{3}\left( \dfrac{1}{t^{2}}-\dfrac{1}{t}\right) e^{t}dt$

$=\int\limits_{1}^{3}\dfrac{e^{t}}{t^{2}}dt-\int\limits_{1}^{3}\dfrac{e^{t}}{t}dt$

Tính

$I_{1}=\int\limits_{1}^{3}\dfrac{e^{t}}{t}dt$

Đặt

$u=\dfrac{1}{t}\Rightarrow du=-\dfrac{dt}{t^{2}}$

$dv=e^{t}dt\Rightarrow v=e^{t}$

Khi đó

$I_{1}=\dfrac{e^{t}}{t}\left|\begin{matrix} 3 \\ \\ 1\end{matrix}\right. +\int\limits_{1}^{3}\dfrac{e^{t}}{t^{2}}dt$

$I_{1}=\dfrac{e^{3}}{3}-e+\int\limits_{1}^{3}\dfrac{e^{t}}{t^{2}}dt$

Khi đó

$I=\int\limits_{1}^{3}\dfrac{e^{t}}{t^{2}}dt-I_{1}$

$=\int\limits_{1}^{3}\dfrac{e^{t}}{t^{2}}dt-\left( \dfrac{e^{3}}{3}-e+\int\limits_{1}^{3}\dfrac{e^{t}}{t^{2}}dt\right)$

$=e-\dfrac{e^{3}}{3}=\dfrac{3e-e^{3}}{3}$

Hỏi	01-12-14 04:48 PM
Lượt xem	913
Hoạt động	01-12-14 05:47 PM

Giúp mình với

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Giúp mình với

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan