Cho tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $A$, có góc $A$ nhọn. Các đường cao $AD, BE$ của tam giác cắt nhau tại $H$. Gọi $I, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, CH$.$1.$ Chứng minh rằng các điểm $I, D, K, E$ nằm trên cùng một đường tròn.
$2.$ Chứng minh rằng $DE$ vuông góc với $IK$.
$3.$ Chứng minh rằng $BC^{2} = 2AB^{2} . (1 - \cos A)$
$4.$ Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc cạnh $BC$ ($M$ không trùng $B$ và $C$). Kẻ $MP, MQ$ lần lượt vuông góc với $AB, AC$. Xác định vị trí của $M$ trên cạnh $BC$ để diện tích tam giác $MPQ$ đạt giá trị lớn nhất.