Đặt $x^2=t(t>0)$Gọi m là giá trị tùy ý của $f(t)=t+\sqrt{t^2+\frac{1}{t}}$.Khi đó hệ ẩn t sau có nghiệm:
\begin{cases}t+\sqrt{t^2+\frac{1}{t}}=m \\ t>0 \end{cases}
Hệ trên tương đương \begin{cases}0<t\leq m\\ t+\frac{1}{t}=(m-t)^2(1) \end{cases}
$(1)\Leftrightarrow 2mt^2-m^2t+1=0$
Vì m>t>0 nên PT có nghiệm thì :$m^4-8m\geq0\Leftrightarrow m\geq2$
Do $t_1+t_2=\frac{m}{2}(2)>0;t_1.t_2=\frac{1}{2m}>0$ nên với $m\geq2$ pt có 2 nghiệm dương $t_1,t_2$ Và do (2) nên PT có nghiệm $t_2<t_1<m$ nên $m\geq2$ là gt cần tìm.
Do f(t)=m nên min A=2 khi $t=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$