Từ điều kiện $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=1$ ta tìm min của $xyz(x+y+z)(1+x)(1+y)(1+z)$Có $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}=1-\frac{1}{1+z}=\frac{z}{1+z}$
$\Rightarrow \frac{z}{1+z}=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{\sqrt{(1+x)(1+y)}}$(Theo BĐT Côsi cho 2 số dương)
Tương tự ta xây dựng 2 bđt:$\frac{x}{1+x}\geq \frac{2}{\sqrt{(1+y)(1+z)}};\frac{y}{1+y}\geq \frac{2}{\sqrt{(1+z)(1+x)}}$
Nhân các bđt cùng chiều ta được $\frac{xyz}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq \frac{8}{(1+x)(1+y)(1+z)}$
Từ đó ta có $xyz\geq8$.Mặt khác $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{9}{3+x+y+z}$
$\Rightarrow \frac{9}{x+y+z+3}\leq 1\Leftrightarrow x+y+z\geq 6$
Lại có $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}}$
$\Leftrightarrow (1+x)(1+y)(1+z)\geq 27$
$\Rightarrow xyz(x+y+z)(1+z)(1+x)(1+y)\geq 1296$
Dấu = xảy ra khi x=y=z=2
Vậy x=y=z=2 là nghiệm của hệ