THTT/9

Question

Tìm x,y,z dương thỏa mãn hệ sau:

$\begin{cases}\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=1 \\ xyz(x+y+z)(x+1)(y+1)(z+1)=1296 \end{cases}$

WhjteShadow · Answer 1 · 9/18/2014 6:10:26 PM

Từ điều kiện

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=1$ ta tìm min của

$xyz(x+y+z)(1+x)(1+y)(1+z)$

Có

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}=1-\frac{1}{1+z}=\frac{z}{1+z}$

$\Rightarrow \frac{z}{1+z}=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{\sqrt{(1+x)(1+y)}}$ (Theo BĐT Côsi cho 2 số dương)

Tương tự ta xây dựng 2 bđt:

$\frac{x}{1+x}\geq \frac{2}{\sqrt{(1+y)(1+z)}};\frac{y}{1+y}\geq \frac{2}{\sqrt{(1+z)(1+x)}}$

Nhân các bđt cùng chiều ta được

$\frac{xyz}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq \frac{8}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

Từ đó ta có

$xyz\geq8$ .Mặt khác

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{9}{3+x+y+z}$

$\Rightarrow \frac{9}{x+y+z+3}\leq 1\Leftrightarrow x+y+z\geq 6$

Lại có

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}}$

$\Leftrightarrow (1+x)(1+y)(1+z)\geq 27$

$\Rightarrow xyz(x+y+z)(1+z)(1+x)(1+y)\geq 1296$

Dấu = xảy ra khi x=y=z=2

Vậy x=y=z=2 là nghiệm của hệ

1 Đáp án