Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$.
Ta có:
$\angle BIM=\angle IAB+\angle IBA=\angle IAC+\angle IBC=\angle CBM+\angle IBC=\angle IBM \Rightarrow IM=MB$
Tương tự ta có: $IM=MB=MC;IN=NA=NC;IQ=QA=QB$.
Áp dụng BĐT tam giác ta có:
$IA+IB>AB$
$IB+IC>BC$
$IC+IA>AC$
$2IM=MB+MC>BC$
$2IN=NA+NC>AC$
$2IQ=QA+QB>AB$
Cộng các BĐT trên lại ta được: $AM+BN+CQ>AB+BC+CA$