Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC.
Ta có:
∠BIM=∠IAB+∠IBA=∠IAC+∠IBC=∠CBM+∠IBC=∠IBM⇒IM=MB
Tương tự ta có: IM=MB=MC;IN=NA=NC;IQ=QA=QB.
Áp dụng BĐT tam giác ta có:
IA+IB>AB
IB+IC>BC
IC+IA>AC
2IM=MB+MC>BC
2IN=NA+NC>AC
2IQ=QA+QB>AB
Cộng các BĐT trên lại ta được: AM+BN+CQ>AB+BC+CA