Kẻ đường cao $AI$.
Khi đó ta có: $BG//AI//CH$.
Kẻ $AJ\perp EF$.
Dễ thấy $\Delta AEF$ cân tại $A$, nên $JE=JF$.
Từ đó ta có: $BG+CH=DE+DF=2DJ=2AI$.
Giả sử $A'$ là trung điểm $GH$.
Theo tính chất đường trung bình của hình thang ta có: $\left\{\begin{array}{l}BG//A'I//CH\\BG+CH=2A'I\end{array}\right.$
Từ đó suy ra: $A\equiv A'$, hay $A$ là trung điểm $GH$.