Giải phương trình này dùm mình, đừng giải tắt quá nha

Question

$\int\limits_{0}^{1}\frac{ln(1+x)}{1+x^{2}}dx$

Dép Lê Con Nhà Quê · Answer 1 · 2/28/2014 6:00:30 PM

Đặt

$x=\tan t \Rightarrow dx =\dfrac{dt}{cos^2 t}$

$I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\tan t) \dfrac{1}{\cos^2 t}. \dfrac{1}{1+\tan^2 t}=\int \ln (1+\tan t) dt$

Đặt

$t=\dfrac{\pi}{4}-u \Rightarrow -dt=du$

$I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \bigg [ 1+ \tan ( \dfrac{\pi}{4}-u ) \bigg ]du \ (*)$

Trong đó

$1+\tan (\dfrac{\pi}{4}-u )=1+ \dfrac{1-\tan u}{1+\tan u}=\dfrac{2}{1+\tan u}$ thay vào

$(*)$

$I=\int \ln \dfrac{2}{1+\tan u} du =\int \ln 2 du- \int \ln (1+\tan u)du$

$=x \ln 2 \bigg |_0^{\frac{\pi}{4}} -\int \ln (1+\tan t) dt =\dfrac{\pi}{4}\ln 2 - I$

$\Rightarrow 2I =\dfrac{\pi}{4}\ln 2 \Rightarrow I=\dfrac{\pi}{8}\ln 2$

1 Đáp án