Giả sử $x=t$ là nghiệm của phương trình, suy ra:
$t^4+at^3+bt^2+ct+1=0$
$\Rightarrow -t^4-1=at^3+bt^2+ct$
$\Rightarrow (t^4+1)^2=(at^3+bt^2+ct)\le(a^2+b^2+c^2)(t^6+t^4+t^2)$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{(t^4+1)^2}{t^6+t^4+t^2}$
Ta sẽ chứng minh: $\dfrac{(t^4+1)^2}{t^6+t^4+t^2}\ge\dfrac{4}{3}$
Thật vậy, ta có:
$\dfrac{(t^4+1)^2}{t^6+t^4+t^2}-\dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{3(t^8+2t^4+1)-4(t^6+t^4+t^2)}{3(t^6+t^4+t^2)}$
$=\dfrac{(t^2-1)^2(3t^4+2t^2+3)}{3(t^6+t^4+t^2)}\ge0$
$\Rightarrow P\ge\dfrac{4}{3}$
$\min P=\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow t=\pm1$