GTNN

Question

giả sử phương trình

$x^4+ax^3+bx^2+cx+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực. tìm min của

$P=a^2+b^2+c^2$

khangnguyenthanh · Answer 1 · 1/24/2014 9:25:05 AM

Giả sử

$x=t$ là nghiệm của phương trình, suy ra:

$t^4+at^3+bt^2+ct+1=0$

$\Rightarrow -t^4-1=at^3+bt^2+ct$

$\Rightarrow (t^4+1)^2=(at^3+bt^2+ct)\le(a^2+b^2+c^2)(t^6+t^4+t^2)$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{(t^4+1)^2}{t^6+t^4+t^2}$

Ta sẽ chứng minh:

$\dfrac{(t^4+1)^2}{t^6+t^4+t^2}\ge\dfrac{4}{3}$

Thật vậy, ta có:

$\dfrac{(t^4+1)^2}{t^6+t^4+t^2}-\dfrac{4}{3}$

$=\dfrac{3(t^8+2t^4+1)-4(t^6+t^4+t^2)}{3(t^6+t^4+t^2)}$

$=\dfrac{(t^2-1)^2(3t^4+2t^2+3)}{3(t^6+t^4+t^2)}\ge0$

$\Rightarrow P\ge\dfrac{4}{3}$

$\min P=\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow t=\pm1$

1 Đáp án