Đặt: $\sqrt{1+t}=x \Rightarrow 1+t=x^2 \Rightarrow dt=2xdx$
Suy ra:
$I=2\int\limits_1^2e^xx^2dx$
$=2\int\limits_1^2x^2d(e^x)$
$=2x^2e^x\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.-2\int\limits_1^2e^xd(x^2)$
$=8e^2-2e-4\int\limits_1^2xe^xdx$
$=8e^2-2e-4\int\limits_1^2xd(e^x)$
$=8e^2-2e-4xe^x\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.+4\int\limits_1^2e^xdx$
$=2e+4e^x\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.=4e^2-2e$