Đặt $t=\ln x \Rightarrow dt=\frac{dx}{x}$. Bài toán trở thành tính
$I=\int\limits_0^1t\sqrt{1+t^2}dt$
Đặt $1+t^2=u\Rightarrow 2tdt=du$
Đổi cận: $t=0\Rightarrow u=1$
$t=1\Rightarrow u=2$
Khi đó, ta có:
$I=\frac{1}{2}\int\limits_0^1\sqrt{1+t^2}.2tdt$
$=\frac{1}{2}\int\limits_1^2\sqrt udu$
$=\frac{1}{3}u\sqrt{u} \left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.=\frac{1}{3}(2\sqrt2-1)$