Trước hết ta chứng minh: tanx>x,∀x∈(0;π4).
Xét hàm: f(x)=tanx−x,x∈(0;π4)
Ta có: f′(x)=1cos2x−1=tan2x>0,∀x∈(0;π4)
Suy ra: f(x) đồng biến trên: (0;π4)
⇒f(x)>f(0)=0,∀x∈(0;π4)
Từ đó ta có:
π4∫0max
=\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\tan xdx
=-\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{d(\cos x)}{\cos x}
=-\ln(\cos x)\left|\begin{array}{l}\dfrac{\pi}{4}\\0\end{array}\right.=\dfrac{\ln 2}{2}